大学物理第五版马文蔚电磁学习题答案

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1、第五章静电场5 1电荷面密度均为的两块无限大均匀带电的平行平板如图放置,其周围空间各点电场强度E随位置坐标x变化的关系曲线为图中的分析与解无限大均匀带电平板激发的电场强度为,方向沿带电平板法向向外,依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为.5 2下列说法正确的是闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内一定没有电荷闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内电荷的代数和必定为零闭合曲面的电通量为零时,曲面上各点的电场强度必定为零闭合曲面的电通量不为零时,曲面上任意一点的电场强度都不可能为零分析与解依照静电场中的高斯定理,闭合曲面上各点电场强度都为零时,曲面内电荷的代数和必定为零

2、,但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时,表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面,不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零,也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零,因而正确答案为.5 3下列说法正确的是电场强度为零的点,电势也一定为零电场强度不为零的点,电势也一定不为零电势为零的点,电场强度也一定为零电势在某一区域内为常量,则电场强度在该区域内必定为零分析与解电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量,电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零,电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时,电场力作功为零.

3、电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为.*5 4在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子,其电偶极矩p的方向如图所示.当电偶极子被释放后,该电偶极子将沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p水平指向棒尖端而停止沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端,同时沿电场线方向朝着棒尖端移动沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端,同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动沿顺时针方向旋转至电偶极矩p水平方向沿棒尖端朝外,同时沿电场线方向朝着棒尖端移动分析与解电偶极子在非均匀外电场中,除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外,还将受到一个指向电

4、场强度增强方向的合力作用,因而正确答案为.5 5精密实验表明,电子与质子电量差值的最大范围不会超过1021e,而中子电量与零差值的最大范围也不会超过1021e,由最极端的情况考虑,一个有8个电子,8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？若将原子视作质点,试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小.分析考虑到极限情况,假设电子与质子电量差值的最大范围为21021e,中子电量为1021e,则由一个氧原子所包含的8个电子、8个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力,并与万有引力作比较.解一个氧原子所带的最大可能净电荷为二个氧原子间的库

5、仑力与万有引力之比为显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异,其差异在1021e范围内时,对于像天体一类电中性物体的运动,起主要作用的还是万有引力.5 61964年,盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成,中子就是由一个带的上夸克和两个带的下夸克构成.若将夸克作为经典粒子处理,中子内的两个下夸克之间相距2.601015 m .求它们之间的相互作用力.解由于夸克可视为经典点电荷,由库仑定律F与径向单位矢量er方向相同表明它们之间为斥力.5 7质量为m,电荷为e的电子以圆轨道绕氢核旋转,其动能为E.证明电子的旋转频率满足其中0是真空电容率,电子的运动可视为遵守经典力学规律.分析根据题意

6、将电子作为经典粒子处理.电子、氢核的大小约为1015 m,轨道半径约为1010m,故电子、氢核都可视作点电荷.点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力,故有由此出发命题可证.证由上述分析可得电子的动能为电子旋转角速度为由上述两式消去r,得5 8在氯化铯晶体中,一价氯离子Cl与其最邻近的八个一价铯离子Cs+构成如图所示的立方晶格结构.求氯离子所受的库仑力；假设图中箭头所指处缺少一个铯离子,求此时氯离子所受的库仑力.分析铯离子和氯离子均可视作点电荷,可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加.为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力.解由对称性,每条对角线上的一对铯离子

7、与氯离子间的作用合力为零,故F10.除了有缺陷的那条对角线外,其它铯离子与氯离子的作用合力为零,所以氯离子所受的合力F2 的值为F2方向如图所示.5 9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为在棒的垂直平分线上,离棒为r处的电场强度为若棒为无限长,试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元dx,其电荷为dqQdx/L,它在点P的电场强度为整个带电体在点P的电场强度接着针对具体问题来

8、处理这个矢量积分.若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,若点P 在棒的垂直平分线上,如图所示,则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P的电场强度就是证延长线上一点P的电场强度,利用几何关系 rrx统一积分变量,则电场强度的方向沿x轴.根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E的方向沿y轴,大小为利用几何关系 sin r/r,统一积分变量,则当棒长L时,若棒单位长度所带电荷为常量,则P 点电场强度此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同图.这说明只要满足r2/L21,带电长直细棒可视为无限长带电直线.510一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密

9、度为,求球心处电场强度的大小.分析这仍是一个连续带电体问题,求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环,如图所示,从教材第53节的例1可以看出,所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同,将所有带电圆环的电场强度积分,即可求得球心O 处的电场强度.解将半球壳分割为一组平行细圆环,任一个圆环所带电荷元,在点O 激发的电场强度为由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同,利用几何关系,统一积分变量,有积分得 511水分子H2O中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示,假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r0.试计算在分子的对称轴线上,距分子较远处的电场强度.分析水分子的电荷模

