威布分析方法

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1、精品范文模板 可修改删除撰写人：_日 期：_第1章 威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。在1937，Waloddi Weibull教授（18871979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一，也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布，而情况并非如此。他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。1951年他发表了代表作，“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿

2、命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布，然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析。对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。尽管如此，失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布，威

3、布尔分析对预计产品寿命做了准备。这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。1.1.1 威布尔分析的优点：威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。威布尔分析最主要的优点在于它的功能：n 提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案。n 为单个失效模式提供简单而有用的图表，使数据在不充足时，仍易于理解。n 描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。n 提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。虽然对数或对数正态分布的使用通常要至少20次失效或源于以往的经验，在只有23次失效

4、时用威布尔分析非常好，在涉及安全性或极端费用时的失效结果是很关键的。威布尔家族中的一员weibayes，在以往经验充足时甚至可用于无失效情况下。1.1.2 威布尔概率图：威布尔分析研究的是通过在威布尔概率图上绘制单一失效模式的寿命数据来研究部件的寿命时间和它的可靠度之间的关系。威布尔分析最常用于描述元器件失效的时间，它们可以是电灯泡，滚珠轴承、电容、磁盘驱动器，打印机甚至是人。失效模式包括爆裂，折断，变形或由于腐蚀造成的疲劳，过应力，高温，初期致命失效，耗损等等。当在威布尔概率图上绘制失效时间数据时，工程师们更愿意用median rank regression作为参数估计方法，median r

5、ank regression方法是通过用最小二乘法（曲线拟合），找到一条最佳拟合直线来将平方差减至最小，median rank regression被认为是标准参数估计方法，因为它通过大多数数据得出了正确结果。典型的，水平刻度（x轴）度量部件的寿命，垂直刻度（Y轴）度量已知失效模式下的部件失效累积的百分数。一个威布尔概率图沿着横坐标有一条线性/非线性的时间刻度，沿着纵坐标有另一条非线性的分布函数。这些非线性的刻度通过适当的数据模型选出。如果刻度与数据相匹配，图表就会呈现出一条直线。由于它们简单且有用，所以概率图表用于统计分析中已经很多年了。尽管如此，仍需注意的是用概率描绘的方法获得的分布参数是

6、独立同分布的，这经常用于不可修的部件和系统，而对于可修系统的失效数据可能就不是这样。在图7-1中，威布尔概率图认为失效时间对应唯一的失 效模型。当许多元器件在正常运转条件下被测试时，它们不会在同一时间因同一原因都失效。任一失效原因下的失效次数都会集中于平均值附近，次数过多或过少的情况都较少。由于寿命数据的分布如此，他们会服从某种分布。为了描述一种分布的形状，这种分布的形状取决于所要研究的内容，公式可由统计方法得出。如果已绘制的数据点落在直线附近，威布尔概率图便认为是合理的。注意：Y轴上的值是从1%99%的概率值，轴上各点之间的距离是不均匀的。威布尔概率图的X、Y轴上的点于点之间的距离是百分比的

7、变化而不是点的变化。正如对数的刻度一样，12间的距离是100%的增加，与24间的距离相同，但那是另一个100%的增加。对数比例只为一些相似级数作铺垫。除了对问题有更深的洞察力，最直观的是对确认分布方法有帮助，该种方法可更好的将数据集构成一条直线。如果用以前的数据表示发生的失效，将组件的失效寿命绘制成图是非常常见的。在这种情况下：Y轴通常为：X轴为：Y轴的截距为：1.1.3 威布尔分析的用途威布尔分析一般用于以下方面失效数据的分析：n 研制、生产和服务n 质量控制和设计缺陷n 维修计划和替代方案n 备用元件的预测n 保障性分析n 自然灾害（闪电袭击，暴风雪，强风，暴雪等）威布尔分析新的应用包括医

8、学研究，仪器校准，费用削减，材料性能和测量分析。1.1.4 理解威布尔分析双参数的威布尔分布目前在寿命数据分析中广泛应用：其中：t0,0 且0 。这里,和分别是分布状态和比例参数。因为双参数的威布尔分布有效地分析了初期致命失效，实用寿命的和耗损阶段的寿命数据，它也可用于失效率的增长，持续和递减。定义了威布尔概率图的第一个参数是斜率，它是形状参数，因为它确定了威布尔家族中哪一种分布相关性最好或可以描述数据。第二个参数是特征寿命，伊塔（）作为比例参数，因为它定义了分布状态的大部分。参数和可从寿命数据中估计，寿命数据总为正值。威布尔分析完成后，由图可看出威布尔概率的斜度和拟合度。注意：三参数的威布尔

9、分布应用也很广泛。第三个参数位置，是一个常数，可从时间变量t中加上或减去。其它信息，请参阅165页。威布尔危险函数或失效率依赖于的值，因为值说明了新或旧元件是否更有失效的可能，威布尔危险函数可以描绘出不同元件的浴盘曲线：初期故障：在电子和制造业中，早期失效指在使用寿命的初期失效的概率极高，当值于小1.0时，威布尔概率分布图表明较新的元件在正常使用时更有可能失效，被称为瞬时递减失效率。为中止电子和机械系统在早期故障的高失效率，制造商提供了产品接收测试，老练（burnin）早期和环境应力筛选暂不先将系统交付客户。假如有部件在初期损失阶段没有失效，那么它的失效率应当是递减的，且它的可靠度增加。因此，

10、旧元件被认为比新元件更好，因为新元件很可能在寿命的早期失效，而元件在早期失效阶段的检修是不合适的。偶然故障：假设威布尔概率分布图以一个独立失效模型为基础，为1.0说明失效率是常数或相对于时间独立。这意味着对于那些无故障运行至时间t的元件，在下一个单位时间内将不能保持恒定的百分比，称作恒定危险率或瞬时失效率。这使得威布尔概率图与指数分布一致。由于旧元件被认为与新元件一样好。检修通常是不适合的，唯一使系统或部件可靠度提高的方法是用随机失效进行重新设计。早期损耗：在设计寿命时经常因为机械问题出现未预期的失效。当1.04.0时，大修或以低Blives来替换元件会较经济。B-Lives指出给定总数的百分

