§2.1测度与测度的性质

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1、第二章测度与测度的构造我们知道Riemann积分的儿何意义是曲边梯形的面积.为在欧氏空间空间上推广Riemann积分的理论，我们必须把彖长度，而积和体积等概念推广到疋中的更一般的集上去.本章将要定义的上的Lebesgue测度就是长度，面积和体积等概念推广.2.1测度与测度的性质教学目的给出一般空间上测度的定义，并由M!ij度的定义推出M!J度的基本性质Lebesgue测度和Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要的特例,将在2.3中介绍.本节要点本节讨论的测度是一般空间上的抽彖测度应通过一些例子，使学生理解测度的意义.广义实数集测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值

2、为此引进“+s”和“-s”两个符号，称之为广义实数规定它们与实数a之间的人小关系和四则运算如卜：(1)序关系:-sea0G)乘法：ci(土s)=(oo)a=0a=0COal是一列非负实数.在卩(X)上定义“(0)=0,/1(A)=工卩，AG.a,eA容易验证“是巩X)上的测度.特别地，当pn=1(1)时，/中元素的个数当H是有限集，(&=.l+s当/是无限集.此时称“为X上的计数测度.特别地，若取X=N为自然数集，则得到自然数集上的计数测度.例5设夕是非空集X上的o,因此“(A)“(2) -在中已证“(5)=/z(X)+/z(5-X).由此式并注意到03“)n=ln=lw=ln=l(4).令耳

3、=A1,Bn=An-An,n2由于心仁容易知道有比cBj=0(iH;),并且coco00仆血UA=U5r1=11=11=1CO00由测度的可数可加性，我们w=ln=l(0人)=f3”)=慳i()W=11=1=11111/2(03,)=lim/z(Xn).Pl-8y?2-CO1=1令bm=4-a，1-则瓦T，并且8COCO05N=Q(A-A)=A-nA-n=lw=ln=lco注意到（|Ja2）“（4J“3i）CO=(Ni)lim(4)n-a由上式得到zz(QAI)=liin/(A,1).定理证毕.n=l注2在测度的性质也若去掉条件“（4）V+s,则不能保证中的结论成立.例如，设“是自然数集N上的

4、计数测度.令A,=n,n+1,则4,1并且008CAn=0于是“(AA)=0-另一方而，由于“(Xj=+co(nl),故41#00lim心)=M-CO+s.因此（|4）工!塑（4）n=l定义3设“是环欠上的测度.（i）若对每个A5都有“（/）+8,则称“是有限的.(ii)若对每个Ag存在欠中一列集Any使得”(4)1)并且00则称“是O-有限的.n=l容易知道，若环欠上的测度“是o-有限的，则上述定义中的/“可以选取为互不和交的.特别地，若“是O-代数歹上的测度，则“是O-有限的当且仅当存在歹中一列互不相交的集,使得“1)并且x=Oa-n=l例如，本节例1和例2中的测度是有限的例4中的测度是7-有限的.定义4(1)设X为一非空集，疔为X上的代数.称二元组合(X,F)为可测空间.歹中的集称为于-可测集(或简称为可测集).(2)设“为可测空间(X,分)上的测度称三元组合(X,兀山为测度空间.若测度“为有限的或O-有限的，则分别称测度空间(X,严,“)为有限的和O-有限的.小结为了适应现代数学的许多分支需要，本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测度的性质，以后会经常用到，应熟练掌握测度最重要的例子，将在2.3中介绍.习题习题二第1题一第8题.42