高考专题(集合与简易逻辑)例题有答案

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1、高考专题(集合与简易逻辑)例题有答案集合与简易逻辑一、【重点知识结构】二、【高考要求】1 .理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、 相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.2 .理解|ax+b|c(c0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一 元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式 的解法.3 .理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条 件的意义和判定.4 .学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品

2、质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.三、【高考热点分析】集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题 热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断 命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空 题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为 表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答 题的形式出现.四、【高考复习建议】概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、 并、补集及充

3、要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中 都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理 解集合问题.五、【例 题】【例1】设工6/?.4 = 010 =-34 + 1,8 = 1 =/+3y + l，求集合A与B之间的关 系。3555解：由。=厂-3x +1 =(工一一厂一一之一一，得 A=x I x 2 一 2444355。=y2 + 3丫 + 1 =(), + 一)2 一二“二工a=B244【例2】 已知集合A=W/-3xT040,集合B=# + 1 W2p-1,若BqA,求实 数P的取值范围。解：若6=时, + 12-1 = 2

4、f/7 +1 2 /? 32p-l5【例3综上得知：K3时，BcAo【例4】 已知集合4=(左y)l匕 =。+ 1,集合B=a,y)l，T)x+(aT)y = 30。如 x-2果 AC|8 = 0,试求实数a的值。解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B；当 F1 时，B=O, AnB=O当行一1时，集合B为直线产一 15, AnB=D当aX 土 1时，集合此y -3 = 9 + 1)*-2), (2,3) g A ,只有(2,3) e 8才满足条件。7故-1).2 + (-1).3 = 30；解得：4-5或广大27Arf=l 或或 a=1 或 a=-5。【例5】 若集合 A=3 - 2xJ,

5、3, B=hx2,且 AU8 = 3-2xJ,3,求实数系解:由题设知4U8 = A, .,6 = 4,故/=3或M=3 2x即/或x = l或x=-3,但当x = l时，3-2x = l不满足集合A的条件。.实数x的值为-3或土石。【例6】 已知集合 A=xll0+3x-/NO、B=-20,若AA8 = 8,求实 数m的值。解：不难求出 A=xl-24x45,由 An8 = 8=3aA,又S -2x+2i0 , = 4-8】 若4一8?区0,即小2,则8 = u4若4一&%0,即/ , 8 = xll-2? x-21 -4 /?! 1 + 71-2/?/ 52故由知：m的取值范围是，日-4.

6、xo)注：不要忽略空集是任何集合的子集。【例 7】 已 知集合 A=产一。2 一 9 = 0 , B= .vllog2(x2-5x + 8) = l,C=xlx2+21-8 = 0,若AC|8n0与0同时成立，求实数a的值。解：易求得即2.3, C=24,由ApIBn。知A与B的交集为非空集。故2, 3两数中至少有一适合方程1一6+/一9 = 0又 AflC = 0,即 9一 M + /-9 = 0 得，广5 或有一 2当a=5时，A=23,于是Ap|C = 2工中，故舍去。【例8】 当a=-2 时，A=2,5,于是AD8 = 3n，【例9】4 = 3/一3丁 + 2 = 0, 8 = 412

7、? -如2 = 0, ”54求a的取值构成的集合。解：THU 序 4 ：.BA9 当 8时/- 160,-4水4,A = aIa-2-31 + 2 = 0) = 1.2,当1方时，将户1代入月中方程得zf4,此时用1,当2W6时，将归2代入8中方程得a=5,此时8 = .2口4, a=5舍去，-4aW4。【例10】已知八=*|/3x + 2 = 0, 8 = xlax-2 = 0且HU后4求实数a组成的集 合C。解：由在1, 2,由 HU店出 即 只需 aX 1-2=0, a=2 或 aX2-2=0, tf=E另外显然有当封。时，8 =。也符合。所以C=0, 1, 2)o【例11】某车间有12

8、0人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘 的18人,求：(1)只乘电车的人数；(2)不乘电车的人数；(3)乘车的人数；/ 酷缸(4)不乘车的人数；(5)只乘一种车的人数。冒;逐解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解| 22人螫滋 法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z 、 密， 人，不乘车的人数为U人，只乘一种车的人数为V人/逛遨那如图所示(1)行66人,(2)尸36人，(3) z=98人,(4) u=22人, 第9题图(5) v=80 人。【例12】(2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题)已知M是关于x的不等式 2/ +

