数字信处理DSP2z反变换课件

《数字信处理DSP2z反变换课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信处理DSP2z反变换课件（23页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换二、z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法( )( )x nIZT X zz反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxRzRRR （）( )nnxxnX zC zRzR11( )2n

2、ncCX z zdzjRe zIm jz0 xRxRC0, 1, 2,n 2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换 若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：11( )( )(,)2nxxcx nX z zdzcRRj1( )( )nF zX z z( )Re ( )kz zkx ns F z( )Re ( )mz zmx ns F z 利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换留数的计算公式单阶极点的留数：Re ( )() ( )rrz zrz zs F zzz

3、F z2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz解：211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11( )4nF zcz 当时在围线 内只有一阶极点14( )Re ( )zx ns F z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415n2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换11( )(1)04nF zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点4( )Re ( )zx ns F z

4、14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而围线 外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244( )(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm jz0C41/42022-6-25数字信号处理DSP2z反变换2( ) 4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4解： 收敛域是圆的外部 lim( )1X(z)z=zX z 又，即在处收敛( )( )00 x nx nn是一个因果序列，即，( )x n是右边序列10( )c(4)(1/4)0( )0nznF zz zx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次

5、高两阶以上，由围线外极点留数为 可得2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换0n 当时1( )(4)(1/4)nzF zzz144cz 在围线 内有一阶极点， Re zIm jz0C41/441/4( )Re ( )Re ( )zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )(44) ( )15nnx nu n思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何( )0 x n 2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换211( ) 1(1)(1)aX zaazaz例3：，求z反变换21111(

6、)2(1)(1)ncax nzdzjazaz解：221111(1)( )(1)(1)()() cX(z)nnaazF zzazaza zaza其中：为收敛域内闭合围线1( ),X zza a而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111) 2) 3) zazaaza2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换Re zIm jz0C1aa11) za收敛域是圆的外部 lim( )0zX z又，( )( )00 x nx nn是因果序列，即，0n 当时1( )F zczaa在围线 内有一阶极点，1( )Re ( )Re ( )z az ax ns F zs F z122111(1)(1

7、)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa( )() ( )nnx naau n2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换Re zIm jz0C1aa2) za0n 当时( )F zc在围线 内无极点( )0 x n 故0n 当时( )0F zcnz 在 内有- 阶极点1,cza a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1( )Re ( )Re ( )z az ax ns F zs F z ()nnnnaaaa ( )() (1)nnx naaun 2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换Re zIm jz0C1aa0n 当时( )

8、F zcza在 内有一阶极点( )Re ( )nz ax ns F za0n 当时( )0F zczanz在 内有一阶极点和- 阶极点1,cza在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1( )Re ( )nz ax ns F za ( )( )(1)nnnx na u na una 13) aza2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换2、部分分式展开法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12( )( )( )( )( )( )KB zX zXzXzXzA z( )( )x nIZT X z12( )( )( )KIZT XzIZT XzIZT Xz对各部分分式求z反变换：202

9、2-6-25数字信号处理DSP2z反变换01( )( )( )1MiiiNiiib zB zX zA za z11011( )11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z( )Re1,2,kkz zX zAskMrz用留数定理求系数：2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反变换Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换

10、 1123X zzzz 1111231 21 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换3、幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列x(n)2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母

11、按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列xzRxzR2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变换122330( )1nnnX zaza za za z ( )( )nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变换122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx n

12、a un 解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzz z例：，求z反变换解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式161( )1515(4)()41/41/4X zzzzzzz2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换116( )151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2022-6-25数字信号处理DSP2z反变换2123111( )141544X zzzzzz 1+16244( )( )(1)1515nnx nu nun 201114154nnnnnnzz