学案3空间点、平面、直线之间的位置关系

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1、空间点、直空间点、直线、平面之线、平面之间的位置关间的位置关系系1.1.理解空间直线、平面位置关系的定义理解空间直线、平面位置关系的定义. . 2.2.了解可以作为推理依据的公理和定理了解可以作为推理依据的公理和定理. .3.3.能运用公理、定理和已获得的结论证能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题明一些空间图形的位置关系的简单命题. . 空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每年高空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每年高考都要考查，题型以选择题和解答题为主，验证度不大，考都要考查，题型以选择题和解答题为主，验证度不大，同时还要注意异面直线的判定与证明同时还

2、要注意异面直线的判定与证明. 1. 1.三个公理三个公理 公理公理1 如果一条直线上的如果一条直线上的 在一个平面内，在一个平面内，那么这条直线在此平面内那么这条直线在此平面内. 公理公理2 ,有且只有一个有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面.两点两点 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点 公理公理3 如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面 ，那么它们有且只有那么它们有且只有 . 2.符号语言与数学语言的关系符号语言与数学语言的关系有一个公共点有一个公共点 一条过该点的公共直线一条过该点的公共直线 数学符号语言数学符

3、号语言数学表达语言数学表达语言点点A A在直线在直线a a上上点点A A在直线在直线a a外外点点A A在平面在平面内内点点A A在平面在平面外外直线直线a a在平面在平面内内直线直线a,ba,b相交于点相交于点A A平面平面,相交于直线相交于直线a a=a Aa AaAa Aaaab=A 3.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面(1)相交直线相交直线: ;(2)平行直线平行直线: ;(3)异面直线异面直线: .4.判定异面直线的方法判定异面直线的方法(1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平利用定理：过平面外一点与平面内一点的直

4、线和平面内不经过该点的直线是异面直线面内不经过该点的直线是异面直线.在同一平面内，有且只有一个公共点在同一平面内，有且只有一个公共点 在同一平面内，没有公共点在同一平面内，没有公共点 不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既 不相交又不平行的两条直线），没有公共点不相交又不平行的两条直线），没有公共点 (2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾盾.5.公理公理4 空间平空间平行线的传递性行线的传递性.6.等角定理等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个空间中如果两个角的两边分别对应平

5、行，那么这两个角角 .平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行 相等或互补相等或互补 7.异面直线所成的角异面直线所成的角 设设a,b是异面直线，经过空间任一点是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线，分别作直线aa,bb，把直线，把直线a与与b所成的所成的 叫做异面叫做异面直线直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角). 8、空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种：直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内：）直线在平面内： ； （2）直线与平面相交：）直线与平面相交： ； （3）直线与平面平行：）直线与平

6、面平行： ，锐角锐角(或直角或直角) 有无数个公共点有无数个公共点 有且只有一个公共点有且只有一个公共点 没有公共点没有公共点 名师伴你行直线与平面相交或平行的情况统称直线与平面相交或平行的情况统称 .9、平面与平面的位置关系、平面与平面的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有两种：两个平面之间的位置关系有且只有两种：（1）两个平面平行：）两个平面平行： ；（2）两个平面相交：）两个平面相交： .有一条公共直线有一条公共直线 直线在平面外直线在平面外 没有公共点没有公共点 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,对角线对角线A1C与平面与平面BDC1交于点交于点O,AC,BD交于点交于点

7、M,求证求证:点点C1,O,M共线共线. 【分析【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线直线,再证明其余点也在该直线上再证明其余点也在该直线上.【证明【证明】如图如图,A1AC1C,A1A,C1C确定平面确定平面A1C.A1C平面平面A1C,OA1C,O平面平面A1C,而而O=平面平面BDC1线线A1C,O平面平面BDC1,O在平面在平面BDC1与平面与平面A1C的交线上的交线上.ACBD=M,M平面平面BDC1且且M平面平面A1C,平面平面BDC1平面平面A1C=C1M,OCM,即即M,O,C1三点共线三点共线. 证明若干点共线也可用基本性质证

8、明若干点共线也可用基本性质3为依据为依据,找出两个平面的交线找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的然后证明各个点都是这两平面的公共点公共点.如图所示如图所示,已知已知ABC在在平面平面外外,AB,BC,AC的的延长线分别交平面延长线分别交平面于于P,Q,R三点三点.求证求证:P,Q,R三点共线三点共线.:设设ABC所在平面为所在平面为,因为因为AP=P,AP,所以所以与与相交于过点相交于过点P的直线的直线l,即即Pl.因为因为BQ=Q,BQ,所以所以Q,Q.所以所以Ql.同理可证同理可证Rl.所以所以P,Q,R三点共线三点共线.【分析】【分析】(1)只需证只需证BC GH.(2)先证

9、四边形先证四边形BEFG为平行四边形为平行四边形,再证明再证明EFCH即得即得.如图，四边形如图，四边形ABEF和和ABCD都是直角梯形，都是直角梯形，BAD=FAB=90,BC AD,BE FA,G,H分别分别为为FA，FD的中点的中点.(1)证明证明:四边形四边形BCHG是平行四边形是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面四点是否共面?为什么为什么?2121【解析【解析】如图，如图，(1)证明证明:由已知由已知FG=GA,FH=HD,可得可得GH AD.又又BC AD,EH BC,四边形四边形BCHG为平行四边形为平行四边形.(2)C,D,F,E四点共面四点共面,证明如下证明如下:由