11、比失效时的时间。例如：B-1寿命是指总数的1%失效时的时间，而B-10寿命指总数的10%失效的时间。通过优化预防性维修计划，经历早期耗损的元件的可靠度和费用都会提高。快速损耗：尽管一个元件设计寿命的值大于4.0是需要引起重视，但多数斜率急剧升降的威布尔概率图在失效概率在忽视范围内有一个安全期，且发生失效的影响会超出设计寿命。斜率越大的直线，在失效时间内的变化越小且结果越可预知。对于有重大失效的元件，大修和检查会更经济，因为定时维护会较昂贵，所以当旧元件快损坏或失效时才会考虑，此时的失效称为瞬时增长失效率。因为不同的斜率代表不同的失效类别，威布尔分布提供了可能引起失效的原因，表7-1列出了引起每

12、一类失效的失效原因：值类型斜述1.0初期故障当1.0,失效原因归结于： 不充足的burn-in或应力筛选 部件的质量问题 制造的质量问题 错误的安装,设置及使用 重做/刷新时出现的问题=1.0随机失效当=1.0，失效原因归结于： 维护中的人为错误 引发的失效而非固有的 意外事故和自然灾害(外来物体，闪电袭击，强风摧毁等)1.04.0早期损耗当1.04.0快速损耗当4.0，除部件老化，还有以下原因引起失效： 材料的固有属性的缺陷(如陶瓷易碎) 制造过程中出现的严重问题 制造或材料上的细微变化 表7-1 失效分类及斜率对应的可能原因统计学家，数学家和工程师们已将统计分布简化为数学模型或描绘出某些行

13、为。与其它统计分布相比,威布尔分布适于更广范围的寿命数据。威布尔概率密度函数是一个数学函数，用以描述与数据相适应的曲线。概率密度函数可用数学模型给出或用图形给出，其中图上X轴代表时间。威布尔家族中的不同成员有不同形状的概率密度函数。累积密度函数是概率密度函数曲线下的面积。威布尔分布的累积密度函数如下：公式(7.1)其中:代表特征寿命(比例参数) 代表斜率(状态参数)累积密度函数给出了时间t内的失效概率.参数和由失效时间进行估计，如果失效数据来自于威布尔分布，和的值代入累积密度函数的公式求出一定时间内元器件的失效预计。特征寿命和平均失效时间（MTTF）是相关的。特征寿命给出了系统或元器件寿命中的

14、失效概率独立于失效分布参数的点。对所有威布尔分布来说， 定义为63.2%的单元失效时的寿命。对=1，MTTF和相等。MTTF和为gamma函数关系：公式(7.2).典型分布。.虽然，威布尔教授最初提出用平均值作为MTTF值绘制在威布尔概率分布图的y轴上，现在是标准的工程方法用失效时间的中间值来划分寿命数据。表7-2展示了一个中间等级表（50%）作为10个数量的样本，由此形成莱奥纳多杰克逊（Leonard Johnson）的等级公式。因为在寿命数据中非均匀分布相当常见，所以中间值比均值更为准确些。一旦知道和，任意时间的失效概率都可轻易算出。等级顺序12345678910150.00 29.29

15、20.63 15.91 12.94 10.91 9.43 8.30 7.41 6.70 270.71 50.00 38.57 31.38 26.44 22.85 20.11 17.96 16.23 379.37 61.43 50.00 42.14 36.41 32.05 28.62 25.86 484.09 68.62 57.86 50.00 44.02 39.31 35.51 587.06 73.56 61.59 55.98 50.00 45.17 689.09 77.15 67.95 60.69 54.83 790.57 79.89 71.38 64.49 891.70 82.04 74.

16、14 992.59 83.77 1093.30 表7-2 中间等级（50%）1.1.5 进行威布尔分析：除了指出新的还是旧的元期件更易发生失效，威布尔分布还可被应用在许多分析上，包括可靠性分析和维修分析，概率设计，分布分析，节约成本和设计比较。威布尔软件，是一个能基于过去的性能、分析领域或实验室数据用威布尔分布计算系统或元器件今后的可靠性的程序，用威布尔软件预计可靠性基本上由6步组成：1、收集“好的”寿命数据2、选择分布类型3、确定估计方法4、指明置信值5、进行分析6、解释结果1.2 收集“好的”寿命数据收集“好的”寿命数据是威布尔分析的第一步，也是最难的一步。因为威布尔分析的结果实际上只基于

17、数据，与数据相关的工作必须细致的执行。1.2.1 确定失效所用比例尺在威布尔分析中，寿命单元完全取决于元器件的使用和已知的失效模型。产品寿命可以用小时，英里，周期数或任何一个应用于特殊产品成功运作时期的单位来度量。例如，使用中的汽车轮胎的寿命用英里或公里来度量。燃烧炉和涡轮机用高温工作的时间或冷热循环次数来度量。这样，部件寿命可用长度，时间，任务周期，载荷循环，旋转次数等等来度量，具体情况由失效模型来决定。每个失效模型应独立分析，部件寿命时间的原点和刻度要仔细考虑，即可得到威布尔分析较准确的结果。因为好的数据分析方法并不能改善坏的数据，通过彻底地调查数据源以找出报告问题的根本原因，注意单个元器

