三角形“四心”向量表示

《三角形“四心”向量表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形“四心”向量表示（13页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式知识点总结1)O是ABC的重心oOA+OB+OC，0S=s,S,Zs若O是ABC的重心，则BOCAOCAOB3ABC故OA+OB+OC，0PG，3(PA+PB+PC)oG为ABC的重心.2)O是ABC的垂心oOAOB，OBOC，OCOAi=r若O是ABC（非直角三角形）的垂心,则S:S:S，tanA:tanB:tanCBOCAOCAOB故tanAOA+tanBOB+tanCOC，03)O是ABC的外心oIOA1=1OB1=1OCI(或OA2，OB2，OC2)若O是ABC的外心则S:S:S，sinZBOC：sinZAOC

2、：sinZAOB，sin2A:sin2B:sin2CBOCAOCAOB故sin2AOA+sin2BOB+sin2COC，04）O是内心ABC的充要条件是ICAIICBIOA(苣-AC)，OB心上)，OC(虫二，0IABIACIBAIIBCI引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为ei9e2，e3,123则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成OA(e+e)，OB(e+e)，OC(e+e)，0i3i223O是ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC，0故aOA,bOB,cOC=0或sinAOA,sinBOB,sinCOC=0IABIPC+IBCIPA,ICAIP

3、B二0oPABC的内心；向量（-ABi+iAC严0）所在直线过ABC的内心（是ABAC的角平分线所在直线）；二.范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查ABOP=OA(+阿話），小则P点的轨迹一定通过ABC的（）（A）夕卜心（B）内心（C）重心（D）垂心例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足解析：因为是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e和e，又OP点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”首先AB是什么？没见过！想aB想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、

4、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是ABC所在平面内任一点，HAHB=HB.HC=HC-HAo点HABC的垂心.由HA-HB=HB-HCoHB-（HCHA）=0oHB-AC=0oHB丄AC,同理HC丄AB，HA丄BC故H是AABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）卩是厶ABC所在平面上一点，若PAPB二PBPC二PCPA,则P是厶ABC的（D）A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心角军析:由PAPB=PBPC得PAPB-PBPC=0.即PB（PAPC）=0,即PBCA=0贝UPB丄CA,同

5、理PA丄BC,PC丄AB所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”GA+GB+GC=o例4.G是ABC所在平面内一点,是AABC的重心.证明作图如右，图中gb+GC=GE连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCoBGCE为平行四边形二D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GB+GC=GE代入GA+GB+GC=0，得GA+EG=0二GA=-GE=-2GD，故G是AABC

6、的重心.（反之亦然（证略）例5.P是ABC所在平面内任点.G是ABC的重心oPGi（PA+PB+PC）.证明PG=PA+AG=PB+BG=PC+CGn3PG=(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)VG是ABC的重心GA+GB+GC=nAG+BG+CG=0，即卩3PG=PA+PB+PCC由此可得PG=丄（PA+PB+pc）（反之亦然（证略）例6若O为）BC内一点，OA+OB+OC=0，则O是,ABC的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由OAOBOC=0得OBOC=-OA，如图以OB、0C为相邻两边构作平行四边形，则OBOC=OD，由平行四边形性质知OE=-OD，2OA=2|OE|，同理可

7、证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为=2。本题在解题的过程中将平面1向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。（四）.将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为,ABC内一点，pA|=|OB=|OC，则O是,ABC的（）A. 内心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知O到AABC的三顶点距离相等。故O是MB的外心，选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8.已

8、知向量op，OP，OP满足条件OP+OP+op=0，Iop1=1op1=1op1=1，123123123求证P1P2P3是正三角形.（数学第册（下）复习参考题五B组第6题）证明由已知op+op=-op，两边平万得opOP=-，123122同理=1OPOP=OPOP=一，23312*1PP1=1PP1=1PP1=3，从而P.P2P3是正三角形.122331123反之，若点O是正三角形PPP的中心，则显然有莎+齐+乔=0且123123|OP1|=|OP2|=|OP3|.即O是ABC所在平面内一点，0P+0P+0P=0且IOP1=10P1=10P1点O是正PP2P3的中心.123123123例9.在