9、(3。- 7)x + (3 + - 2/) v 0的解集,且M中的一个元素是0,求实数。的取值范围,并用。表示出该不等式的解集.解：原不等式即(2工一一1)。+ 2-3)。，所以。一1,或。2若。 5, :.3-2(1 + ， 222此时不等式的解集是XI v X 3 2；若由一2. + 3-q=2（ + 1）一三，a3-2/ , 22242此时不等式的解集是“ I 3 - 2 x 。，命题。：（x -1）2 - 2） + L试寻求使得P、Q都是真命题的x的集合.解：设A = la（x 2） + l0, 8 = xl（x l）2 。（工一2） + 1, 依题意，求使得尸、。都是真命题的x的集合

10、即是求集合ACI8,(x-2) + l0(x 1) (i(x 2) + 1x 2-x 2- -=j a=4 ax2 一(2 + a)x + 2a 0(x-a)(x-2) 0x 2 工若lvav2时，赃制 cix 2sJU 0,所以a 2-L a aa即当Iva v 2时使尸、。都是真命题的工工1工2或2-1工2，且工。2；41 1 2 -，若4 2,则有 。，A 。或丫 。或2v a0,请选取适当的实数，的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命 2x 3x +1题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命 题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的

11、命题.分析：本题为一开放性命题,由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的 模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的。，也能先猜后证，所找到的实数。 只需满足且匕上N1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对525于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合 当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件即 5x-l，或已知条件（/即2x? -3x+l0,或xl；3令4 = 4,则即工l,此时必有=乡成立，反之不然.故可以选取的一个实数是a =4, A为，B为q,对应的命题是若则夕，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命

12、题.【例15】已知.例一土甘K2, q :x- - 2x + -nr 0) ；是的必要不充分条件，求实数?的取值范围.解：由11-三九2,得 24E0,由 a2 - 2x + 1 -/?72 0),得 1 一机 VxK1 + m(m 0), 即 xv-2,或 x10,而 f 即 xvl- 7,或工 1 + 加(?0)；由r 是夕的必要不充分条件，知rr，设 A=xlx 10, B=xlx + m(m 0),1一？之一1,则有A日B,故，1 + ? 410,且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号， in 0,解得。3,此即为是rq的必要不充分条件”时实数机的取值范围.【例16】(2004届

13、全国大联考高三第四次联考试题)已知函数/(x) = logaX,其中a e a I 20 12d).(1)判断函数/(x) = log. x的增减性：(2)(文)若命题：1/(五)lvl-/(2五)为真命题，求实数x的取值范围.(理)若命题：1/()卜1-1/(24)1为真命题，求实数k的取值范围.解：(1) ael2012a - /, At/2-12 + 200, 即.函数y = log.x是增函数；(2)(文)(4)11一/(2)即Ilog。6l+log上 1,必有x0,当。xl, log” 不 0,不等式化为一 log” +log” 2正 1,A logfl 2 1,这显然成立，此时0x

14、l；当xAl时，log”五20,不等式化为log“ J7 + log“2五V1,A log 2x 1 ,故xv 色，此时IWxvB； 22综上所述知，使命题P为真命题的X的取值范围是X10 v X 2(理)1/(4)11一(24)1即1108“4| + 1108“2石10,当 0VXV；时，10g”V710ga2C-1，x -)-，此时-i-vxv,；2a 2a 4当;xvl时，log“五0 log“ 2石，不等式化为一 log”石+ log” 2炭1,log 2 1,这显然成立，此时Lxvl； 4当x之1时，04log”石vlog” 2、丘，不等式化为log” J7 +log” 2石1,A

15、logfl 2x 1,故X ,此时 1 4 % v ； 22综上所述知，使命题P为真命题的X的取值范围是XI3V X V. 2a 2六、【专题练习】一、选择题1 .已知I为全集，集合M、Nul,若MuN=M,则有：(D)A. Mu(C,N)B. 4(CN)C. (C“M)2(C“N)D.(CM) = (CN)2 .若非空集合A、B适合关系AcB, I是全集，下列集合为空集的是：(D)A. AC8B. (CUA)C(CUB)C. (CtM)nD. ACVB)3 .已知集合A二0, 1, 2, 3, 4), B=0, 2, 4, 8,那么ACIB子集的个数是：(C)A. 6个B.7个C.8个D.9

16、个4 .满足a u优a,b,c)的集合X的个数有(B)(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 55 .已知集合 I、P、Q 适合 I=PUQ=L 2, 3, 4, 5, PAQ=1, 2)则(PUQ) Cl (C/U G,。)为(O(A) 1, 2, 3 (B) 2, 3, 4 (C) 3, 4, 5 (D) L 4, 56 .已知/为全集集合M, N是的子集MJ#犯 则(B)(A) (CWgN) (B)(C)2(C,N) (C) M=(C“N)(D)Mn(CN)7 .设匕(x|*2-2) ,Q= x|x23),贝iJPflQ 等于(D)(A) 0 (B) R (C) P (D) Q8 .

