§4.6乘积测度与Fubini定理

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1、4.6乘积测度与Fubini定理教学目的本节讨论测度空间的乘积空间，并且证明一个重要的定理Fubini定理.本节要点乘积测度的构造利用了22测度的延拓定理Fubini定理是积分理论的基本定理它是关二元函数的二重积分，累次积分交换积分顺序的定I.Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.设X和卩是两个非空集，AX.BY.称AxB为XxY中的矩形(定义Xx0=0,0x5=0).例如，平面可以看成是直线与直线的乘积，即RXxRl=R2.当/和E是直线上的有界区间时，AxB就是平而上的通常意义卜的矩形.本节在抽彖空间的情形卜讨论乘积空间,但可以将RlxRl=R2这一特殊情形作为直观模型.通

2、过直接验证，不难证明矩形具有如卜性质(图61):(1) .(力1xc(A2xB2)=(nA2)x(EnB2).(2) 31X-(冬xB2)=3-A2)XcA2)x(B、-B2).JYIB2E1e2A.J4*E=(X1E2=(4c/Jxp-?)图6-1设和是两个测度空间-若则称AxB为可测矩形.设仅是可测矩形的全体所成的集类.利用上面所列的矩形的性质，容易验证炉是一个半环.由Q生成的CT-代数66称为H与Z的乘积oM弋数，记为水B在卩上定义一个非负值集函数如卜对任意AxBeCt令(“xi/)(Nx5)=(H)vB).(1)定理1由(1)式定义的集函数“xjz是呂上的测度证明显然(/zx1/)(0

3、)=0.往证“X在0上是可数可加的设AxB是一个可测矩形，AxBn是一列互不相交的可测矩形使得AxB=J=lAnxBn.由于乂肿瓦是互不相交的，故成立M-1对任意固定的ygY,将上式两边对工积分并利用单调收敛定理得到83)厲9)=工“(H(刃n=l再对y积分得到“(N)vB)=丈“心J.这就是n=lco3)(x)=工(/)(4xBn).W=1即“X在仅上是可数可加的.因此“X1/是呂上的测度.设欠是由仅生成的坏，即k=A=JE,:是互不相交的可测矩形,1.i=i注意由于XxYw汉,故久实际上是一个代数.按I、而的方式将“Xi/延拓到久上.若EgE的一个分解式为E=j=iAtxBt,则令仪xv)

4、E)=工(4)心).(2)=1由22引理7,(/lxy)(AxB)的值不依赖-AxB的分解式的选取.由定理1和2.2定理8立即得到如卜定理定理2由(2)式定义的集函数“X是欠上的测度.设(ZZxk)*是由“x1/导出的外测度，M吟是(Zzxr)*可测集的全体所成的o-代数.由2.2定理5,(/ZX/)*在加;刈上是一个测度，称这个测度为“和y的乘积测度，仍记为Z/xv称测度空间（XxY,血”“xv）为（X,力，“）与（Y,2七）乘积空间.由22定理10,测度空间（XxY,Mv,/ixv）是完备的.容易证明若“和y都是o-有限的，则/zxy也是CT-有限的（其证明留作习题）.由第一章习题第26题

5、的结杲知道CT（0）=7xfB=o（C）=cr（禺uM幣v因此“x1/也是XxZ上的测度有时也称测度空间（XxY,Ax矽,“xv）为（X,/,“）与（Y,炉卫）乘积空间.卜面我们将证明Fubim定理.为此需要作一些准备.设EuXxYzX.称集Ex=ygY:（x,）9gE为E在才的截11类似地，对ygY,称集E$=xeX:（x,y）eE为E在尹的截LI.注意乞和比分别是Y和X的子集（图62）.V118#图62容易验证关J：截II成立（i）（0e=0（E）“n=ln=l（ii）.（Ef=同样，关iy的截门也成立类似的性质.定理3设（X,如D和（丫,恥）是两个（7-有限的测度空间,则（i）.对任意x

6、e.X,必有ExgB（ii）.WE）和是（X,心&上的可测函数.并且成立等式G)（Axi/）（E）=JV（E）如证明(i)设F是可测矩形的全体.令歹=EG7x2:对任意XgX,ExG2.若E=AxBe6,则当xgA时，E、=E.当x幺必时，Ex=0.故对任意xwX,E.因此Eu歹.利用截I的性质容易证明歹是一个7x2=(7(0)u于.即对任意xeX必有ExgB(ii)先设i/(Y)v+s.由本定理的结论(i),对任意xwX,必有故函数有意义令歹=Ex2:v(J是/可测的.若E=AxB是一个可测矩形，则v(Ex)=v(B)Ia(x)是眉可测的.这表明Cu于.往证歹是一个2类.显然XxY设E,F并

