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1、1.1.1角的概念的推广第一章1.1任意角的概念与弧度制学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一角的相关概念我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？答案答案答案一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点.按逆时针方向旋
2、转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.类型定义图示正角按照 而成的角负角按照 而成的角零角当射线 ，称它形成了一个零角 (1)角的概念：角可以看成是 绕着它的 从一个位置 到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：梳理梳理(3)角的运算：各角和的旋转量等于 .一条射线端点旋转逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有旋转各角旋转量的和思考1知识点二终边相同的角假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？答案答案答案它们的终边相同.660602360，42060
3、360，故它们与60分别相差了2个周角及1个周角.思考2如何表示与60终边相同的角？答案答案60k360(kZ).梳理梳理终边相同角的表示设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为S|k360，kZ，集合S的每一个元素都与终边相同，当k0时，对应元素为.思考知识点三象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案答案答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理梳理在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.象限角：角的 在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.轴线角：终边
4、落在 的角.终边坐标轴上题型探究解析解析锐角指大于0小于90的角，都是第一象限的角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角、零角，所以错误.解答类型一任意角概念的理解例例1(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为 .答案解析(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 .解析解析分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.解答答案解析120反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关
5、键是确定旋转的方向和旋转量的大小.解解顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为720.跟踪训练跟踪训练1写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；解答(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解解拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900.命题角度命题角度1求与已知角终边相同的角求与已知角终边相同的角例例2在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；解解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所
6、求的最大负角为50.类型二终边相同的角解答(2)最小的正角；解解由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)360，720)的角.解解由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.解答反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.解答跟踪训练跟踪训练2写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来.解解由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3
7、601 910，kZ.720360，即720k3601 910360(kZ)，3 k6 (kZ)，故取k4，5，6.当k4时，43601 910470；当k5时，53601 910110；当k6时，63601 910250.解解终边在y (x0)上的角的集合是S1|120k360， kZ；终边在y (x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ.因此，终边落在直线y 上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ.故终边在直线y 上的角的集合是S|120n180，nZ.命题角度命题角度2求
8、终边在给定直线上的角的集合求终边在给定直线上的角的集合例例3写出终边在直线y 上的角的集合.解答反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.解答跟踪训练跟踪训练3写出终边在直线y 上的角的集合.解解终边在y (x0)上的角的集合是S1|30k360，kZ；终边在y (x0)上的角的集合是S2|210k360，kZ.因此，终边在直线y 上的角的集合是SS1S2|30k360，kZ|210k360，kZ，即S|302k180，kZ|30(2k1)180，kZ|30n180，nZ.故终边在直线y 上的角的集合是S|30n180，nZ.类型三
9、象限角的判定解答例例4在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)150；解解因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.(2)650；解解因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.解答(3)95015.解解因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.解答引申探究引申探究确定 (nN)的终边所在的象限.解解一般地，要确定 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把
10、周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，4n，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时， 的终边所落在的区域，如此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.反思与感悟判断象限角的步骤(1)当0360时，直接写出结果.(2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限.跟踪训练跟踪训练4下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来.(1)60；解解60角是第一象限角，所有与60角终边相同的角的集合S|60k360，kZ，S中适合360720的元素是6
11、0(1)360300，60036060，601360420.(2)21.解解21角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合S|21k360，kZ，S中适合360720的元素是21036021，211360339，212360699.解答当堂训练1.下列说法正确的是A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90的角都是锐角答案234512.与457角终边相同的角的集合是A.|k360457，kZB.|k36097，kZC.|k360263，kZD.|k360263，kZ23451答案解析解析解析4572360263，故选C.234513.2 017是第
12、 象限角.解析解析因为2 0175360217，故2 017是第三象限角.答案解析三三234514.与1 692终边相同的最大负角是 .解析解析1 6924360252，与1 692终边相同的最大负角为252.答案解析2525.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解解终边落在x轴上的角的集合S1|k180，kZ；终边落在y轴上的角的集合S2|k18090，kZ.终边落在坐标轴上的角的集合SS1S2|k180，kZ|k18090，kZ|2k90或(2k1)90，kZ|n90，nZ.解答23451规律与方法1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意：(1)为任意角.(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360().(3)相等的角终边一定相同.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.(4)kZ这一条件不能少.本课结束
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