对回归分析的认识、体会和思考

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1、对回归分析的认识、体会和思考市第一中学 潘峰一、教材分析 1容编排散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回 归分析的部分容在数学 3（必修）中已经出现过。在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问 题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因 并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考 虑使用线性回归模型。教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数 的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合 适，引导学

2、生初步体会检验模型的思想。为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变 量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考） 总结建立回归模型的基本步骤。作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关 关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。这里所涉及的非线性相 关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。这个例子没有增加 难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合 的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。2学习价值：（1）

3、.数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少 不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一人成功必备的素质。3. 教材处理的优点：（1）.总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是 一种帮助）螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；.对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数 学思维能力，培育理性精神。4重点和难点重点：了解线

4、性回归模型与函数模型的差异；了解判断刻画模型拟合效果的方法相关指数和 残差分析。难点：解释残差变量的含义；了解偏差平方和分解的思想。5目标定位：(1).了解随机误差、残差、残差分析等概念；明确掌握相关关系，回归方程，散点图等定义；了解回归分析的基本思想，会求回归直线方程，并会用回归直线方程进行预报；掌握建立回归模型的一般步骤；.会用残差分析、判断线性回归模型的拟合效果；了解相关系数、会用相关系数判断相关关系的强弱；5. 方法指引：(1).对于回归分析只通过案例了解方法即可，不论是线性回归方程或者非线性回归方程，都只是模 拟而已，是不确定中的确定性；了解最小乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数

5、的差别与联系；会用书中介绍的方法搜集资料、分析资料，感兴趣的同学可从互联网上查询相关资料。二、教材中的要点精析：1 相关关系：自然界中，大量存在着一些变量，它们之间相互联系、相互依存，关系密切。大致 分为两类：一类是函数关系，又叫确定性关系；一类是相关关系，又叫不确定性关系、统计相关关 系。2 回归分析：是对具有相关关系的两变量进行统计分析的一种常用方法。通俗地讲，回归分析就 是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直 线方程进行预报。3 回归函数，也叫回归方程。形如y = bx + a的散点图的各个点大致分布在一条直线附近，这种分析就叫线性回归分析

6、，直线方程叫做回归直线方程。不是形如y= bx + a的回归方程，我们称之为 非线性回归方程，具体选择何种类型，由经验判断，再分析残差是否异常，确定选择的好与坏。回归直线：对于一组线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率b和截距a的最小乘法估计公式 分别为：(x - x)(y - y)b = I，(1)a = y- bx,(2)乙(X - X)2ii=11 y - 1其中x = 一乙x , y = 一乙y .(x，y)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。ninii =1i=1线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型y = bx + a + e中的y的值是由x和随机因素e共同确 定的，即x

7、只能解释部分y的变化，因此把x称为解释变量，把y称为预报变量，其中a和b为模型 的未知参数，e是y与bx + a之间的误差。通常e为随机变量,称为随机误差，它的均值Ey = bx + a。 线性回归模型的完整表达式为：y = bx + a + e，其中随机误差e的方差越小，通过回归直线预报 真实值的精确度越高。随机误差e是引起预报值y与真实值y之间误差的原因之一，其大小取决于 随机误差e的方差。再者由于公式(1)、中的a和b分别为截距和斜率的估计值，与真实值。和5 之间也有误差，这也是引起预报值y与真实值y之间误差的另一个原因。4 残差分析因为随机误差是随机变量，因此可以通过这个变量的数字特征

8、来刻画它的一些总体特征。均值是反 映随机变量取值平均水平的数字特征，方差反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差 的均值0，因此可以用方差来衡量随机误差的大小。为了衡量预报的精度，需要估计e的值，通过i样本方差来估计总体方差。解决问题的途径是通过样本的估计值&来估计e的值。ii根据截距和斜率的估计公式(1)、(2)，可以建立回归方程y=bx+a，其中b是b的估计量，a是 a的估计量。对于样本点而言，相应于它们的随机误差为e，其估计值为&，称为相应于数据点 ii的残差。类比样本方差估计总体方差的思想，可用9作为y.的估计量，其中9是由公式(1)、(2)iii给出的，工(y.-9)2成为残

9、差平方和。可以用残差平方和衡量回归方程的预报精度。通常残差平iii=1方和越小，预报精度越高。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回 归模型来拟合数据。然后，可以通过残差，来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否12n存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重 估计等，这样作出的图形称为残差图。5散点图 表示相关关系的两个变量的一组数据，作为点的坐标，在直角坐标系中描出来得到的图形叫散点图。 散点图使相关关系具有直观性。6回归分析的解题规律：a）在解具体问题过

10、程中，通常是先进行相关检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系时，再 求其线性回归方程；b）相关性检验有几种方法，教材用的是相关系数r和相关指数R2，两者在教材中具有平方关系（在 只有一个解释变量的线性模型中R2恰好等于相关系数r的平方）。当r 0时，表明两个变量正相关； 当r 0时，表明两个变量负相关。当r越接近于1,表示相关程度越好，表明两个变量的线性相关 性越强，r越接近于0,表示相关程度越差，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；同样R2取 值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟和效果越好，回归方程的预报精度越高。在线性回归模 型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越

11、接近1表示回归的效果越好。c）相关程度的强弱,除相关系数的大小之外,与选取的数据个数多少有关,还有一个问题是显著性临界值的选取,教材中点到即止,没有往下交待；d）回归分析计算量大,现在一般用计算机解决,学习中只要求明白原理即可；e）教材中直接选取对数变换是选取比较简单的函数演示而已,还可以做其他函数模拟；f）回归分析中,通常先观察散点图,若分布在一条直线附近,经验证线性相关,则选一次函数,否 则选取其他函数模拟；g）判断两个变量的相关程度通常有：其一相关系数，相关系数r的绝对值越接近于1,相关程度越 高；相关指数R2，与r类似，R2的值越大残差平方和越小，拟合越精确。h）判断模拟精确的尺度为：