18、件有许多失效模式。如果数据集包含了多种失效模式的综合，标记单个数据点以指明相应的失效模式。将寿命数据手工输入或自动导入到威布尔软件之后，每一个失效模型便会建立起相应的分布。尽管失效模型一般指明了最易老化的单元，但不确定最好的老化参数也会偶然存在。这种情况下，对于每一个可选的老化参数都易形成威布尔概率分布图，图中最好的老化参数最为接近一条直线的参数。威布尔软件提供了自动选择最优分布以及优化所分析的寿命数据。因为威布尔概率分布图经常会从很少的数据中获取很重要的信息，甚至从坏的数据中都可能得到一些信息。当有效数据不可用的或得不到，例如：寿命参数可用日期间隔表示。对于已失效的锅炉，最合适的寿命参数是工

19、作小时或工作循环次数，然而唯一可用的数据是最初的装运及回收日期。尽管使用日历时间表示老化参数不甚合适，增加了不确定性，相关性度量（a measure of fit）可以很容易计算以确定是否得出的威布尔概略图准确到可提供有价值的分析。考虑材料特性如延展性，受压断裂和疲劳时，老化参数通常为应力，负载或温度。尽管这些参数不能真实的反应老化，但威布尔概率分布图的结果相当于得出了组件的寿命。在为概率图收集组件老化之前，要确定： 分析的单一失效模型要有清楚的定义 组件老化时间原点要定义清楚 所用的时间度量单位要一致1.2.2 排列数据收集到寿命数据之后，要将失效时间从早至晚排列，这样分类可绘制成图，时间(

20、t)轴和纵轴F（t），由百分比表示。每次失效被描绘在失效时间（t）和F(t)的估计图上，F(t)为失效前失效数占总数的百分比。1.2.3 中止确认研究的失效模式中未失效的单元被称为中止或检查单元。中止没有失效的或是根据完全不同的失效模式失效的单元。中止按相对于组件可达到的寿命长度的老化年龄来进行分类。在工程上，中止一般是单元真正失效的时间大于所考虑的失效模式最老化的时间，然而其它类型的中止也存在且按老化年龄分为： 早期中止：所讨论的失效模式中失效年龄小于最小失效时间的单元。早期中止对威布尔概率分布图影响很小，称为已知检测数据，早期中止在工程数据中很少见。在医学预防研究中，当一个病人参与研究时，

21、才会产生已知检测数据，因为疾病的出现先于预防研究的进行，此事件发生的时间先于在研究过程中首次失效的时间。 中期中止：除所讨论的失效模式，出现随机失效而老化的单元。中期中止又被称为随机中止或连续中止，一定条件下可变换为介于早期和晚期中止间的一条威布尔图线。 晚期中止：失效老化年龄大于所讨论的失效模式下最老失效年龄的单元。晚期中止可减小威布尔概率分布图的斜率，称为在检数据，晚期中止主要集中于工程数据。寿命测试中，在失效前通过元器件的移除产生在检数据。当元器件在一段时间内运行成功后，继续运行的时间长度是未知的。尽管未对失效进行过多的加权，但所有被确认的中止必须包含在样本数据集内。由于中止发生前，中止

22、对可调等级或中间等级毫无作用，所以先用中止对数据分类，然后调整其级别。当增加中止行为对斜率影响不大时，会增加特征寿命。这样看来，不包含中止虽也能得到结果但并不理想。1.2.4 确定数据类型当数据集中的每一点的精确失效或中止时间已知时，数据可由点表示。考虑到威布尔分析中数据的标准类型，逐点数据被分为（失效）发生和中止。对于发生，失效时间或事件被精确记录在时间刻度（t）上的某一点。对于中止，未失效单元的清除应被记录在时间刻度的某一点，即使当前真实失效时间实际上已大于当前所达到的老化年龄。多数可控制的测试数据是以点表示的，因为测试期的长度和失效时间都是已知的。当所有失效时间均已知且对中止时间作了正确

23、的估计，所确定的数据也可按点分类。当确切的失效和中止时间均未知时，数据可根据失效间隔（单元的数目）分组，分组数据引起了分析的不确定性的增长。当处理不具备准确失效和中止时间的按月记录的失效数时，确定数据可看作分组数据。描述分组数据的术语包括： 数据间隔：只有当系统或组件停止动作并做定期检查时，潜在失效模式才会被发现。当一个无害的失效模式首次被检出时被称作发现。失效元件的实际失效时间小于所记录的第一次检查的时间。一个无害的失效在上一次检测（t1）后发生但直到下一次检测(t2)时才被发现，所以它的失效时间大于先前的检测时间而小于此次检测时间。 粗略数据：与间隔数据相关，粗略数据的失效时间不精确，因为

24、数据收集的时间间隔很长，甚至是几个月而非几天或几小时。 真实数据，也叫有害检测数据：真实数据是在检测时每个被检测元件由于检测的不确定性或检测时发现失效的不确定性而获得的。对于真实数据，每一个测试结果或者被看作中止或者被看作失效。例如：测试炸弹或导弹（或检测涡流运动），只有工作或不工作两种可能。因为寿命数据的类型决定了哪种分布类型最好，表7-3描述了威布尔软件中常见的选择类型以说明数据点是如何收集的。类型描述点描述（point-by-point）适用于在数据集中每个点的失效或中止时间已知时输入失效和中止数据。当数据点为20个或更少时，标准方法是选择威布尔分布，用中级回归作为参数估计的方法。点描述

25、/检验（point-by-point /Inspect）适用于在定期检测区间内数据被指定时输入失效和中止的数据。这种分类也定义了区间频率分布。分组，probit 2适用于从发生事件的同一单元的重复测试中输入失效和中止的数据。这种方法将不同的时间点上被检测单元的累计失效数进行比较。在上一次检测中用一个新单元替换了一个失效单元时，即增加了失效单元数和被检测单元数。此类也适用于不同老化阶段不同数目的被测单元的输入。分组，probit 3适用于在不同时间百分比阶段中不同数量的被测试单元做无重复测试时输入失效与中止数据。此方法比较了不同时间点上被测单元的累积失效百分比。在破坏性检测中有时会用到此种测试。

