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1、黑龙江省龙东南七校2020学年高二数学上学期期末联考试题 文（含解析）第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法中正确的个数是（ ）(1)若为假命题，则均为假命题;(2)命题“若，则”的逆否命题是假命题；(3)命题若“，则”的否命题是“若，则”.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据且命题的真假判断，逆否命题的真假判断及否命题的定义可一一判断对错.【详解】对于（1），由且命题“一假则假”可知，中至少有一个为假命题，不能得到均为假命题，（1）不对；对于（2），由互为逆否命题同真同假可知，命题“若，则”为
2、真，所以其逆否命题也为真，（2）不正确；对于（3）命题“若，则”的否命题是“若，则”，（3）不对.故选A.【点睛】本题主要考查了互为逆否关系的命题真假的判断及否命题的书写，且命题的真假判断，属于基础题.2.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二 200人、高三160人中，抽取60人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【详解】高一抽取的人数分别，故选：B【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础3.抛物线的焦点坐标是（ ）A. （0,1
3、）B. （，0）C. （1,0）D. （0，）【答案】D【解析】【分析】由抛物线焦点的定义直接求解即可.【详解】抛物线开口向上，焦点为（0，），故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线焦点坐标的求解，解题的关键是将抛物线的方程写出标准方程，注意开口，属于基础题.4.从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，则互为对立事件是（ ）A. 至少有一个黒球与都是黒球B. 至少有一个黒球与都是红球C. 至少有一个黒球与至少有个红球D. 恰有个黒球与恰有个黒球【答案】B【解析】【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】对于A:事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑
4、球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，A不正确；对于B:事件：“至少有一个黑球”与事件：“都红球”，这两个事件是对立事件，B正确对于C:事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，C不正确对于D:事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，D不正确故选B.【点睛】本题主要考查了互斥时间和对立事件的判断，属于基础题.5.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，再用平方关系算得，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍，得，又a2b2+c2，2b2b2+c2，可得，因此椭圆离心率为e故选：C【点睛】本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题6.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数n4416，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的
6、数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n4416，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共有m6个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p故选：D【点睛】本题考查古典概型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出曲线在处的导数值，即为切线斜率，进而由点
7、斜式即可得解.【详解】对求导得：，时在点处的切线斜率为3. 切线方程为，整理得：.故选D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.8.在区间上随机选取一个实数，则满足的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，利用区间的长度比求概率即可【详解】在区间3，4上随机选取一个实数x，对应事件的为区间长度为：7，而满足事件“x2”发生的事件的长度为：5，由几何概型的公式得到所求概率为；故选：C【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键9.若双曲线以为渐近线，且过，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根
8、据题意，设双曲线的方程为x2t，将点A的坐标代入双曲线的方程，解得t，将t的值代入双曲线的方程，可得答案【详解】根据题意，双曲线以y2x为渐近线，设双曲线的方程为x2t，又由双曲线经过点A（2，2），则有4t，解可得t1，则双曲线的方程为；故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程10.已知为函数的极小值点，则=（ ）A. -2B. C. 2D. -【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可【详解】f（x）3x26，令f（x）0，解得：x或x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（，）递增
9、，在（，）递减，在（，+）递增，故是极小值点，故a，故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题11.已知抛物线的焦点和，点为抛物线上的动点，则取到最小值时点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可【详解】根据题意，作图设点P在其准线x1上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|PM|欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，|PA|+|PM|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“”），|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时），点P的纵坐
10、标y01，设其横坐标为x0，P（x0，1）为抛物线y24x上的点，x0，则有当P为（，1）时，|PA|+|PF|取得最小值为3故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义和简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题12.定义在上的可导函数满足，且，则的解集为()A. (3，)B. (0,3)(3，)C. (0,3)D. 【答案】C【解析】【分析】令g（x），可得，因此g（x）在（0，+）上单调递减，再利用g（2）f（2）0，即可得出【详解】令g（x），0，g（x）在（0，+）上单调递减，f（3）0，即g（3）0g（x）0的解是0x3故选：C【点睛】本