9、ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x,0)、C(x,y)，D、E、122F分别为AB、BC、AC的中点，则有:xx+xD(fO)、EJ222由题设可设Q(L,y)、H(x,y),2324G(x1+x2LG(盲亍)xxyAH=(x2,y4)，qf=(牙-宁*一y3)AH丄BC,AHBC=x(x一x)+yy=022124,y=*,x2x2224y2QF丄AC，QFAC=x(2-)+y(*-y)=0222223x(x-xLy,y石一21耳23

10、2y22QH=(x牙,yy)=(j，-2*一x1)-讣)224322y2222y2x+xxy,2xxyx(xx)yQG=(211,2y)=(2,22212)3233丿32y222xx3x(xx)y12xx3x(xx)IC1CC1c1IC1CC12122122122132222y=3QH即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：22【注】本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明,都可转化为熟练的代数运算的论证。例10.若O

11、、H分别是ABC的外心和垂心.证明若AABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.求证OH=OAOBOCAD丄AB，CD丄BC又垂心为H，AH丄BC，AHCD,CH/AD,四边形AHCD为平行四边形,AH=DC=DOOC，故OH=OAAH=OAOBOC著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系:(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”(2) 三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11.设O、G、H

12、分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证OG=1OH3证明按重心定理G是AABC的重心oOG=3(OAOBOC)按垂心定理OH=OAOBOC由此可得OG3OH.补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=1(1OA+1OB+2OC)，则点P一定为三角形ABC的(B)322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点1.B取AB边的中点M，则OA+OB=2OM，由op=1(1OA+10B+2OC)可322得3OP30M+2MC,-MP2MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个3三等分点，且点P不过重心，故选B.2.在

13、同一个平面上有,abc及一点O满足关系式：oA2+BC2二0B2+CA2二0C2+AB2，贝UO为,abc的(D)A夕卜心B内心iC重心D心2 .已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA+PB+PC=0,则P为,ABC的(C)A外心B内心C重心D垂心3 .已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:OP=OA+X(AB+AC),则P的轨迹一定通过ABC的(C)A夕卜心B内心C重心D垂心4.已知ABC,P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足:PAPC+PAPB+PBPC，0，贝UP点为三角形的（D）A外心B内C重心D垂心5 已知aABCjP为三角形所在平面

14、上的一点/且点P满足：a-PA+b-PB+cPC，0,则P点为三角形的（B）A外心B内心C重心D垂心6 在三角形ABC中，动点P满足：CA2，CB2-2ABCP,则P点轨迹一定通过ABC的：（B）A外心B内心C重心D垂心一ABAC一ABACI7. 已知非零向量AB与AC满足（+）BC=O且匕,则MBC为|AB|AC|ABI|ACI2（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足（AB+AC）=0,即角A的平分线垂直于BC,.AB=AC,IABIIACI1又cosA，/BAC=9,ZA=，所以ABC为等边三角IABIIACI258. AABC的外

15、接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH，m（OA+OB+OC）,则实数攵m二9点O是三角形ABC所在平面内的一点/满足OAOB，OBOC，OCOA/则点OA夕卜心B内心C重心D垂心是ABC的(B)(A) 三个内角的角平分线的交点(B) 三条边的垂直平分线的交点(C) 三条中线的交点(D) 三条高的交点3310.如图1,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且MAM=xAB，N3AN=yAC，则3,丄=3。xy证点G是ABC的重心，知GA,GB,GC=O，得_AG,(AB-AG),(AC-AG)=O，有AG=；(AB,AC)。又M，N山三点共线(A不在直线MNt)于是存在，使得AG=AM有AG=xAB,yAC=3(AB,AC)，+=11，于是得1,1=3xy3