26、因为累积失效分布是时间的增函数，所以在破坏性测试中累积失效百分比是随时间增加的。然而，考虑到失效的随机性，情况也并非完全如此。此类型也适用于不同的老化阶段使用不同数目的被测单元。分组，Kaplan-Meier适用于在准确定义时间间隔时，也就是在每个时间间隔末尾发生失效或中止时，输入失效或中止的数据。此方法以也可用于不同的时间区间，尤其是在输入数据时是否使用精确修正（actuarial corrections），该方法可在无任何假定分布的情况下精确估计出累积分布。极大似然估计区间适用于用极大似然估计或经修正的极大似然估计作为一种参数估计方法时，用统一数据格式表示所输入的失效和中止的数据。（有关“

27、指定评估方法”的内容请参阅第166页）数据集的发生，中止，发现和区间都可被指定，且区间还可被定义。表7-3 数据类型和描述1.3 选择分布类型威布尔分布有不同形式的应用，包括单参数，双参数，三参数及混合威布尔分布，有时不属于威布尔分布的正态或对数正态分布也可用于寿命数据的分析，选择适合于特殊数据集的分布要以数据的数量和质量，以往经验以及良好的相关性测试为基础。表7-4描述了威布尔家族的各种分布。双参数威布尔分布双参数威布尔分布的所需参数是斜率和特征寿命。这种分布用小样本提供了正确合理的失效分析和失效预计。它尤其可以诊断出失效类型，例如初期损耗（尤其是电子产品），独立时间失效（意外事故和固有事件

28、的发生）或耗损的构件（轴承、过滤器等），如果失效率递减（老练时期burn-in period）或递增（耗损阶段），或失效率保持恒定（随机失效阶段），推荐使用双参数威布尔分析。指数分布指数分布唯一的参数是失效率。指数分布可被视为威布尔分布的一种特例1。当部件的失效率恒定时，它的可靠度最好用威布尔分布或指数分布来描述。失效率恒定会产生无记忆属性，即一个使用过的部件的寿命与当前老化时间无关，因此可以说一个使用过的部件像一个新部件一样好（只有当为1时，威布尔分布才是无记忆的）。因为指数分布假定没有初期故障或耗损阶段，所以区域内数据要经仔细测试以确保那些假设正确。对于指数分布，MTTF与失效率互为倒数。

29、瑞利分布瑞利分布的唯一参数是特征寿命。当2时，瑞利分布可被视为威布尔分布的一种特例。然而，它有其自身优点，是一个重要的分布，它不仅应用于可靠性问题也用于与通讯系统相关的噪声问题。作为与指数分布相似的一个单参数分布，瑞利分布可被用来描绘错误源的均方根值。如果失效率随时间线性增加时可推荐使用瑞利分布。Weibayes分布WeiBays分布的唯一参数是特性寿命，也叫单参数威布尔分布。WeiBayes是威布尔分布的一种特例斜率定义如前所述。与Bayesian假定有关，当用传统的威布尔分析产生许多不确定因素时， Weibays便是一个有效的解决问题的方法。当样本小于10个失效数时，Weiboys分布比双

30、参数威布尔分布更精确，而且它是在失效数为零时唯一可用的分布。例如，在对一个现存失效模式进行设计修改后，从测试中获取的有效数据可用于确定新设计中威布尔曲线的置信下限被成为Weibayes曲线。当元器件超出其设计寿命时，无失效的威布尔分析可延长其寿命。由于Weibayes分布可用于无失效测试要求的情况下，所以它的重要性全在于失效对安全性和极限成本的影响。三参数威布尔分布除斜率或特征寿命参数外，三参楼威布尔分布还包括一个位置参数t0，它定义了分布在时间上的位置。这个参数可转换时间刻度的原点，而且只有被双参数分布分析证明为是合适之后，才可被使用。（有关其它信息可参考172页“威布尔概率分布图的曲线数据

31、”）。使用位置参数时，在生成威布尔概率分布图之前，t0的值可以从时间值中减去或加上。例如，在某段时间内如果失效率为零，那么时间刻度的原点应从0转换到t0处以反映此阶段为无失效保证阶段，修正量t0为一个正值，等于失效发生的最小时间。由于正式使用前会出现寿命（可靠性）损失，t0为一个负值。负修正对于仓库中闲置元件的腐蚀的情况是有用的。例如，橡胶部件，化学品和滚珠轴承，都会随贮藏时间的延长而腐蚀老化。当t0值用于数据修正时，结果可绘成一条直线。在没有经验的情况下，用三参数威布尔分布进行分析时通常需要至少20个失效数据。 Gumbel在19世纪20年代，E.J.Gumbel第一个认真调查失效数据的极值

32、，找到只有6个独立极值的分布。他的第III类最小极值分布与威布尔分布相同。Gumbel-(Lower)distribution也叫第I类极小值分布，是一种极小值分布。Gumbel-(upper)distribution也叫第一类极大值分布，是一种极大值分布。当失效数据为偶然性事件的结果并且失效数据取极值时，推荐用Gumbel分布。示例如自然灾害和最大载客量等。因为Gumbel分布（和正态分布）可用于预计高可靠度要求下无寿命数据情况下的负寿命值，所以在建立寿命数据模型时要谨慎使用。表7-4 威布尔分布统计要点 尽管统计学家反对用极小样本，但安全性和明显的资金损失却决定了我们收集的数据的局限性。当

33、仅有极少失效数据存在时，威布尔分析可提供有用的结果，因为：l 耗损失效发生在最陈旧的单元上。多数失效结果被绘在威布尔概率分布图的左下角B-0.1至B-1，这也正是在工程上最为关注的区域。l 威布尔分析包括失效和中止。尽管中止没有失效严重，但会有上千的中止，在B-0.1B-1lives进行更准确的工程预计。 威布尔分布应用于失效机会倍增且第一次失效很重要的情况，也应用于线性衰退而不是加速衰退系统。当威布尔分布是非线性衰退而不是当前衰退的一个函数时，可使用对数正态分布。表7-5给出了正态和对数正态分布的描述。因为即使它们不属于威布尔分布但偶尔也用来做寿命数据的参数分析。多数威布尔软件可快速生成所有

