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1、 主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分 勒贝格积分理论它也是实变函数数论研究的中心内容一、关于勒贝格积分的建立本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替 一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的第一步是建立非负函数的积分它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的二、勒贝格积分的性质勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(
2、1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即在上可积当且仅当在上可积(在上可测)这是它与黎曼积分重要区别之一(2)勒贝格积分的绝对连续性设在上可积，则对任意，存在，使当且 时，恒有(3)勒贝格积分的唯一性即的充要条件是于由此可知，若与几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同(4)可积函数可用连续函数积分逼近设是可积函数，对任意，存在上的连续函数，使此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较三、关于积分极限定理积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义其中列维渐升函数列积分定理(定理5.4.1)，勒贝
3、格控制收敛定理(定理5.4.2)，和法都定理(定理5.4.3)在现代数学中都有广泛的应用 同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系我们知道，若上的有界函数黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要在上可积即可将重积分化为累次积分特别是对非负可测函数来说，可无
4、条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处 复习题（一）一、判断题1、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（ ）2、设是可测集上的非负简单函数，则在上勒贝格可积。（ ）3、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）4、设是可测集上的非负可测函数，则一定存在。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积。（ ）6、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）7、设是可测集上的可测函数，则一定存在。（ ）8、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。（ ）9、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则在上勒贝格可积。（ ）10、设是可
5、测集上的可测函数， 若且，则在上勒贝格可积。（ ）11、设是可测集上的可测函数， 若，则。（ ）12、设是可测集上的可测函数， 若且，则。（ ）13、若为零测集，为上的任何实函数，则。（ ）14、若，则。（ ）15、若，则。（ ）16、若，则。（ ）17、若，为的可测子集，则。（ ）18、在上勒贝格积分值存在。（ ）19、若，且，则于。（ ）20、若在上可积，则若在上可积，且。 （ ）21、若，且于，则。（ ）22、若，则于。（ ）23、若，则于。（ ）24、若与存在，且，则。（ ）25、若存在，是的可测子集，且，则。（ ）26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（ ）二、计算题1、设，求。解
6、：因为有理数集为零测集，所以，于，于是。2、设，其中为中的三分康托集，求。解：因为，所以，于，于是。三、证明题1、设是可测集上的可测函数，且，则。证明：由题设及不等式性，有。所以，从而。2、，。则，且。证明：因为，而由，得，即。所以，。3、设，是的可测子集，且，若，则。证明：因为是的可测子集，且，所以，从而由得，。又，由积分的绝对连续性，。4、设，若对任意有界可测函数都有，则于。证明：由题设，取，显然为上的有界可测函数，从而。所以，于，即于。5、设，证明（1）；（2）。证明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由积分的绝对连续性得，从而注意到，所以，。6.证明：如果是E上的非负函数，则于E证
7、：若不然，不妨令. 于是集 必存在某一使令 于是，这与题设矛盾，所以于E7.设上的一非负可测函数列，则 .证明 相应于每个正整数，令 ，则是非负可测递增列，且.据定理5.3.1，所以.证毕.8. 设为可测集，为上的一列非负可测函数，在上有令，证明：证明：显然在上非负可测且，故，因而现证相反的不等式任取上的一个非负简单函数使得时：，令，则可测，且，故由的任意性可得再由的任意性即得补充证明是显然的，则，且，使得，即得由的任意性得证明：由条件知为E上非负可测函数递增列，所以有定义 ，又故有定义，且从函数列的渐升性知道， （1）令满足是上的非负可测简单函数，且，则En是递增集列，且，故，.由非负可测函
8、数积分定义. (2)综合(1)与（2）得9.计算解 令则 且对任何都有。显然可测，由Lebesgue控制收敛定理，。10.应用控制收敛定理证明：. 证：令，则对，有注意到，当时，有；当时，有令，则，且易知,即在上可积，所以由控制收敛定理知证毕。10. 设可测，在上可积，证明.证明：（1）常数 （2）对任意的，因为，存在， 使当，时，有（积分绝对连续性）.由（1）知 ，故存在，当时有，. 于是， （）由此，.第五章 复习题（二）一、判断题1、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果于，则。（）2、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果（），则。（）3、设是可测集上的可测
9、函数列，是可测集上的可测函数，如果且（）或于，则。（）4、设是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（）6、设是可测集上的非负可测函数列，则。（）7、设是可测集上的非负可测函数列，则。（ ）8、设是可测集上的非负可测函数列，则。（ ）9、设是可测集上的非正可测函数列，则。（ ）10、设是可测集上的可测函数列，则。（）11、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，则。（）12、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，为两两不交的可测集，则。（ ）13、设在上可测，则。（）14、设在上非负可测，则。（ ）15、设在上勒贝格可积，则。（ ）二、计算题1、设（），求
10、。解：因为，且，由有界法则得，。2、设（），求。解：当时，且。而，所以，。由勒贝格控制收敛定理得。3、设（），求。解：易见，且，而。由勒贝格控制收敛定理。4、设（），求。解：易见，且，而。由勒贝格控制收敛定理。三、证明题1、设，为上几乎处处有限的可测函数列，证明：在上，的充要条件是。证明：因为对任意，有，所以。“充分性”：若，则，从而。“必要性”：若，则，又，且，由有界法则，。2、设为上非负可测函数列，且（），若，且存在，使得，则。证明：令（），由题设，易见单调递增，且，。又，即，由勒贝格控制收敛定理，即。3、设（）都是上的可测函数，证明：在上几乎处处绝对收敛，其和函数在上勒贝格可积，并且。证明：记，由于，且。由勒贝格积分的几乎处处有限性，于，即在上几乎处处绝对收敛。由于于，且，由勒贝格控制收敛定理，其和函数在上勒贝格可积，且 。4、利用上题的结论证明：记中的全体有理数排成的序列为，则在上几乎处处收敛。证明：因为，所以，。由上题结论，在上几乎处处绝对收敛，从而在上几乎处处收敛。13
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