数值分析1误差及有效数字课件

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1、数值分析1误差及有效数字数值分析： 研究各类数学问题求解的数值计算及相关理论分析。 随着计算机的产生和发展，数值分析越来越多地研究如何借助于计算机求解相关问题。计算方法： 随着计算机产生和发展而建立的一个重要数学分支，是研究建立计算机解决各种数学问题的数值计算及相关理论分析。第一章第一章 绪论绪论1.1数值分析(计算方法)介绍：(Numerical Analysis)(Computational Method)数值分析1误差及有效数字主要内容：（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟合），数值微分（积分），常微分方程，矩阵特征值求解，偏微分方程数值解,（2）

2、理论分析：误差分析，计算过程的收敛性、稳定性（数学角度上），算法的计算时间复杂度，存储容量大小（计算机角度上） 数值分析1误差及有效数字特点 :v具有数学的抽象性和逻辑严密性v又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计算机结合密切的一门课程）v使用计算机进行数值问题求解是主要研究对象。数值分析1误差及有效数字如何学习这门课？v这门课的学习意义，数值计算的重要性;v如何上这门课（教材）, 学习方法;v上课形式（授课、上机、大型实验）;v成绩评定（平时、实验、期中、期末）.数值分析1误差及有效数字1.2误差基本概念1.2.1误差定义及来源v真实值与观察、测量或计算的值之间存在差异，其差称为误差。v结合

3、实际问题求解，误差来源可分为：(1). 模型误差（实际问题数学问题）， 如抽象化、忽略次要因素等.(2). 观测误差（数学问题中的数据初始值观察 测量时产生）(Error)数值分析1误差及有效数字(3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计算），如无穷级数求和（无限次有限次： ，(4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位，如Pi，无理数有理数，） 整个误差来源可做图表示: ! 7! 5! 3sin753xxxxx! 4! 21cos42xxx总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差，提高精度（如选择好的计算方法）数值分析1误差及有效数字1.2.2绝对误差和绝对误差限 定义：设 为准确值， 是

4、近似值 , 为绝对误差分析：e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值)e值实际上无法知道, 不知道， 但能知道误差的某个范围（即误差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过 0.5mm. *xxxxe*x定义：若 ，则 称为绝对误差限， 为正数，有:xxe*xxx,*数值分析1误差及有效数字1.2.3相对误差和相对误差限为什么引入？因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的物体，其绝对误差限都为0.5，但测量精度分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测量精确度，引入相对误差。*xx*xexxxer定义： 为准确值， 为近似值，则数值分析1误差及有效数字分析： (1). 可正

5、可负 re11*xxer(2). re*x(3). 无法知道，因为 不知道， rexexxxer*也可表示为 rererreerrrreeee1122和 之间关系为： （可作为习题）re因为 无法求出，所以通常考虑相对误差限rre |r若 或则称 为相对误差限。,|rre数值分析1误差及有效数字1.2.4 有效数字*x当 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。xxx定义定义：如果近似值 的误差限误差限是其末位上的半个单位，且该位直到 的第一个非零数字共有n位，则 有n位有效数字。12txa aa21具体计算具体计算：对 ，从左往右数，从第一个非零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差限为

6、末位的 个单位，则有效数字为n。 有效数字的位数确定.数值分析1误差及有效数字4110271102例：数0.00234711，取五位有效数字，例： =1.732050808x若 =1.7321，x但若 =1.7320，41102误差限为则有5位有效数字，因为误差限则只有4位有效数字，因为误差限为0.0023471，数值分析1误差及有效数字1.2.5误差传播影响计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函数值误差.2, 1xxfy 泰勒级数展开分析误差传播.*2*1,xxy*2*1*,xxfy 21,xxy2, 1xxfy 设 为准确值，准确值为为近似值，近似值为 21*2*1*,xxfxxf

7、yyye*11,xxhkxx2*2先考虑绝对误差：令利用二元函数一阶泰勒展开公式12*1212121212,xxf xxf xh xkf x xhfx xkfx x 采用二元函数数值分析1误差及有效数字所以： 1,2121212*1122121212,f xxf x xf x xf x xe yxxxxe xe xxxxx再考虑相对误差： 222221111121,xeyxxxxfxeyxxxxfyyeyer 2222111121,xeyxxxxfxeyxxxxfrr根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除的误差传播：数值分析1误差及有效数字 2121xexexxe 211221xexxex

8、xxe 222112211xexxxexxxe2x （避免绝对值很大的数为乘数） （避免 为很小的数为除数） 2212121121xexxxxexxxxxerrr 2212121121xexxxxexxxxxerrr 2121xexexxerrr 2121xexexxerrr（避免两相近数相减运算)数值分析1误差及有效数字1.3 机器数系. (略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差) pxs ss这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及表示范围（4个参数）：其中， =0.a1a2a3at 称为尾数-1,1, 中的正负号用一位数字区分；为基数，如取2、10、8、16；p为阶数，有上限U