12、R2 （或残差平方和）的大小。7建立回归模型的一般的基本步骤： 确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量； 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）； 由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈现性关系，则选用线性回归方程y = bx + a ）; 按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法、； 得出的结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等 等、，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。典型例题例 1已知 10 只狗的血球体积及红血球的测量值如下x 4542464842355840395

13、0y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72x （血球体积y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图;（2）求出回归直线并且画出图形（3）若血球体积为49mm，预测红血球数大 约是多少？解：（1、见下图（要学会运用计算机技术辅助我们数学学习，加强直观上的效果，这里要求学生会 运用简单的excel作出散点图，并直接通过计算机拟合出回归直线，具体步骤见本文最后的附录）。数球血红010203040506070血球体积0 9 876543210AA设回归直线为y = bx+a，利用公式（1）、（2）计算得b = 0.1597,a = 0.1

14、364所以所求回归直线的方程为y = 0.1597X + 0.1364，图形如下:数球血红2044血球体积（3）由（2）中求出的回归直线方程，把x = 49代入，得y = 7.9617 （百万），计算结果表明，当 血球体积为49mm时，红血球数大约为7.9617百万。实战演练1 某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：时间 t（s）5101520304050607090120深度 y （卩 m）610101316171923252946（1）试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程；（2）预测腐蚀时间为80s时产品腐蚀的深度大约是多少？解：（1）经计算可得b =

15、0.3043,a = 5.3444故所求的回归直线方程为 y = 0.3043x + 5.3444（2）由 求出的回归直线方程，把x = 80代入，易得y = 29.6884（卩m），计算结果表明，当腐蚀80 s时产品腐蚀深度大约为29.6884卩m8非线性回归：在散点图中样本点并没有分布在某个带壮区域，因此两个变量不呈线性相关关系，不能直接用线性 回归方程来建立两个变量之间的关系。当回归方程不是形如y = bx + a时，称之为非线性回归方程。 在一般情况下，比较两个模型的残差比较困难，原因是在某些样本点上一个模型的残差的绝对值比 另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反。这是可以通过比较

16、两个模型的残差平方和的大小 来判断模型的拟合效果。残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。两个模型拟合效果的比较步骤： 对于给定的样本点，两个含有未知参数的模型y二cwc2和y二c3x2 + c4134其中c2 C3 c4是未知参数。可按如下步骤来比较它们的拟合效果：AA,、 分别建立对应与两个模型的回归方程y - eC1x+C2 与y - C3 X 2 + C4 ，其中这里的c ,c ,c ,c 为已知的；1234A （1） A （2） 可以分别计算两个回归方程的残差ei与e.，比较两个模型的残差的绝对值，绝对值小的拟合ii”A、”A、的效果好；也可以分别计算两个回归方程的残差平方和 乙（y

17、- y）2和乙（y - y ）2，残差平. . . .i=1i=1方和小的模型拟合的效果好；三、结束语在统计中，回归分析是应用很广的。在中学，要讨论回归方程的求法，这部分容属于统计 中对回归系数的估计；另一部分是，判断回归方程是否有意义，这属于假设检验。在中学 的教学中，首先要让学生理解这里讨论的相关关系和过去学的函数关系的区别，这很重要。在估计 问题中，应要求学生自己探索回归直线的求法（事实上，通过老师启发学生可以给出许多方法）。在 统计中，重要的是寻找好的方法，而不是套用公式计算。从历史上看，拉普拉斯、欧拉等许多大数 学家都曾为寻找这一直线而努力，他们的做法并不成功。后来，由勒让德、高斯提

18、出了最小二乘法 套用公式计算回归系数，对学生来说并不困难。但这里应该让学生体会到，数学中介绍的方法是前 人经过长期探索才得到的。体会在统计中寻找方法的重要。作为老师应该清楚，之所以用最小二乘法，是因为这样得到的估计量，在许多标准下是好 的。而这些标准我们在中学无法讲授。另外，根据实际问题的需要，完全可以用别的方法，例如， 把误差的平方改为误差的绝对值，或把误差改为求点到直线的距离等等。人们现在正是这样做 的。不应该让学生错误地以为最小二乘法是绝对的、永远是最优的。应该让学生关注方程的意义和合理性。可以通过例子，提示回归系数计算的不合理性：比 如，如果在圆上取一组点，仍可套用公式，用这组点的坐标

19、得到一个回归直线方程，这样的直线显 然是没意义的。以上就是我个人对人教 A 版教材选修 1-2 中的回归分析容的一些认识、体会和一些小小思考, 不足之处希望各位老师指出。事实上新教材还有许多处理方法均起到优化课堂教学模式、提高课堂 教学效益、减轻学生课业负担的作用, 达到“少课时、轻负担、高质量”的目的, 希望能和广大一线教 师一起在这方面作进一步的探讨。附录：excel作散点图步骤：1 先将收集的数据以列的形式输入excel中，然后选中这两列数据点击插入中的图表进入 后选择散点图即可，其他的选项视自身情况而定；2作出散点图后，可以选中图中的散点，点击右键选择添加趋势线，在类型中选择线 性，然后在选项中选择显示公式，点击完成即可看到拟合的直线和回归直线的方程， 还可以在上一步的选项中追加选择显示R平方值，以观察拟合的程度。