34、分布并自动为数据集选出一个最合适的分布。正态（或高斯Gaussion）分布正态分布的两个参数是均值和标准差。正态分布是对称的，一般被称为贝尔曲线，该分布很重要且广泛用于概率统计中。正态分布经常用于描述失效率随时间增加的设备。当失效时间可用某些随机变量的总和表示时才推荐使用正态分布。正态分布便于描述不同类型数据，它允许观测结果为负。由于时间t大于零后元件才会失效，所以寿命数据总是正的。因此正态分布并不能很好的描述寿命数据。分析人员并不为正态配置所困扰，因为利用正态分布的寿命数据也可绘制的威布尔概率分布图。 对数正态分布对数正态分布的两个参数是均值和标准差。尽管对数正态分布与正态分布相似。它假定了

35、随机变量的对数值是正态分布而不是随机变量本身服从正态分布。因而，所有值均为正，分布图像便不会向左倾斜。对数正态分布很可能是威布尔分布强有力的竞争对手。它多用于工程上的金属疲劳测试、维修数据（修复时间）、化学反应过程的仪器失效和维修，一些材料特性和非线性加速衰退。若有倍增的失效因素影响失效时间，推荐使用对数正态分布。例如，在衰退渐增的情况下，断裂形式是由于压力造成，且压力随裂缝增大而增加。对数正态分布的非工程应用包括私人收入分析，遗产继承和银行抵押。表7-5 用于失效数据分析的非威布尔分布1.4 指定估计方法：为给寿命数据集选定合适的统计模型，进行寿命分布分析的参数应与估计数据严格一致。尽管有许

36、多估计方法可选择，但根据数据类型和所分析数据点的数目，最常用的是行列回归和极大似然估计的各种形式。这是因为它们适用于所有分布和所有数据类型。根据参数估计，威布尔概率分布图所示结果反映了所选分布与所分析数据集的拟合性。1.4.1 行列回归行列回归是一种按数据拟合直线（或曲线）的方法。要为数据集选定合适的统计模型，就要对寿命分布参数进行估计，生成的函数要与数据严格吻合。参数决定着概率密度函数（pdf）的比例，形状和位置。例如在三参数威布尔分布中： 斜率参数：定义了分布的形状 尺度参数：定义了分布的大部分方向 位置参数 t0：定义了分布在时间上的位置在多数情况下，最好的估计方法是中间行列回归，是通过

37、失效时间和行列中用最小二乘法值拟合一条直线用以估计参数和并绘制在威布尔概率分布图上，一旦对单个定义好的失效模式收集了良好的寿命数据，威布尔软件便可绘成威布尔概率分布图：1、 将所有失效和中止时间从最早发生到最晚发生分级。（尽管中止不像失效一样多，但它们都属于数据集）。2、 计算失效的调整行列（不绘制中止）3、用Benard近似将调整行列转换为中值行列。4、将中值行列转换为百分比绘制在威布尔概率分布图上。5、在X轴上绘制失效时间，在Y轴上绘中值。6、如果指定置信参数，便可得出置信区间。7、从威布尔概率分布图中读B-63.2寿命估计特征寿命。8、估计斜率作为上升率中值行列回归对于失效小于等于100

38、样本时可认为是最准确的参数估计方法。1.4.2 极大似然估计（MLE）极大似然估计是统计学家所用的另一种方法。它从所观测的数据中的和中找到和的最大似然估计值。似然函数由观测值中每一个数据点的概率密度函数的结果组成，也有未知的分布参数。该函数以对数示值，有很多阶段且相当复杂。对于双参数分布，对数似然是一种山形的三维图形，山顶位置是极大似然值。极大似然估计值是最接近于真实值的值。当被分析数据组包含100或更多的失效且有中止或缺陷数据时，极大似然比中值回归更准确。尽管如此，喜欢将数据绘成图的工程师们不是也发现了极大似然估计的缺陷它不能提供很好的图形显示。1.4.3 参数估计方法除了数据类型和数据点的

39、数目，可根据分析线图的计算时间和拟合质量选择参数估计方法。表76给出了威布尔软件中可用的行列回归和极大似然估计方法。方法描述/优点缺点行列中值回归用最小二乘法找到一条最适合的直线，使方差和最小。中值回归可认为是标准参数估计方法，因为对大多数数据组都可得到相当准确的结果。除了用最简单的方法，威布尔概率分布图这种方法也是较易懂的。不能用于单点失效。统计学家更倾向于用极大似然估计，他们称行列回归不够平滑。均值回归此方法是基于均值（最初由威布尔推荐）而不是中值。由于寿命数据的非对称性，所以均值没有中值准确。均值回归的特殊情况一种基于均值而非中值的方法，它的失效百分比是非独立变量而时间是独立变量。由于寿

40、命数据的非对称性，所以均值没有中值准确。将Y轴（部件寿命）向X轴（失效时间）作回归。通常来讲内有X轴向Y轴做精确。这是因为失效时间过于分散且比部件寿命易出现错误。Hazen回归一种以中点值代替中值的回归方法不能用于单点失效。Hazen回归的特殊情况一种用中点计算行列回归的方法，它的失效百分比是非独立变量而时间是独立变量。将Y轴（部件寿命）向X轴（失效时间）作回归。通常来讲内有X轴向Y轴做精确。这是因为失效时间过于分散且比部件寿命易出现错误。二项式回归用二项式分布找到行列中值的一种精确方法。这是威布尔软件中普遍适用的缺陷参数估计方法。强调估计特殊的二项式回归一种用二项式分布找出行列值的精确方法。

