定积分的换元法和分部积分法课件

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1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第三节 定积分的换元法和分部积分法一 定积分的换元法定理1 设函数f(x)在a,b上连续,且x=(t)满足条件:(1) (t)在,上连续可微;(2)当t在,上变化时, x= (t)的值在a,b上单调变化,且()=a,()=b则) 1 ()()()(dtttfdxxfba高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(1)式叫做定积分的换元公式,(1)式从左到右为定积分的代元法;从右到左是定积分的凑元法.在使用(1)式时要注意;第一第一,定积分换元时要更换相应的积分限定积分换元时要更换相应的积分限;第二

2、求出原函数后应该直接代入新积分限第二求出原函数后应该直接代入新积分限.)()(| )()(tdxxfba得到得到不必代回原变量的积分限去不必代回原变量的积分限去计算计算.第三第三,在具体计算中要注意函数的严格单调在具体计算中要注意函数的严格单调高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1 计算) 0(022RdxxRR分析:这是圆面积的1/4,令sincos,00,/2xRtdxRtdt xtxR t xRxy2222222000cos(1 cos2 )2RRRx dxRtdtt dt222011(sin2 )|224RttR高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉

3、科技学院数理系武汉科技学院数理系dxxx0253coscos例2 计算0352coscosxxdx3300035222222coscoscos1 coscossinxxdxxxdxxxdx33500022222222cossincoscoscos|55xxdxxdxx 解高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系利用换元法计算定积分时,要注意:(1).在换元时,积分的上下限必须同时变化.(2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有意义. 如果用x=1/t,则注意积分区域是否有x=0的情况, 如果用x=t2,则被积函数开方时要注意在积分区域里 的符号.(3)

4、.在换元时,代换变量的变化范围超过原变量变化的范围时很容易出错误.例如要计算下列定积分的值.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系dxxx301为了去根号,设1+x=t2, dx=2tdt, x=t2-1当x=0时,t可以为+1,也可为-1.同样当x=3时,t可为+2,也可为-2.x 0 3t 1 2面对有正负号时,应该考虑被积函数的情况当t=-1时,要注意tt2代入被积函数如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了t0321-1-2x高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系根据定积分的性质3可加性(p221)其结果是一样的. 现在我

5、们根据3种情况进行积分, (1)t从1到2. (2)t从-1到-2 (3)t从-1到2 可见第一种情况最简单.此外当积分区域应该考虑如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了3222420111.1(1)2(22)xxdxtttdtttdt53212264216218670116().5355331515tt高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系322012.1(1)() 2xxdxtttdt 2243521122116(22)()3515ttdttt3222013.1(1)2xxdxtttdt02222210(1)2(1)2tttdttttdt022210(1)

6、() 2(1)2tttdttttdt350532102222116()()355315tttt高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例3 若f(x)在a,b上连续,可通过换元法令t=a-x得到从而可计算积分aadxxafdxxf00)()(10( )( )()af xIdxf xf ax220sin1 cosxxIdxx230ln(1 cos )ln(1 cos ) ln(1 sin )xIdxxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系解:11100()()( )2,()( )()( )2aat a xf a tf a xf xa

7、IdtIdta If a tf tf a xf x 2222000()sinsinsin1 cos1 cos1 costxtttttIdtdtdtttt 21202200sincos2cos |1 cos1 cos2tdtIdttgttt34I2230ln(1 sin )ln(1 cos ) ln(1 sin )txtIdttt 230ln(1 sin ) ln(1 cos )2ln(1 cos ) ln(1 sin )2ttIdttt高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(3)若f(x)是以L为周期的周期函数,则0)(aadxxfaaadxxfdxxf0)(2

8、)(llaadxxfdxxf0)()(例4 设f(x)是相应区间上的连续函数,证明(1)若f(x)是奇函数,则(2)若f(x)是偶函数,则高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(1)()( ),fxf x xt 证明000( )() ()( )aaaf x dxft dtf t dt 0000( )( )( )( )( )0aaaaaaf x dxf x dxf x dxf t dtf t dt (2) ()( ),fxf x xt 000( )()( )aaaf x dxft dtf t dt 000( )( )( )2( )aaaaaf x dxf x dx

9、f x dxf x dx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a因为f(t+l)=f(t)所以00( )( )( )( )a lla laalf x dxf x dxf x dxf x dxxyxyxy0000( )( )( )( )alalf x dxf x dxf t dtf x dx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例5 计算61212481(1);(2)sincos()1x arctgxIdxIxmxnxdx m nxx分析 (1),(2)中积分区间

10、关于原点对称,被积函数是奇函数,不用计算,就得到I1=0, I2=0(3)被积函数是偶函数,所以103(3)sincos();Inxnxdx n N(21/2)42(4)sin(2)()nnInx dx nN高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系101130022sinsinsin|011Inxdnxnxnn由正弦函数的周期性可知22400(4)sincos |1Ixdxx 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二 定 积 分 的 分 部 积 分 法定理2 设函数u(x),v(x)在区间a,b上都连续可微,则)2(|bababav

11、duuvudv)2(| )(bababadxuvuvdxvubababadxvuvdxuxvxuvuvuuv)()()(证明:移项就得到结果.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例5 计算xdxexsin00000sin(sin )cos0cosxxxxexdxexexdxxde000(cos )( sin )1sinxxxexex dxeexdx 01sin(1)2xexdxe高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例6 计算1224442212444(cossin )sincoscoscosxxxexxexIdxexdxdxIIxx11442222244sin cos(2cos)xxIexxdxe dx114884224221442 cos|cos8()xxexexdxeeI4122 88IIIsh高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例7 计算2/10arccosxdx1/21/21/20200arccos( arccos )1xdxxdxxxx111/22222 1/2200113(1)(1)(1)|1232662xdxx