17、设集合E= n|n=2k,keZ), F= n|n=4k, keZ),则 E、F 的关系是(B)(A) EuF (B) EdF (C) E=F (D) EClF=09 .已知集合M=3-2x2, N=G|kl|W2),则IN等于(B)(A) xl-2x3(B) xl-lx2(C) xl-2x-l(D) xI2a310 .已知集合I=R,集合M二Q|由，nwN, P=x|a=, neN,则M与P的关系是(B)2n4n(A) MAP=0 (B) (QrM) OP=0 (O Mn(QfP)=0 (D) (Q.M) Cl (QP) =011 .已知集合A=y|尸2,“力1=引产乂2%M,则人1等于(C

18、)(A) 4 (B) (2, 4)，(4, 16) )(C) ylyO (D) x|*O)12.设全集 I=R,集合P=#(x+4)(2r)0,则(D)(A) PAQ=0 (B) PUQ=R(O (Q.P)nQ=(QP) (D) (QrP) n(Ct/0 = -4二、解答题1、设 A=xl Y，4x-x2 ax9 B=a IOa 0 时，A = xlOx1 + 4-当 &W0 时，A = x0x4要使得AgB,必须且只须金，解得之亦1 + 6T2、已知 A=xl I +ly（n-l）2,B= xIx2 -3(a+l)x+ 2(3a +1) 2,即。/时，B = x2x2要使 AqB,必须,=l

19、a3,。一+1 4 3。+1 *当 3a+l=2,即时，8 = 2；要使 AqB, a=l当 3a+l2,即ag 时，8 = 3a + x2 f2a N3n + 1要使AqB,必须; = = -1a2+2综上知：a = -1或。w 133、已知集合 A=.vl y = N+2?x+4.xg/?, B= a-Ilogj x + log j0,且 ApIBx。，求实数山的值。解：B = xlx4-m2 f 由4-/0, B=yl y = l2-x + 1,Ox3；若22aqb09求实数&的取值范围。解：B=xl2x0 得：(丫-。)(丁-2 -1) 0因为所以 Afxlx/+1 或T。由 AClB

20、x。得：/+12所以 0 w (-技、/J) IJ(2.+co)5、已知集合4 = xlN +px+q = O , 8 = +px+l =0同时满足力AnC* = -2,其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。解：条件是说集合46有相同的元素，条件是说-2WH但-2e6,46是两个 方程的解集，方程V2 + px + q = 0和qx2 + px+ 1 = 0的根的关系的确定是该题的突破口 o设.j e A ,则与H 0 ,否则将有q=0与题设矛盾。于是由芯+7 = 0,两边同除以 ，得夕()-+-L+1 =。， 闻 飞知Les,故集合仄5中的元素互为倒数。由知存在使得J-wB,且.=-L

21、,得)= 1或,=_1。玉)M)由知 4=1, -2或 在-1, -2o若左1, -2,则 8 = ；,， =一(- 2) = 1;3 储= lx(-2) = -2.同理，若 #-1, -2),则8 = -1,-；,得产3, q=2o综上，p=b q=-2 或 p=3, q=2o6、已知关于x的不等式巴?二安匚，合一3(。+ 1)2(30 + 1)0的解集依次为东B,且An8 =(p。求实数a的取值范围。解：A = x2axa2l9 后x| (k2) r (3/1) WO: a n 8=(p当 3/132 时，庐;r|2WX3l3/2a或1+1 2, .16713当3/12 或3。+ 1/+1, A 0 n 137、已知集合 A = xlx2 - 3x + 2 = 0,x wR, 若 8 = xl-or + a-l =0,工 R, 且 AU8 = A,求实数a。解：VU5=A=二在L 2,二8工。或炉或炉或炉1, 2o若8 =。，则由(),得aWR,且#2,此时将产1代入方程得aR,将；r=2代入方程得43。综上所述，实数&的值为2或3o