41、它的失效百分比是非独立变量而时间是独立变量。强调计算Benard回归一种二项式回归的近似方法，要求用少量时间确定行列中值。用于近似Benard回归的特殊情况一种简化的二项式回归的近似方法，他的失效百分比是非独立变量而时间是独立变量。用于近似将Y轴（部件寿命）向X轴（失效时间）作回归。通常来讲内有X轴向Y轴做精确。这是因为失效时间过于分散且比部件寿命易出现错误。极大似然估计（MLE）找出使得观测数据概率取得最大值的，。MLE可能是失效数达到500或更多的时候的最佳选择。尽管如此，如果正确的中止存在，MLE就用于单点失效，对于所有部件，检查区间不一样，则MLE不能用。要重复计算且计算复杂，不易收敛

42、。通常要求多于500个失效结果。较小样本很可能会有偏差大结果会很乐观。对于工程师，需要一个绘制数据的好方法来产生一个图表以显示重要的部分。经修正的极大似然估计（MMLE）由于估计会有偏差，所以用标准差平方的无偏估计的平方根SQR而不是从正态分布得到极大似然的标准方差。如果一个大样本有许多中止和不完全数据，则推荐使用MMLE。有所有MLE的不足。尽管小样本的平方根偏差比正态分布的标准偏差小，但小样本偏差仍然存在。表76 参数估计方法1.5 指定置信度威布尔分析结果预计基于小样本的观测寿命。由于样本大小通常很有限，所以存在结果的不确定性。这样，置信等级统计精确性的量度，可作为分析结果准确性的量具。

43、在观测数据点和进行的威布尔分析之前，要先指定一个置信度等级，此置信度是一个被输入的百分比值。百分比值越多，对结果的置信度要求就越高。置信区间用于表示一个范围，在此范围内，真实分析值希望能降低某一特定时间的百分比（置信度）。置信区间量化了由于样本误差产生的不确定度，并通过包含重要度（quantity of interest）的特定区间的置信度来表示。而不管一个特定区间是否实际包括了重要度，尽管它未知。注：保证是指所输入的置信度值等于可靠度的情况。 置信区间可以有一或两个界限，所选择的置信限的类型取决于应用。单边界限用于指示在指定置信度下，重要度所高于的置信下限或低于的置信上限。单边置信下限用于预

44、计可靠度。单边置信上限用于预计保证下（under warranty）部件的失效百分比。双边界限用于指示在指定置信度下的包含重要度的双边界限，还用于指明参双边界限用于预计某种分布的参数。计算置信区间可用于所有的分布和参数估计方法中。为找到置信区间，必须指定置信方法，置信区间的类型和置信度。表77给出了威布尔软件中可用的置信度方法。置信方法描述Fisher Matrix修正方法当样本包含10个或更多的失效时，会得到几乎正确合理的瞬时结果。它假设了Blives的输入百分比未正态分布且生成了一个完全图样（界限外推的）。若选择行列回归作为有很少量中止的大样本的参数估计方法，则用此方法作为置信方法是最好的

45、。Fisher Matrix修正法有各种描述，包括： Gumbel：早期（无修正）Fisher Matrix方法。用了一些Gumbel术语而不是二阶偏微商的所有术语。它也有重要的小样本偏差。当极大似然估计作为估计方法时，该方法并不起作用，但当行列回归为估计方法时，用于解决问题的参数之间的差异是相当重要的。 完全威布尔：这种Fisher Matrix方法对于有偏差的行列回归和小样本是相当重要的。它使用全二阶偏微商。 完全Gumbel：这种Fisher Matrix方法基于Gumbe术语和小偏差的较小样本。该方法常用被认为是标准的Fisher Matrix方法。似然比例当选择使用极大似然估计或修正

46、的极大似然估计作为参数估计方法时，似然比例就可用于有效偏差设计和小样本偏差补偿的比较。这在寿命数据中是常见的。似然比例法可生成一个完全图样（边界外推的）并提供了两组数据间的偏差数。除比较新旧设计以外，还可用来做供给A与B，C与D等的对比。当样本包含30或更多失效时，此方法是正确的且对于有中止数据是最好的策略。尽管如此，这种方法花费大量计算机运行时间且结果几乎与瞬时计算的Fisher Matrix方法的结果相同。Beta二项式此方法要计算每一事件发生点的值。且最好用于确定概率单位分析的界限。Beta二项式的界限给出许多保守结果，但它所需的计算时间比Fishier Matrix方法多。蒙特卡洛方法

47、（统计试验方法）此方法是基于关键统计方法的一种特殊模拟技术。在计算机运行速度很高的今天，蒙特卡洛仿真作为一种预计工具并为分析技术提供参考。当它用于形成置信度时，蒙特卡洛仿真生成随机数据样本加入到数据点极少的已有数据中，使P值和BLives的置信限和形成参数的相关性更准确。通常生成保守结果时，认为蒙特卡洛方法对于没有精确推导的置信分布估计是最好的方案。由于蒙特卡洛仿真执行每一个置信点，所以该方法要求定量的估算时间。如果置信初值未保持一致，同一时间内给定真实变化性读数的同一情况的重新计算结果会有轻微的差异。对于10个或更少的数据点，或有随机中止的数据组形成置信区间，推荐使用蒙特卡洛法。Greenw

48、ood的标准差平方此方法用于确定KaplanMeier模型的界限，KaplanMeier模型请参阅“相关定量模型”表77 通用的置信方法尽管增加样本数量可减小不确定度，但测试更多失效单元致使费用非常昂贵，甚至不可能冒着安全性危险去做。一个减少样本不确定度的较经济的方法是所服从的失效模式的以往经验知识。如果建立一个威布尔资料库，威布尔概率分布图可以在开始新设计方案之前对当前设计方案的失效模式进行评审。除概率分布图外，理想的威布尔资料库应包括：失效分析、来自FRACAS（失效报告，分析和纠正措施系统）的纠正分析报告、根本原因分析、指示设计或过程如何改进以避免将来发生失效模式的声明，实验室内的材料分

