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1、第第1 1讲讲 直线与圆直线与圆考情分析考情分析总纲目录考点一 直线的方程考点二 圆的方程考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系考点一 直线的方程1.直线方程的五种形式(1)点斜式:y-y1=k(x-x1).(2)斜截式:y=kx+b.(3)两点式:=(x1x2,y1y2).(4)截距式:+=1(a0,b0).(5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).121yyyy121xxxxxayb2.三种距离公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离:|AB|=.(2)点P到直线l的距离:d=(其中点P(x0,y0),直线l的方程:Ax+By+C=0).(3)两平行线间的距离:d=
2、(其中两平行线方程分别为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1C2).222121()()xxyy0022|AxByCAB2122|CCAB3.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1,若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.典型例题典型例题(1)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为()A.B.C.D.(2)已知直线l过直线3x+4y-2=0与直线2x-3y+10=0的交点,且垂直于直线6x+4y-7=0,则直线l的方程为()
3、A.2x-3y+10=0B.2x-3y-10=0C.4x-6y+5=0D.4x-6y-5=028 2338 33解析解析(1)由l1l2得(a-2)a=13,且a2a36,解得a=-1,l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,l1与l2间的距离d=,故选B.(2)由题意联立两直线方程,得解得即交点为(-2,2).由直线l垂直于直线6x+4y-7=0,得直线l的斜率为.所以直线l的方程为y-2=(x+2),即2x-3y+10=0,故选A.23222631( 1) 8 233420,23100,xyxy2,2,xy 2323答案答案(1)B(2)A方法归纳方法归纳求解直线方程应注意的问题(1)求
4、解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况.(2)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直;两点式要求直线不能与坐标轴垂直;截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在.跟踪集训跟踪集训1.“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案答案B点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3等价于=3,解得C=5或C=-25,所以“C=5”是“点(2
5、,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充分不必要条件,故选B.22|3 24 1|34C 2.过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l一共有()A.3条B.2条C.1条D.0条答案答案 C设直线l的方程为+=1(a0),由题意得解得a=-4,b=4,故满足条件的直线l一共有1条.故选C.xayb221,1()8,2abab考点二 圆的方程1.圆的标准方程当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E
6、2-4F0)表示以为圆心,为半径的圆.,22DE2242DEF典型例题典型例题(1)(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.(2)与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2的圆的标准方程为.答案答案(1)(-2,-4);5(2)(x+2)2+(y-4)2=205解析解析(1)方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,亦即+(y+1)2=-,不成立,故舍去;当a=-1时,方
7、程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5.(2)易知所求圆的圆心在直线y=-2x上,所以可设所求圆的圆心为(a,-2a)(a0),因为所求圆与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2,所以=2,可得a2=4,则a=-2或a=2(舍去).所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-4)2=20.52212x54522( 2 )aa 5方法归纳方法归纳求圆的方程的两种方法(1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程.(2)待定系数法:先设出圆的方程,再列出满足条件
8、的方程(组)求出各系数,进而求出圆的方程.跟踪集训跟踪集训1.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC外接圆的圆心为.33答案答案2 31,3解析解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则ABC外接圆的圆心为.10,330,7230,DFEFDEF2,4 3,31,DEF 2 31,32.已知圆C过点(-1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所截得的弦长为2,则圆C的标准方程为.2答案答案(x+3)2+y2=4解析解析设圆心C的坐标为(m,0)(m0),则圆心C到直线l:y=x+1的距离d=,弦长为2=|m+1|=2,解得m=-3或m=1(舍),圆心坐
9、标为(-3,0),半径为2,圆C的标准方程为(x+3)2+y2=4.|1|2m22(1)md22考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种:相交、相切和相离.直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法.(1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则dr直线与圆相离.(2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,联立消去y,得关于x的一元二次方程,其根的判别式为,则直线与圆相离0.2220,()()AxByCxaybr2.圆与圆的位置关系有五种:内含、内切、相交、外切、外离.设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)
10、2=,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=,两圆心之间的距离为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:(1)dr1+r2两圆外离;(2)d=r1+r2两圆外切;(3)|r1-r2|dr1+r2两圆相交;(4)d=|r1-r2|(r1r2)两圆内切;(5)0d0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离2答案答案B由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=(a0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|
11、=,则R-rR+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.2|2a22a 223.已知圆O:x2+y2=1,点P在直线x-2y+5=0上,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为.答案答案2解析解析过O作OP垂直于直线x-2y+5=0(P为垂足),过P作圆O的切线PA(A为切点),连接OA,易知此时|PA|最小.由点到直线的距离公式,得|OP|=.又|OA|=1,所以(|PA|)min=2.22|1 02 05|12 522|OPOA1.(2017东北四市高考模拟)直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.3305 3223随堂检测随
12、堂检测答案答案A圆的圆心坐标为(1,3),半径r=,则圆心到直线的距离d=,所以弦长为2=2=.故选A.1022|1 93|1( 3) 10222rd10104302.已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为()A.3x+y-5=0B.x-2y=0C.x-2y+4=0D.2x+y-3=0答案答案D直线x-2y+3=0的斜率为,由题意可知该直径所在直线与直线x-2y+3=0垂直,故该直径所在直线的斜率为-2,所以该直径所在的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选D.123.(2017黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).在圆C上存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12,则点P的个数为()A.1B.2C.3D.4答案答案B圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4,设P(x,y),|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因为|2-2|0),由题意可得解得所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.222|2 |4 5,55()( 5),aar22,9,ar
高三数学第一篇六 解析几何 第1讲 直线与圆 理