11、题考查了通过构造函数利用导数研究其单调性解不等式，属于中档题 第卷二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.命题的否定是_。【答案】【解析】【分析】根据全程命题的否定为特称名题可直接得解.【详解】由全程命题的否定为特称命题，所以命题的否定是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，除了否结论外，还需要将量词进行否定，属于基础题.14.如图所示，在一个边长为3的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有150粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为_。【答案】【解析】【分析】先求出正方形的面积为22，设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，由此能求出该阴影部分的面积【详解
12、】设阴影部分的面积为x，则，解得x故答案为：【点睛】本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型 解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题15.若椭圆的一个焦点坐标为(0,2)，则实数=_。【答案】9【解析】【分析】由题意可得椭圆焦点在y轴上，由题意可得2，解方程可得m【详解】由题意可得m5，椭圆1的a，b，c，即有2，解得m9故答案为：9【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查焦点坐标的运用，以及运算能力，属于基础题16.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】由已知得的解集是R，由此能
13、求出实数a的取值范围【详解】函数，函数在实数R上是减函数，的解集是R，16+12a0，解得a，实数a的取值范围是（，故答案为：（，点睛】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查6件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：）：甲：13 15 13 8 14 21 乙：15 13 9 8 16 23 （1）画出样本数据的茎叶图；（2）分别计算甲、乙两
14、组数据的方差并分析甲、乙两种产品的质量（精确到0.1）。【答案】（1）见解析（2），甲产品质量好，较稳定。【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图即可；（2）利用公式计算甲乙的平均数与方差即可【详解】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图如图所示；（2）根据茎叶图得出，甲的平均数是，乙的平均数是；甲的方差是（6）2+（1）2+（1）2+02+12+72乙的方差是（6）2+（5）2+（1）2+12+22+9224.7甲产品质量好，较稳定.【点睛】本题考查了画茎叶图与求平均数与方差的问题，是基础题目18.现有5道题，其中3道甲类题，2道乙类题。（1）若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1
15、道题是乙类题的概率；（2）若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括但不包括的概率。【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出基本事件总数，再用列举法求出至少有1道题是乙类题包含的基本事件，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率（2）先求出基本事件总数，再用列举法求出包括但不包括包含的基本事件，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率【详解】（1）从这5道题中任选2道，基本事件有：，共10个.至少有1道题是乙类题包含的基本事件有，共7个，所以这2道题至少有1道题是乙类题的概率为；（2）从甲类题、乙类题中各选1道题，基本事件有：，共6个.包括但不
16、包括包含的基本事件有：，共2个.这2道题包括但不包括的概率为.【点睛】本题考查古典概型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19.从我校高二年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，后得到如下图的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）若我校高二年级有1080人，试估计高二年级这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数；（3）从频率分布直方图估计成绩的中位数和平均数。【答案】（1）第四小组的频率为0.3，频率分布直方图见解析（2）810（3）
17、中位数 ,平均数71【解析】【分析】（1）由频率和为1可列式求解；（2）计算数学成绩不低于60分的频率，进而可得解；（3）中位数为，则，可得中位数，由平均数公式可求平均数.【详解】（1）由频率和为1可得，第四小组的频率为：.（2）由频率分布直方图可知数学成绩不低于60分的频率为：，据此可估计高二年级1080人中有人.（3）设中位数为，则，解得.平均数为：.【点睛】本题考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为。（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为1的
18、直线与椭圆相切，求直线的方程。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件可得2a+2c6和，结合a2b2+c2，可得椭圆方程；（2）设斜率为1的直线：，与椭圆联立，利用可得直线方程.【详解】（1）设F1（c，0）、F2（c，0），由已知可得2a+2c6，又a2b2+c2，由可求得a2，b，所以椭圆C方程为1.（2）设斜率为1的直线：， 得：.由直线与椭圆相切得，解得.所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.21.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元）
19、467810销量（件）6050453020(1) 请根据上表提供的数据画出散点图，并判断是正相关还是负相关；(2) 求出关于的回归直线方程，若单价为9元时，预测其销量为多少？（参考公式：回归直线方程中公式 ,）【答案】（1）见解析;（2） ,若单价为9元时，预测其销量为27件.【解析】【分析】(1)结合所给的数据绘制散点图，观察可得销量与单价成负相关；(2)结合所给的数据计算可得线性回归方程为；结合回归方程，时，可得估计的值.【详解】（1）由散点图可知销量与单价成负相关.（2），因此回归直线方程为.时，估计的值为.单价为9元时，预测其销量为27件.【点睛】线性回归方程需要注意两点：一是回归分析
20、是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值22.已知函数（1）当时,求函数的单调区间；（2）当时，若函数在上的最小值记为，请写出的函数表达式。【答案】（1）单调增区间，单调减区间（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由，可得；由可得，从而得单调区间；（2）求出函数导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出区间上的最小值即可【详解】（1），当a1时，由，可得；由可得.所以单调增区间，单调减区间.（2），a0，x0，由f（x）0得x2a，由f（x）0得0x2a，f（x）在（0，2a上为减函数，在（2a，+）上为增函数 当02a1即0a时，f（x）在1，2上为增函数，g（a）f（1）2a2+1 当12a2即a时，f（x）在1，2a上为减函数，在（2a，2上为增函数，g（a）f（2a）aln（2a）+3a当2a2即a时，f（x）在1，2上为减函数，综上所述，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题
黑龙江省龙东南七校2020学年高二数学上学期期末联考试题 文（含解析）