49、析，失效模式和影响分析（FMEAs），故障树分析及其它相关报告。单参数的 WeiBayes 分布，基于工程经验和早先设计的威布尔概率分布图可使用一个输入的斜率值。对于小样本来说，定义WeiBayes 分布的斜率可减少两、三个系数的不确定性。1.5.1 拟合度当一串数据点围绕在直线周围时，所选定的分布是好的；尽管如此，当样本非常小时，并不容易测量出拟合度。尽管如此，仍能从几个复杂的统计测量方法中确定一组数据的最合适的分布。表78给出了用于评估威布尔概率图的几个简单测量方法。度量描述相关系数（r）度量两变量的线性关系的程度。相关系数总是一个介于1和1之间的值。与斜率相关。因为威布尔概率分布图总是一

50、个真实的斜率，也就会有一个实际的相关系数。r越接近于1，相关性越好。相关系数的平方（r2）衡量数据中变量的比例，该数据是通过分布相关性说明的。例如，如果r2093,则说明数据中93%的变量可由相关性解释. r2也被成为决定系数。临界相关系数（CCC）衡量基于模拟中值描绘的标准威布尔概率分布图中的相关系数的分布。90%的CCC要与相关系数进行比较。若r大于CCC，则相关性好；若r小于CCC，则数据明显与威布尔分布不同，相关性差。CCC被认为是确定数据组与分布的相关性好坏的最好的统计学方法。临界相关系数的平方（CCC2）为回归方法衡量变量比例。当r2大于或等于CCC2时，相关性好。表78相关性度量

51、为了比较一种分布与另一种的相关性，一般需要样本中具有20个以上的数据点，并且必须知道每一个分布就相关系数（r）而言的P值。P值最高的分布是最好的统计选择。1.6 管理分析和结果解释许多分析人员自动假定寿命数据的基本分布是威布尔分布。而威布尔概率分布图的结果被用于确定此假设是否正确。如果所绘制数据点沿直线落在其附近，则寿命数据实际上来源于威布尔分布。如果所绘数据点没有形成一条直线，那么其相关性不好，与失效的物理特性、数据的质量和数量或选择了不合适的分布有关。1.6.1 斜度陡峭的威布尔概率分布图陡峭的平面图经常会隐藏数据中的问题。这种图中，所有可用的数据信息，例如曲线，无用数据和急转拐角都会消失

52、。所显示的好的威布尔概率分布图其相关性可能并不好。在这种情况下，要对失效数据做仔细评估以确定它的有效性。1.6.2 威布尔概率分布图上的曲线数据 当威布尔概率分布图上所绘制的点呈现为曲线，则认为所选分布是不合适的。这种相关性不好的原因可能是由于数据质量差或初始的时间刻度原点没有合理定位，具体解释如下： 向下凹的线图：可以反映生产中发生的失效，包括：发生在老练、应力筛选或产品接收过程中的早期失效。也可以暗示自由失效阶段的存在，此阶段实际上就失效模式而言不可能产生瞬时失效或早期失效。例如，轴承是不会因碎裂和失调而失效，除非达到充分损坏的程度。 向上凹的线图：不常见且难于解释，可以反映保存期或是备用

53、部件负载的退化或混合失效模式。当威布尔概率分布图上出现曲线数据，且其原因是时间刻度的原点定位不合理时，可用一个三参数威布尔分布中的值将刻度转换为位置参数（t0）。要估计t0的值，需要将威布尔概率图中的曲线变直，你可通过双参数威布尔概率图并用与水平时间轴相交的点来查看曲线。用计算机处理三参数威布尔分布反复分析t0值，直至相关系数达到最大。t0值总是小于首次失效时间，可以从失效值中加上或减去得到。若t0值是正确的，三参数威布尔分布所得结果应服从一条直线。如果原点转换未能修正威布尔概率图上的曲线，那么可用不属于威布尔分布的对数正态分布，它将更适于分析这种特殊的寿命数据组。1.6.3 威布尔概率分布的

54、批次问题若绘制点显示出一个不期望得到的集中失效，很可能是由于某些变化引起的批次问题，这些变化包括：生产或组装过程维护或检修进度增加服务性使用另一个存在批次问题的原因是后期中止的存在和失效元件序列号的紧密相连。威布尔概率分布图很可能显示为一个陡峭的斜线紧连一个平缓的斜线。（如果分析时间足够长，平缓的斜线后又连一个陡峭的斜线）1.6.4 威布尔概率分布图的拐角和急转角数据收集通常不够完整。当威布尔概率图显示出尖角或急转弯角时，原因很可能是有多个失效模式或数据组失效来源过于复杂。例如，许多水电机械组件显示出制造的初期损坏和质量问题，而后随着失效模式的发生出现寿命后期的耗损。威布尔概率图的结果很可能是

55、一段平缓的斜线紧连一条陡峭的斜线。机械设备的早期损坏和耗损失效的结果绘在一个概率图上，这种图称作典型双级威布尔（classic bi-Weibull）。这种双级威布尔概率图经常发生在保证数据的分析上。尽管失效与中止次数相同，失效模式却不尽相同。这种情况下，要检查寿命数据以确定存在不同失效模式，除已绘制的失效外，失效模式应作为中止做上标记。在失效模式不能被自然分开的情况下，威布尔软件通过分析风险数据提供了一种用统计方法分隔失效模式的技术。这意味着软件通过对处理过的组合进行评估对两个可能的失效模式进行数据集的搜索。对每个已确认的失效模式可单独绘制威布尔概率图。来自于次要失效模式（B）的失效可能是所