7、且EnF.注意到v()v(Z)+7可测的.因此U5丘歹，即夕对单调增加的集列的并运算n=lw=l封闭.所以夕是包含呂的一个久类.注意到呂是一个才类.由13推论12,我们有贝*8=(7(0)U于.即对任意i/(&)是可测的-若v(y)=+1,在矽上定义测度vn(B)=v(BnYn),B.则匕(Y)=W打)1,匕(E,)是/可测的.我们有v()=v(U(n)=fv(Exc打)=”)n=ln=ln=l由此可见1/(EJ是/可测的.在7x3上定义集函数如下：则是非负值集函数并且m(0)=0.设乞是中的一列互不相交的集则由单调收敛定理得到cococon=lw=l即2是可数可加的故是上的测度.若E=AxB

8、是一个可测矩形，则2(E)=Jv(E网=Jv(B)IA(x)d/L=/1(A)vB)=(jtxv)(E).故在Q上/i=zzxj/.测度的有限可加性蕴涵在由e生成的环欠上兄=“x匕由于“和v都是O-有限的，容易知道兄和/XV也是CT-有限的(参见习题).由22定理6知道在xA=/ZXV.这表明对任意(3)式成立注1由定理3,我们也可以用(3)式来定义上的乘积测度“xy这样定义的“XI/与我们前而定义的M吟上的乘积测度“X1/在/x2上是一致的.但是这样得到的乘积测度空间(XxY,力x8,fixy)一般说來不是完备的.本节所用的定义乘积测度的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间(XxY,心,

9、X1/),这样就避免了对(XxX,/Zxk)再进行完备化的讨论.引理4设(X,/,“)和(Y,v)是两个完备的测度空间，若EGMv并且(/Xv)(E)=0.则对几乎所有xgJT,ExG并且1/()=0a.e.,证明由2.2定理11,存在Fg=尿3，使得F=E并且(ZZxv)(F)=(/xv)()=0.定理3(ii)蕴涵以巧)=0a.e.由于8关于“是完备的，因此由E*u人得到Exg企a.e.并且=a.e.定理5设(X,虫，“)和(Y,坯)是两个完备的o-有限的测度空间，EwM叶则(i) .则对几乎所有xeX，必有ExgB(ii) .%乞)是(上的可测函数.并且成立等式a#xi/)(E)=(4)

10、(iii) .若f(x,y)是(XxY,加冲,“xi/)上的可测函数，则对几乎所有xg,函数09=f(x,y)是(7,2卫)上的可测函数.证明设EgMv.由22定理13,存在Fg和NwM缈v、(Z/xv)(77)=0,使得E=F-N.由引理4,Nxga.e.并且v(NJ=0a.e.再利用定理3,我们有Ex=-ga.e.因此(i)得证一由定理3,以比)是方可测的.由于力关于“是完备的，并且v(E)=J/(Fx)-)=v(Fx),a.e.故v()是眉可测的(参见第三章习题第7题).注意到(xi/)(N)=O,由定理3(ii),仪)(功=(Axv)(F)=Jv(Fx)dv=1/(码).即(4)成立.

11、因此(ii)得证.由于对任意实数a,(x,y):f(x,y)ae是由结论(i),对儿乎所有XGX、我们有ywYCI=():f(x.y)axgB即Z.09=/(X,J)是(上的可测函数.因此(iii)得证.由对称性，关JE,和“(弓.)成立类似J：定理3,引理4和定理5的结果.设(和是两个测度空间，f(xyy)是XxY上的可测函数若对几乎所有固定的xeX,f(x,y)在Y上的积分存在.记gM=f(x,y)dv.(g(x)可能在个“-零测度集上没有定义，在这个零测度集上令g(x)=0).若g(x)是X上的可测函数并且在X上的积分存在，则称/的二次积分存在，并且称丄为/的二次积分，记类似可以定义另一

12、个顺序的二次积分关在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系，我们由如卜的定理.这是本节最主要的结果定理6(Fubini理)设(X,/,“)和(乙2卫)是两个完备的O-有限的测度空间.则(i).若/是(XxY,Mv,/ixv)上的非负可测函数，贝I(x)=Jiff(x,y)dv和J(y)=ffx,y)dn分别是X和丫上的非负可测函数-并且成立(5)JX(ii).若/是上的可积函数，则I(x)=f(x9y)dv和J(y)=Jf(x,y)du分别是关于“和v可积的.并且(5)成立.(6)证明(i)由对称性，只需证明I(x)=f(x,y)dv是X上的非负可测函数，并且先设f=IE是特征函数