10、由BE AF,G为为FA中点知中点知,BE FG,四边形四边形BEFG为平行四边形为平行四边形,EFBG.由由(1)知知BGCH,EFCH,EF与与CH共面共面.又又DFH,C,D,F,E四点共面四点共面.212121 证明点线共面的常用方法：证明点线共面的常用方法： (1)纳入平面法纳入平面法:先确定一个平面先确定一个平面,再证明有关点、线在再证明有关点、线在此平面内此平面内. (2)辅助平面法辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面先证明有关的点、线确定平面，再，再证明其余元素确定平面证明其余元素确定平面，最后证明平面，最后证明平面,重合重合.如图所示，已知空间四边形如图所示，已知空间四边形

11、ABCD，E，F分别是分别是AB，AD的中点，的中点，G，H分别是分别是BC，CD上的点上的点.且且CG= BC，CH= DC.求证：求证：（1）E，F，G，H 四点共面；四点共面；（2）三直线）三直线FH，EG， AC共点共点.3 31 13 31 1（1）连接）连接EF，GH.由由E,F分别为分别为AB,AD中点，中点，EF BD,由由CG= BC CH= DC，HG BD，EFHG且且EFHG.EF,HG可确定平面可确定平面,E,F,G,H四点共面四点共面.2 21 13 31 13 31 13 31 1（2）由（）由（1）知）知,EFHG为平面图形，且为平面图形，且EFHG，EFHG.

12、四边形四边形EFHG为梯形，设直线为梯形，设直线FH直线直线EG=O，点点O直线直线FH，直线，直线FH 面面ACD，点点O平面平面ACD.同理点同理点O平面平面ABC.又面又面ACD面面ABC=AC，点点O直线直线AC（公理（公理2）.三直线三直线FH，EG，AC共点共点. 先由公理先由公理1判定判定FG平面平面ABCD,再由平再由平行公理证明线线平行行公理证明线线平行.如图所示，在正方体如图所示，在正方体AC1中中,E是是CD的中点的中点,连结连结AE并并延长与延长与BC的延长线交于点的延长线交于点F,连结连结BE并延长交并延长交AD的延的延长线于点长线于点G,连结连结FG.求证求证:直线

13、直线FG平面平面ABCD且直线且直线FG直线直线A1B1. 【证明【证明】由已知得由已知得E是是CD的中点的中点,在正方体中在正方体中,有有A面面ABCD,E面面ABCD,所以所以AE面面ABCD.又又AEBC=F,所以所以FAE,从而从而F面面ABCD.同理同理,G面面ABCD,所以所以FG面面ABCD.因为因为EC AB,故在故在RtFBA中中,CF=BC,同理同理,DG=AD.又在正方形又在正方形ABCD中中,BC AD,所以所以CF DG.所以四边形所以四边形CFGD是平行四边形是平行四边形.所以所以FGCD.又又CDAB,ABA1B1,所以直线所以直线FG直线直线A1B1.21 判断

14、空间中直线的位置关系主要依据平面判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系的基本性质及几何体内线面之间的位置关系.将公理将公理1,2,3与平面几何知识相结合与平面几何知识相结合,解答一些常规题目解答一些常规题目.已知已知E和和F分别是正方体分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AA1和和棱棱CC1上的点上的点,且且AE=C1F,求证求证:四边形四边形EBFD1是平行四是平行四边形边形. 【证明【证明】如图所示如图所示,在在DD1上取上取一点一点G,使使D1G=A1E,则易知则易知A1E D1G,四边形四边形A1EGD1为平行四边形为平行四边形,EG A1D

15、1,四边形四边形A1EGD1为平行四边形，为平行四边形，EG A1D1.又又A1D1 B1C1,B1C1 BC,EG BC(公理公理4），），四边形四边形GEBC是平行四边形，是平行四边形，EB GC.又又D1G FC,四边形四边形D1GCF是平行四边形，是平行四边形，GC D1F,EB D1F(公理公理4），），四边形四边形EBFD1是平行四边形是平行四边形. 2.2.图形对于分析空间元素的位置关系，展开想象，探图形对于分析空间元素的位置关系，展开想象，探索解题思路至关重要，因此复习时应重视两个问题：一索解题思路至关重要，因此复习时应重视两个问题：一是画图与识图，即能正确运用实、虚线画出结构合理的是画图与识图，即能正确运用实、虚线画出结构合理的直观示意图，能正确分析图形基本元素间的位置关系直观示意图，能正确分析图形基本元素间的位置关系. .二是借助图形思考，即能利用图形寻找解题思路、检验二是借助图形思考，即能利用图形寻找解题思路、检验结果和数形结合等结果和数形结合等. .3.3.并非所有的平面几何结论都可以推广到空间，必须并非所有的平面几何结论都可以推广到空间，必须在证明所研究的图形是平面图形之后，才能引用平面几在证明所研究的图形是平面图形之后，才能引用平面几何的结论何的结论. .名师伴你行