56、考虑的首要失效模式（A）的中止。当权威数据受混合失效模式的影响时，Kaplan-Meier模型可用于基于元件老化的寿命预测。或者用Crow AMSAA模型预计基于测试或日历时间的寿命。 有关Kaplan-Meier和Crow AMSAA模型的详细描述请参见第176页中的“相关定量模型”。就一个系统或部件而言，当一个数据组中含有多个失效模式时，急转角消失，斜率接近于1，威布尔分布相关性变好。使用混合失效模式的威布尔概率图等价于假定应用指数分布。最好的步骤是谨慎分析失效的基本原因并避免混合失效模式同时发生。将数据归类，会得到更多准确的失效模式。1.6.5 系统模型的威布尔概率分布图系统模型结合了数

57、十个或上百个失效模式。尽管系统模型可用对数正态分布甚至是二项分布来描述，但还是威布尔分布最常用，可通过蒙特卡络仿真或分析方法进行组合。如果数据不能被分割成独立的失效模式或者如果早期数据丢失，则可用Kaplan-Meier和Crow AMSAA模型，提供趋进和失效预测。系统模型用于预计备用元件的使用，可用性，返回仓库的部件和维修所需费用。系统模型用于更新最新的威布尔概率分布图。将真实结果与过去的预计作比较以估计模型的不确定性及进行模型的调整。对于复杂系统，早期失效模式很可能覆盖后期失效模式。这意味着除非早期失效模式已被消除，否则不能确定后期失效模式。正由于此原因，涉及安全性的复杂系统应进行超出其

58、设计寿命的大量测试，以暴露并消除可能发生的灾难性后期失效模式。由于很多问题从未发现甚至解决，所以很可能在将来发生不为人知的失效模式。1.7 威布尔概率分布图的更新 如果威布尔概率图中线性相关性不好，就应该修改初始分析的参数并生成新的概率图直至找到可接受的相关性。一旦发生这种情况，威布尔分析的结果可用于正确预计数据集的趋势并估计未来要发生的失效。随着时间的推移，威布尔概率图可基于大的失效样本。尽管威布尔参数和在每个威布尔概率图中会有所不同，它们会逐步平稳且接近真实分布。虽有适当的相关性，但关于B21life的重要工程推论和失效预测不会随样本数量的增加而有重大改变。由于样本的完整性（无中止），和会

59、在所求真值附近振荡。1.7.1 绘图一旦威布尔软件找到合适的数据分布，它可以以各种图表形式显示结果： 概率图：基于特殊分布的与时间有关的失效概率图。对于寿命数据分析，这些图通常叫做威布尔概率分布图。 可靠度时间图：随时间变化的可靠度图。 概率密度分布图：概率密度函数分布图。 失效率时间图：随时间变化的失效率图。 轮廓图：当使用极大似然估计参数估计方法时，为比较不同的数据集，用图表示的似然比例等式的可能解决方案。1.7.2 计算 一旦指定数据组的寿命分布参数被合理估算，由威布尔分析获得计算结果包括： 依于时间的可靠度：在无失效的特定时间内（周期数），产品正常工作的概率。例如经过7个月的运转，产品

60、有94%的机会正常运转。 在给定时间处于失效状态的概率：如果部件是不可修的，此概率等价于特殊时间点处的产品的失效概率。也被称为不可靠度，其概率为1减去可靠度。例如，经7个月的工作，产品有6%（1.000.94）的机会失效（有94%的机会继续工作）。 平均寿命：失效前，产品可工作的平均时间。这种度量如同平均失效时间（MTTF）。 失效频率：产品在单位时间内发生的失效数。 失效率： 事件发生失效的比率。此值通常用每百万小时的失效数表示，但也可由菲特（FIT）率或每十亿小时失效率表示。失效率基本上是指一段指定时间内产品的失效次数。例如，如果一个部件失效率为每百万小时2次，那么该部件在百万小时的时间内

61、允许失效2次。 保证时间：可靠度达到指定值的估计时间。例如，可靠度为96%的工作时间为9个月。 BLife：失效概率达到一指定点的估计时间。例如，如果预计3年内有10%的产品失效，那么B10寿命为3年。（这和可靠度为90%的保证时间为3年是等价的）1.8 相关定量模型与威布尔分布有关的定量模型包括二项分布，泊松分布，Kaplan-Meier和Crow AMSAA分布。表79给出了上述每种分布的一般描述。模型描述二项分布于1663年由约翰.牛顿发现，二项分布的简单公式只需要两个对立事件中每一个的比率以及样本数和所进行的试验次数。二项分布用于计算只有两种对立结果的事件。它广泛用于质量控制和测试计划

62、中，可用于所有离散情况，如是/否，开/关，好/坏，通过/失效等。二项分布的一个典型例子是抛硬币。泊松分布通常用于二项分布的近似情况，当对它的值作某种限制时，泊松分布用于连续事件中小概率事件的模型。泊松分布只需要一个参数，均值，基于随机发生的事件。泊松分布可用于原子弹发射，偶然事件，及低要求部件的备用元件的预计等。Kaplan-Meier长期应用于医学领域，KaplanMeier函数在没有任何假设分布情况下对累积分布进行了估计。此方法是非参数的，即它是不带参数的分布，不像威布尔分布那样有参数和。KaplanMeier估计的曲线是阶梯状的而非平滑曲线。它能很好地用于分组数据，未经检查的数据和完全检查的数据。每次出现失效时，都需乘一个分数。此分数如下确定：（测试开始时的单元总数到时间t时退出测试的单元数）/时间t前有失效可能的单元数。说明：这里的单元指“发生失效的对象和本测试所监视的各个观察对象”。如果你不知道数据来自何种分布，而且不想假设一种分布，那么推荐使用KaplanMeier法。对于快速显示数据，它是最好的一种方法，且对按保证时