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1、2015年矩阵分析与计算试卷解答及评分标准340一、（10分）设A=-1-20，求A的不变因子、初等因子，并写出A的Jordan-2-5-1标准形。解：行列式因子D=1;D二九+1；D=1-九，所以D=1；D=（九一2）（九+1）2，所以不变1121323因子d=d=1；d=（九-2）（九+1）2（6分）；初等因子为（九-2）,（九+1）2（8分）123_200_A的Jordan标准形为J=0-11（10分）A00-1二、（10分）利用盖尔圆定理及特征值隔离法证明：21-矩阵A二191有三个互异实特征值。7218解：（1）写出A的行或列盖尔圆，但彼此不孤立。（4分）；（2）取D=diag（1,
2、1,2）,则A与B=D-1AD特征值相同，B的三个行盖尔圆分别为Iz213,1z913,1z181|A+b(20分)六、（12分）对于如下线性方程组，32丁231x01131（1）写出求近似解的Gauss-Seidel迭代公式，并证明该迭代法是收敛的；（2）用Gauss-Seidel迭代公式计算近似解，设初始向量为x（0）=000T,迭代2次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。解：（1）该方程组的G-S-迭代为11)一x+k一x)(+k1)(1)12x（k+11G2xk（一xk）,）x+（1X2x+（+x）k,（X+）k1（1323231333（4）迭代矩阵B（D+L）-iU的特征
3、方程同解于方程：Gdet（x（D+L）IU）=0，即九（27九2-16九+2）0,迭代矩阵的三特征值为“-。,导宥旦导守,(1/3)(0.3333)(31/81(0.3827、x(1)-2/9-0.2222;x(2)-86/243-0.3539;8/27丿、0.2963丿236/729丿、0.3237丿显然所以p（Bg）1，所以G-S迭代收敛。（8分）2）2次迭代值依次为七、（12）假设x及y分别是以下方程组的解，试估计解的相对误差片一也。（保(12分)留到小数点后第四位。）200_11_2.0500_1.0011021x202.021.01y2.0021121丿1.021.012.021.0
4、01丿解：系数矩阵A的逆矩阵为1/200A-11/62/3-1/(33分)-1/3-1/32/3A的相应于无穷范数的条件数为cond（A）=IIAIIjlA-1|产3llx-yll5bi+1b/cond(A)iii1-cond(A)15AH6分）（9）_3_(0.07+0.001二0.0785(12分)1-0.0713丿0八、（15分）已知A=0110-301,求(1)eAt；3(2)dteAtdt解之得a(t)212et,a(t)(t-t2)et,1a(t)(1-1+12/2)et,0(9分)eAta0a23a+a21a1a-3a02-8a-3a21a23a+a216a+3a+a2101t+12/2t2/2t+12/2t-t21-t-t2-3t-t2t2/2t+12/21+2t+12/2解：(1)令p(X)=det(XI-A)=(九一1)3,令e=q,t)p(X)+a2(t)九2+a1(t)X+a(t),则由叽A)=0,得eAt=a2(t)A2+a1(t)A+a(t)I；(5分)利用叽九)的特性有：21eta(t)+a(t)+a(t),tet2a(t)+a(t),12et2a(t),1211分)(2)deAtetdt(15分)t2/2t+12/21+2t+12/21-t-t2-3t-t2-3-5t-t2t+12/21+2t+12/23+3t+12/2
2015南理工矩阵分析与计算试卷解答及评分
