向量的数量积和向量积

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1、第三节第三节 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积一、 两向量的数量积二、 两向量的向量积一、两向量的数量积1 定义定义两个向量两个向量a a和和b b的模与它们之间夹角的余弦之积，的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量称为向量a与与b的的数量积数量积，记作记作ab,b,即即),cos(|bababa数量积也称数量积也称点积点积。力学意义：力学意义：一物体在力一物体在力F的作用下，的作用下，沿直线沿直线AB移动了移动了S， F与与AB的夹角为的夹角为,如右图，如右图，则力对物体做的功为则力对物体做的功为cos|SFW BSAF2 性质：性质： （1） aa=|a|a=|a|2 21, 1,

2、 1kkjjii0baba（2）0, 0, 0ikkjji（3） 表示两非零向量表示两非零向量a a和和b b的夹角，则的夹角，则有有|cosbaba 3 运算律运算律（1）交换律）交换律abba（2）分配律）分配律cbcacba )(（3）结合律）结合律)()()(bababa其中其中为常数。常数。4 数量积的计算公式数量积的计算公式设向量设向量kzjyixbkzjyixa222111,则有则有212121zzyyxxba证明：证明：)()(222111kzjyixkzjyixbakizxjiyxiixx212121kjzyjjyyijxy212121kkzzjkyzikxz21212121

3、2121zzyyxx则有两非零向量则有两非零向量a a和和b b的夹角的夹角的的余弦坐标余弦坐标表示为表示为 222222212121212121|coszyxzyxzzyyxxbaba此时，对于非零向量此时，对于非零向量a，b，有，有212121zzyyxxba5 向量在轴上的投影向量在轴上的投影设设A为空间一点，为空间一点，u轴已知，如图。轴已知，如图。Au过点过点A作与轴垂直的平面，作与轴垂直的平面，平面与轴平面与轴的交点的交点A称为称为A在轴上的投影。在轴上的投影。A对于已知向量对于已知向量 ， ABu轴上的有向轴上的有向线段线段 的模称为向量的模称为向量 在轴在轴u BA AB上的投

4、影，上的投影，它是一个数量，记作它是一个数量，记作ABjPruBBcos|AB|ABjPru那么那么为向量为向量 与轴与轴u的夹角。的夹角。AB用用e表示表示u轴上的单位向量，轴上的单位向量，则则aee为向量为向量a a在在e e方向方向上的投影，那么有上的投影，那么有cos|a|cos|e|a|ea例例1 已知已知a=1，1，-4，b=1，-2，2，求：求：（1）abb； （2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影。上的投影。解：解：（1）2(-4)2(111ba9（2）|b|a|ba)b,acos(212)2(1)4(119222222所以所以43)b,a(（3）因为因为ajPr

5、|b|)b,acos(|b|a|bab所以所以339|b|baABjPru例例2 求证余弦定理求证余弦定理cosab2bac222为边为边CACA，CBCB的夹角。的夹角。证明：证明：如图所示的如图所示的ABCABC，令令,c|AB| ,b|CA| ,a|CB|ABC可得可得CACBAB那么那么所以所以cosab2bac222证毕证毕)CACB()CACB()CACB(AB22CACB2CACB22二、两向量的向量积二、两向量的向量积1 定义定义设向量设向量c由两个向量由两个向量a和和b按下列规定给出：按下列规定给出：（1）|c|=|a| |b| sin， 为向量为向量a a和和b b的夹角；

6、的夹角；（2）bc,ac ，且向量，且向量a，b ， c的方向满的方向满足右手定则，如图；足右手定则，如图；那么向量那么向量c称为向量称为向量a和和b的的向量积向量积， 记作记作ab，即，即C= ab向量积又称为向量积又称为叉积叉积。向量积模的几何意义是：向量积模的几何意义是：以以a，b为邻边的平行四边形的面积。为邻边的平行四边形的面积。abcO为一根杠杆为一根杠杆L的支点，的支点，LOPF有一个力有一个力F作用于其上点作用于其上点P处，处，F与与 的夹角为的夹角为，OP由力学由力学规定，规定， 力力F对支点对支点O的力矩的力矩是一个向量是一个向量M，Q它的模它的模sin|F|OP|F|OQ|

7、M|而而M的方向垂直于的方向垂直于 与与F所决定的平面，所决定的平面， OPM的指向是的指向是OP是按右手规则从是按右手规则从 以不超过以不超过的角的转向的角的转向F F来确定，来确定，因而实际上因而实际上FOPMFOPM力学意义：力学意义：力矩力矩， 如下图所示。如下图所示。2 两向量积的性质两向量积的性质（1）aa=o；okkjjii（2）obab|a（3）若）若ao，bo，a，b的夹角为的夹角为，则，则|b|a|ba|sin3 两向量的向量积的运算律两向量的向量积的运算律（1） ab=-ba；（2）（）（a）b=a（b）=（ab（为常数为常数）（3）（）（a+b）c=ac+bc4 两向量

8、的向量积的坐标表示两向量的向量积的坐标表示设向量设向量kzjyixbkzjyixa222111,则有则有222111zyxzyxkjiba此时，对于非零向量此时，对于非零向量a，b，有，有212121zzyyxxb/a约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。例例3 设向量设向量. ba, k3ji 2b, kj2i 3a求解：解：k7j11i 5312123kjiba例例4 设向量设向量kj31ic , kib, kj3i 2a问问ab与与c是否平行？是否平行？解：解：k3ji3101132kjiba显然显然故故ab/c.例例5 问向量问向量k- j-

9、ick,-jbk,3j-2ia=+=+=是否共面？是否共面？解：解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？）（为什么？）由于由于k2j2i 4110132kjiba所以，所以，)kji ()k2j2i 4(c)ba(=4-2-2=0因而因而a，b，c共面。共面。 例例6 求以点求以点A（1，2，3），），B（3，4，5）和）和C（-1，-2，7）为顶点的三角形的面积）为顶点的三角形的面积S。解：解：根据向量积模的几何意义可知，根据向量积模的几何意义可知，所求三角形所求三角形的面积等于的面积等于|ACAB|21)AC,ABsin(|AC|AB|21SABC而而k4j4i 2OAOCAC, k2j2i 2OAOBAB故故k4j12i16442422kjiACAB所以所以262)4()12(1621|ACAB|21S222ABC