APT定价模型组题

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1、资产组合理论：1、假如有A和B两种股票，它们的收益是相互独立的。股票A的收益为15%的概率是40%,而收益为10%的概率是60%，股票B的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。(1) 这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？(2) 如果50%的资金投资于股票A，而50%的资金投资于股票B,问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？答案：(1)股票A的期望收益E(R)0.4x15%,0.6x10%=12%;股票a的标准差A化：0.4x(15%12%)+0.6x(10%12%)2=0.0245。股票B的期望收益E(R)0.5x35%,0.5x(5

2、%)=15%;股票b的标准差B&B=J0.5x(5%15%)2+0.5x(5%15%)2=0.2因为股票A和股票B的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。(2)该投资组合的期望收益E(R)0.5xE(R)+0.5xE(R)=0.5x12%,0.5x15%=13.5%,PAB标准差g=(0.5)2xg2+(0.5)2xg2=(0.5)2x0.02452+(0.5)2x0.22=0.10072、假设有两种基金：股票基金A,债券基金B,基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A：期望收益10%标准差20%B：期望收益5%标准差10%计算：(1)基金的最小方差组合中每种基金的投资比例

3、各是多少？(2)最小方差组合的期望收益和标准差是多少？答案：(1)设组合中A基金投资比例为X，那么B基金投资比例为1-X。组合的方差g2X2G2+(1一x)2G2+2x(1一x)pGg0.22x2+0.12(1一x)2+0.1-0.2-0.1x(1一x)PABAB是关于X的一元二次方程，其最小的条件是关于X的导数为0。对X求导，并使其等于0,得：0.096x0.018，解得：X=0.1875,1-X=0.8125所以最小方差组合中A基金的投资比例为0.1875,B基金的投资比例为0.8125。(2)最新方差组合的期望收益E(R)=xE(R)+(1x)E(R)=0.1875x10%+0.8125

4、x5%=5.9375%PAB标准差GX2G2,(1x)2G2,2x(1x)pGGPABAB.0.220.18752,0.12(10.1875)2,0.1-0.2-0.1875-(10.1875)-0.10.0912CAPM：3、假设国库券利率是4%,市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM：(1) 画图说明期望收益和之间的关系(2) 市场的风险溢价是多少？(3) 如果一个投资项目的为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？(4) 如果一个为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？(5) 如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的是多少？答案：(1)

5、(2) 市场的风险溢价是：12%-4%=8%(3) E(R)=4%+(12%-4%)*1.5=16%(4) 该项目必要回报率E(R)=4%+(12%-4%)*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。(5) 11.2%=4%+(12%-4%)*，解得：=0.9。4、假设无风险收益率为6%,市场组合的预期收益率为10%,某资产组合的B系数等于1.2。根据CAPM计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其B=0.8,预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？答案：(1

6、)该资产组合的预期收益率E(R)=6%+(10%-6%)*1.2=10.8%(2)该股票的期望收益率为E(R)=6%+(10%-6%)*0.8=9.2%,按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价2021.06,说明该股票被低估了,所以投资者应该看多该股票。APT：5、考虑一个单因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B的为1.0。如果不存在套利机会，股票A的应该是多少？答案：根据APT,对于股票B：18%=6%+1.0F,解得：F=12%对于股票A：15%=6%+F=6%+12%，解

7、得：=0.75。6、考虑一个多因素APT模型，股票A的期望收益率是17.6%，关于因素1的是1.45，关于因素2的是0.86。因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？答案：根据APT,有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%因此，因素2的风险溢价是9.26%。7、考虑一个多因素APT模型，假设有两个独立的经济因素F1和F2,无风险利率是6%，两个充分分散化了的组合的信息如下：组合对应因素1的B对应因素2的B期望收益A1.02.019%B2.00.012%如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢

8、价分别是多少？答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2,根据APT,有：对于组合A：19%=6%+1.0R1+2.0R2对于组合B：12%=6%+2.0R1联立以上两个等式，解得：R1=3%,R2=5%因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。8、已知股票A和股票B分别满足下列单因素模型：R=0.10.9ReAMAR=0.051.1R8BMB,=0.2,(e)=0.3,(e)=0.1MAB(1)分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。(2)用股票A和B组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6,求该组合的非系统性标准差。答案：(1)股票a的标准差，=話0.92,2,(

9、e)2=J0.920.220.32=0.3499A甘MA股票A的标准差，,.1.12,2(e)2二1.120.22+0.12二0.2417BMB股票A和股票B的协方差，COV(R,R)，COV(0.1+0.9R+,0.05+1.1R+)，COV(0.9R,1.1R)ABABMAMBMM，0.992,0.990.22,0.0396M(2)组合的收益率R，0.4R+0.6R，0.4(0.1+0.9R+)+0.6(0.05+1.1R+)PABMAMB组合的非系统性标准差，J0.42()2+0.62()2，、；0.420.32+0.620.12，0.13429、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型

10、：R，E(R)+F+Fititi11ti22t，其中：R表示第i种证券在时间t的收益，F和F表示市场因素，其数学期望等于0,协it1t2t方差等于0。此外，资本市场上有2种证券，每种证券的特征如下：证券E(Rit)Bi1Bi2110%10.5210%1.50.75(1) 建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场因素F无关。计算该1t投资组合的期望收益和贝塔系数B2。(2) 设有一个无风险资产的期望收益等于5%,B1=0,B2=0,是否存在套利机会？答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X,那么证券2的投资比例为1-X。R，XR+(1-X)Rpt1t2t，XE(R)+F+F+(1-X)E(R)+F+F1t111t122t2t211t222t因为其收益与市场因素F无关，所以组合关于F的贝塔应该为0,即：1t1tX+(1-X)，01121X+(1-X)1.5，0解得：X=3,1-X=-2，所以E(R)，3(10%)-2(10%)，10%pt，X+(1-X)p21222，3(0.5)-2(0.75)，0所以其收益与市场因素F和F都无关。1t2t(2)因为(1)中投资组合收益与市场因素F和F都无关，所以是无风险的投资组合,1t2t其收益为10%,高于无风险资产5%的期望收益,所以应该借入期望收益为5%的无风险资产，然后投资于（1）中10%的投资组合。