9、和下限L, 由计算机存储字节长度决定。数值分析1误差及有效数字 1.4 误差危害的防止（1）使用数值稳定的计算公式数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法，若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足1een1n，则称该计算公式是绝对稳定的例：建立积分In=dx5xx10n （n=0,1.,20）递推关系式，并分析误差传播影响。数值分析1误差及有效数字解： dx5xx5x101 -nn1n-10 xdx 10nxnn1In+5In-1=101x5dx 10ln x 5 I0=ln6-ln5 递推式：ln5-ln6I n1 -5IIn01 -n 0I0InI0ne5在计算I0时，

10、设近似值为I0为 可设 e0=I0-In- =数值分析1误差及有效数字即初始误差对第n步的影响是扩大5n倍，误差范围误差范围变大，不稳定. 对可改用另一种计算过程：n-1nn2011II 55I 20I202020,eII0e20201e5（ 可通过积分第一中值定理算出）则 ，误差范围逐步减少。即若函数f(x)连续, g(x)在区间a,b上不变号且可积, 则有( ) ( )( )( ), , bbaaf x g x dxfg x dxa b11001111,015551nnnIx dxx dxnn11,6(1)5(1)nInn设20116 215 21I数值分析1误差及有效数字（2）避免两相近

11、数相减r12ex -x2r2121r211ex-xxexxx 1999200120011999220.0223607.44.732544.710220011999例. 计算设和有六位有效数字,即x1=44.7325 x2=44.7102x1-x2=44.7325-44.7102（可以根据需要取任意位有效数字,这里取6位）方法1：直接相减：方法2:分子有理化：=0.0223 （事实上只有2位有效数字）数值分析1误差及有效数字也可进行理论分析，这里考虑绝对误差：1444321212111e xxe xe xe xe x10101010222第一种方法只有2位有效数字1,21212121212122

12、21212,2e|xx22()e xe xxxxxf xxf x xe xe xxxe xx 44221221102110217102.447325.442xexexx27710.25 10102理论上分析, 可以有6位有效数字(分子为常数2,分母为x1+x2两变量之和)数值分析1误差及有效数字（3）避免绝对值大的数作乘数， 同样，避免x2为很小的数作除数， 11122222xx1xxxeee（4）防止大数吃小数： （计算机硬件发展，浮点数表示位数增加，此问题已很少出现） 主要原因是计算机运算处理时，需对阶处理（即取较大的阶值运算,较小数的尾数则会变的很小,计算机浮点数表示不出来）, 会出现:

13、 大数+小数=大数求和时，可先按绝对值从小到大排序，先对小数运算，再对大数运算。211221exexxxe数值分析1误差及有效数字(5)简化计算步骤，减少计算次数例：计算31x1684231xxxxxx88164482242,xxxxxxxxxxxx方法1：直接计算30次乘法方法2：（这里4次乘法）（4次乘法）共8次乘法空间上:需存储x,x2,x4,x8,x16, 方法1只需要存储x.数值分析1误差及有效数字nnnnaxaxaxaf(x)11101122n(n)nnnnnnaxaxaxaxf12110)( nnaxaxaxaxa1210例：计算常规方法：乘法： 加法：Horner方法（秦九韶方

14、法）: 需n次乘法，n次加法空间上:除了an和x, 多存储一个变量用来保存ai-1x+ai数值分析1误差及有效数字第第2章章 方程求根方程求根(Non-linear equation)2.1问题提出问题提出对方程 ，若存在 ，使得 ， 则称 为 的根，或称为零点。0)(xf*x0)(*xf*x0)(*xf)(xf)0()(011nnnnnaaxaxaxf0)(xf当为多项式形式时，即则 称为代数方程。)(xf)()(*xgxxm*x0)(xf若可写成形式,为的m重根，或称m重零点。则数值分析1误差及有效数字0)(xf002323RQxPxxdcxbxax13xyP30ypyq代数方程 的公式解

15、（当次数 时有）令 ，原方程又可写为：对三次方程（卡当公式）：31223113312311223123111QwwQywQQwyQQy231232( )()223( )()223132qqpQqqpQiw 此类方程有公式解： 其中,（有可能出现复数根）对四次方程，可找相关文献。4数值分析1误差及有效数字对高次方程，使用数值方法求解，即在满足一定精度的前提下，求根的近似值。具体步骤：)(xfba, 0)()(bfafba,)(xfba,ba,找到根的隔离区间当 在 内连续，且则 内有解； 当 在 内严格单调，则 内有唯一解。求根精确化找出一个根的近似值后，通过迭代方法计算， 直至近似值达到一定精度。数值分析1误差及有效数字例1：求0343)(23xxxxf的有根区间。有根区间：0, 2内有解; 缩小区间可知: 1, 2内有解; 再继续缩小区间知: 1.5, 2内有解。例2：求 的有根区间.( )2xf xxe2xex即 , e=2.71828, 可由作图知, 0, 1内有解。