§4.2换元积分法(第二类换元法)

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1、4.2换元积分法(第二类)I授课题目(章节)：4.2换元积分法(第二类换元积分法)II教学目的与要求：1. 了解第二类换元法的基本思想2. 掌握几种典型题的第二类换元积分法解法III教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换W讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时，如果函数g(x)可以化为f,(x),(x)的形式,那么4.2换元积分法#所以第一换元积分法体现了“凑”的思想把被积函数凑出形如f,(x),(x)函数来对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2-x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。4.

2、2换元积分法#4.2换元积分法#若上面的等式右端的被积函数f中(t(t)有原函数(t)，贝f中(t)M(t)dt(t)+C,然后再把(t)中的t还原成中-1(x)，所以需要一开始的变量代换x中(t)有反函数。定理2设x(t)是单调、可导的函数，且中(t)丰0,又设f中(t)中(t)有原函数(t)，则f中(t)中(t)dt(t)+C中-i(x)+C分析要证明f(x)dxOV-1(x)+C，只要证明N-1(x)的导数为f(x),中-i(x)ddxdtdxdtdx证明x=(t)单调、可导，,x=(t)存在反函数t=-1(x)，且dd=dx1dxdt=1中(t)一1(x)=葺$dxdtdx1=f(t)

3、(t)(t厂f(x)，x)是f(x)是一个原函数Jf(x)dx=中-1(x)+C.第二换元法，常用于如下基本类型c，兀兀、类型1：被积函数中含有a2-x2(a0)，可令x=asmt(并约定t0)兀兀解令x二asint，t(一22)，则a2-X2=aC0Std=Za2a2.,.Ja2一x2dx=Jacostacostdt=a2J(+cos2t)dt=t+sin2t+C2224a2a2a2.xx小=t+sintcost+C=arcsin+a2一x2+C.222a2借助下面的辅助三角形把sint,cost用x表示.x2例2求Jdx4-x2兀兀解令x=2血t，t0)可令x=atant并约定t(),则4

4、.2换元积分法#4.2换元积分法#a2+X2asect；dx=asec4sin214sint4tdt；可将原积分化为三角有理函数的积分.4.2换元积分法#4.2换元积分法4dx(a0)x2,a24.2换元积分法#4.2换元积分法#解令x=atant，t(22)，则x2十a2=asect，dx=asec2tdtJ=Jsectdt=lnsect+tant+C=lnx2+a2,x,C=lnx,x2,a2,C.aaJ1dsint=-1-1,C=-14.2换元积分法#4.2换元积分法5dx解令x=2tant，t(22)，则4十x2=2sect，dx=2sec2tdt4.2换元积分法#4.2换元积分法#d

5、x2sec212sec2t,1sectr1=dt=dt=J4tan21-2sect4tan2141costdt2sint2cost4.2换元积分法#=1Jcostdt=4sin214.2换元积分法#4.2换元积分法#例5求J(x(x2,9)2（分母是二次质因式的平方）4.2换元积分法#解令x3tant，贝yx2+9=9sec21，dx=3sec2tdtdx3sec2t.1=dt=cos2tdt(x2,9)281sec41274.2换元积分法#545454t1t1+sin2t=+:=542,545454=1x13x小arctan+C=54354x2+9sintcost+CJcos2td2t=1J

6、(1+cos2t)dt=t+1Jcos2tdt=+1542,544.2换元积分法6练习：求J1(x2一2x+5)2dx(第二换元积分法分)解(x2-2x+5)222+(x-1)22，令x1二2tant/兀兀、te(一22)则Jdx=J2sec2tdt=(x2一2x+5)224sec411J(1+cos2t)dt=+1sintcost+C16161x-11x-1=arctan+1628x2-2x+5类型3被积分函数中含有x2-a2(a0),当xa时，可令x兀te(0,)，贝yx2-a2=atant，dx=asecttantdt，当xa，可(a0)解被积函数的定义域为(-,-a)U(a，+),兀当

7、xe(a,+)时，令x=asect,te(0,),2贝yx2一a2=atant，dx=asecttantdt有dxx2一a2Jasecttantatantdt=Jsectdt4.2换元积分法#)+C=ln(x+x=ln(sect+tant)+C=ln(+a4.2换元积分法#ii当x（一,-a）时，令x=_u，贝yu（a,+，）有dxx2一a2du=ln（ux2a2一x一x2一a2x2一a2）（一x一=Inx一x2一a2+C=ln（xa21x2a2一Ina2）i=ln（一x一x2一a2）+C2x（,a）（a,+，）时,dxi=lnx+x2a2dxx21解x（1,+，）时,令x=sect,t（0,

8、x2一1=tant,dx=secttantdt,有dxsecttant=Jdt=Jcostdt=sint+C=x2x2一1sec21tant4.2换元积分法7ii4.2换元积分法#iidx.无论x1均有dx4.2换元积分法#ii4.2换元积分法#ii注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2) 在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3) 在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.4.2换元积分法#例8求xx2一a2dx(a,0)解法一(用

9、第一换元法)x,a时dxxx2一a2dxdxx2a21x21-(a)2x丄arccos#+C,axx-a时，令u-x贝yu,adx=xx2a2(-u)u2a21arccos+au1Carccos，adx1两式合并Jarccosxx2一a2adxa+Cx解法二(第二换元法)(1) 当x,a时，xasect,te(0,)则Jx2-a2atant,dxasecttantdtdxasecttant1t1adt1dt+C=_arccos+CxJx2一a2asectatantaaax(2) 当x0)，可令x，asint(并约定t(-2，2)则a2-%2，acost；dx，acostdx可将原积分化作三角有理函数的积分.类型2：被积函数中含有a2+x2(a0)可令x=atant并约定t(，)，则a2+x2，asect；dx，asec2tdt；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型3被积分函数中含有x2a2(a0)，当xa时，可令x，asect，并约定兀t(0,2)，则x2一a2，atant，dx，asecttantdt当xa，可将原积分化为三角有理函数的积分。W课堂练习：P208习题4-22(37)W课外作业：P208习题4-22(36)(37)(38)(40)(42)4.2换元积分法10x（，,1）时，令u=x,则u（1,+，）有du4.2换元积分法#