13、，其中Eg加;“由定理5(i),对几乎所有込X,E,wB于是IE(x,y)dv=IE(y)dv=v(Ex)./z-a.e.122由定理5(ii),是X上的可测函数.并且匸卩耳如x1/=x2)3)=丄v(E、)d“=丄(IEd应“这表明当/是特征函数时,=fyf(x,y)dv是X上的非负可测函数并且(6)成立.由#积分的线性性质知道，当/是非负简单函数时，“X)是X上的非负可测函数并且(6)成立.一般情形，设/是非负可测函数.则存在非负简单函数列兀使得T/.由上面的证明,人(4=/兀(兀刃力是X上的非负可测函数由单调收敛定理得到fyA(x,y)dtfrf(x,y)dy.因此Z(x)是X上的非负可

14、测函数.再对函数列几应用单调收敛定理，我们有ffd/ixv=hmf加“x“=limf(ffndvi/i=F(fJXxYn-con-JxJY/JXJY/即(6)成立.因此(i)得证.fyf+(x,y)dv和丄厂(ii)由对称性，我们只需证明Z(x)是关于“可积的，并且(6)成立.由(i)的结论,(xyy)dv是X上的非负可测函数.因此“X)是X上的可测函数.对厂和广分别运用(6),我们有/如心JL/如一L厂如=皿厂岬-皿广岬=L(fyfdVh注意由是关J-/ZXI/可积的，故上式中出现的积分都是有限的，因此作减法运算是允许的.这就证明了Z(x)是关丁“可积的，并且(6)成立上推论7设(XMji)

15、和(人29是关于“可积的.注3在Fubim定理中,若去掉(和(乙亦)是完备的这个条件，则当f是(XxY,xZ,“xvz)上的非负可测函数或可积函数时，定理的结论仍成立.其证明与定理6的证明是类似的.只是此时不用定理5Ifu直接引用定理.3就可以了.例1设*&山是一个CT-有限的测度空间，/是X上的非负可测函数,lpt)dt.证明令=(x,O：/(x)f0,则Et=x:f(x)t.显然/(x)-1是乘积空间(XxH,夕xM(i),“xf)上的可测函数，故E=(x,0:/(x)0gZFxM(Rl).因此函数厶,(x)=IE(x,0是关于于xM(R)可测的.由Fubim定理我们有=PTZ：/a)r(

16、X)=2ptP-dtJx心G)H(x“ptpl/i(x:f(x)t)dt.卜面我们将本节的结果用到Rn上的Lebesgue积分上去.定理8设召(疋)和2(用)分别是R1和用上的BoreW-代数，和叫分别是川和疋上的Lebesgue测度则召(卍)x空卅)=2(疋)并且在空用)上即(RlxR2(卅厂2(1),“x“)=(炉，(jR2),m2).证明设欠是圧中的左开右闭方体的全体生成的坏，欠是由应中的Lebesgue可测矩形的全体生成的环.则O(欠)=2()，6欠)=2(卅召(1).由于欠uX,故2(应)=o(砌u0欠)=2(卅)x召(卅).反过来,令Pi和p?是用到卅的投影函数，即Pi(x,y)=

17、x,.p3(x,y)=y.则和p?都是连续的，因而是应上的Borel可测函数.由3.1定理2,若A,Be(jR1),则亓3疋2(疋)，pB)eR2).于是AxB=3xjR】)c(卅xB)=pf1(A)np：()e3(R)故Xu2(疋).于是2(r)=b(X)u$(jR2)因此召(H)x2(卅)=召(用).由乘积测度的定义容易知道在欠上=由2.2定理6知道在7(欠)上仙X=加2即在2(川)上面加xml=m2.u定理9两个一维Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue测度空间，即(K】X卅，如xg,X)=(R-,M(R2)9加2).(8)证明仍设欠，欠，叫和加2如定理8.由定理8

18、,(RlxRZ(Hi)xZ(H),xmj=(应,勿疋),m2).此即一(jR1xR1,7(欠)，n?!xmj=(R2,cr(%),m2).由2.2定理15,(RlxRx和(R2,M(R2),m2)分别是(A1xRl,7(欠)，n?!xmJ和(用，cr(.&,m2)的完备化空间.因此(8)成立.推论10设/是上的非负L可测函数或L可积函数则成立Lfdxdy=LdyLfdx=LdxLfdy-特别地，当必+、或者J/x7|/|几仙(我们将R2上的L积分记为人fdxdy.)证明将定理6和推论7应用到乘积空间(疋xK】，如缈，上，并利用定理9即得显然，対Rp与IT的乘积空间Rp+q的情形，成立与推论10类似的结果.例2计算I=ebx)dx(0ab).解我们有r-sinx(_e-bdx=厂必r%-vsinxy.JQXJ0Ja由于pyCsinxdxredx=Jydy=ln-+2由Fubini定理(推论7),我们有p+cvpbpbp+cvL叮尸曲側订叫广卩sillxdx125=fdy=arctgbarctga.Ja1+广#小结本节首先介绍了测度空间的乘积空间乘积测度的构造利用了22测度的延拓定理本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理一Fubini定理.Fubim定理是积分理论的基本定理Z，它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用.习题习题四，第43题一第57题.126