10、型等效于两个电偶极子,它们的电偶极矩大小均为,而夹角为2.叠加后水分子的电偶极矩大小为,方向沿对称轴线,如图所示.由于点O 到场点A的距离xr0,利用教材第53节中电偶极子在延长线上的电场强度可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加,求电场分布.解1水分子的电偶极矩在电偶极矩延长线上解2在对称轴线上任取一点A,则该点的电场强度由于 代入得测量分子的电场时,总有xr0,因此,式中,将上式化简并略去微小量后,得5 12两条无限长平行直导线相距为r0,均匀带有等量异号电荷,电荷线密度为.求两导线构成的平面上任一点的电场强度；求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.分析在两导线

11、构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加.由FqE,单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量,即：FE.应该注意：式中的电场强度E是另一根带电导线激发的电场强度,电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力.解设点P 在导线构成的平面上,E、E分别表示正、负带电导线在P点的电场强度,则有设F、F分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力,则有显然有FF,相互作用力大小相等,方向相反,两导线相互吸引.5 13如图为电四极子,电四极子是由两个大小相等、方向相反的电偶极子组成.试求在两个电偶极子延长线上距中心为z的一点P的电场强度.分析根

12、据点电荷电场的叠加求P点的电场强度.解由点电荷电场公式,得考虑到zd,简化上式得通常将Q2qd2称作电四极矩,代入得P 点的电场强度5 14设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量.分析方法1：由电场强度通量的定义,对半球面S求积分,即方法2：作半径为R的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理这表明穿过闭合曲面的净通量为零,穿入平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而解1由于闭合曲面内无电荷分布,根据高斯定理,有依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向,解2取球坐标系,电场强度矢量和面元在球

13、坐标系中可表示为5 15边长为a的立方体如图所示,其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx平面,立方体的一个顶点为坐标原点.现将立方体置于电场强度 的非均匀电场中,求电场对立方体各表面与整个立方体表面的电场强度通量.解如图所示,由题意E与Oxy面平行,所以任何相对Oxy面平行的立方体表面,电场强度的通量为零,即.而考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反,且该两面的电场分布相同,故有同理 因此,整个立方体表面的电场强度通量5 16地球周围的大气犹如一部大电机,由于雷雨云和大气气流的作用,在晴天区域,大气电离层总是带有大量的正电荷,云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为,方

14、向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷.分析考虑到地球表面的电场强度指向地球球心,在大气层中取与地球同心的球面为高斯面,利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.解在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面,其半径.由高斯定理地球表面电荷面密度单位面积额外电子数5 17设在半径为R的球体内,其电荷为球对称分布,电荷体密度为k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.分析通常有两种处理方法：利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布,因而电场分布也是球对称,选择与带电球体同心的球面为高斯面,在球面上电场强度大小为常量,且方向垂直于球面,因而有根据高

15、斯定理,可解得电场强度的分布.利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳,球壳带电荷为,每个带电球壳在壳内激发的电场,而在球壳外激发的电场由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布解1因电荷分布和电场分布均为球对称,球面上各点电场强度的大小为常量,由高斯定理得球体内球体外解2将带电球分割成球壳,球壳带电由上述分析,球体内球体外5 18一无限大均匀带电薄平板,电荷面密度为,在平板中部有一半径为r的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度.分析用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性,

16、但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加,求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和.解由教材中第54节例4可知,在无限大带电平面附近为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场它们的合电场强度为在圆孔中心处x0,则E0在距离圆孔较远时xr,则上述结果表明,在xr时,带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计.5 19在电荷体密度为的均匀带电球体中,存在一个球形空腔,若将带电体球心O 指向球形空腔球心O的矢量用a表示.试证明球

17、形空腔中任一点的电场强度为分析本题带电体的电荷分布不满足球对称,其电场分布也不是球对称分布,因此无法直接利用高斯定理求电场的分布,但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为的均匀带电球和一个电荷体密度为、球心在O的带电小球体.大小球体在空腔内P 点产生的电场强度分别为E1、E2,则P点的电场强度 EE1E2.证带电球体内部一点的电场强度为所以 ,根据几何关系,上式可改写为5 20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,总电荷为Q1,球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面,球面带电荷为Q2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析.分析以

18、球心O 为原点,球心至场点的距离r为半径,作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布,电场强度也为球对称分布,高斯面上电场强度沿径矢方向,且大小相等.因而.在确定高斯面内的电荷后,利用高斯定理即可求出电场强度的分布.解取半径为r的同心球面为高斯面,由上述分析rR1,该高斯面内无电荷,故R1rR2,高斯面内电荷故 R2rR3,高斯面内电荷为Q1,故rR3,高斯面内电荷为Q1Q2,故电场强度的方向均沿径矢方向,各区域的电场强度分布曲线如图所示.在带电球面的两侧,电场强度的左右极限不同,电场强度不连续,而在紧贴rR3的带电球面两侧,电场强度的跃变量这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果,且具有普

19、遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳,壳层内外的电场强度也是连续变化的,本题中带电球壳内外的电场,在球壳的厚度变小时,E 的变化就变陡,最后当厚度趋于零时,E的变化成为一跃变.5 21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2R1,单位长度上的电荷为.求离轴线为r处的电场强度：rR1, R1rR2,rR2.分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上,电场强度也必定沿轴对称分布,取同轴圆柱面为高斯面,只有侧面的电场强度通量不为零,且,求出不同半径高斯面内的电荷.即可解得各区域电场的分布.解作同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理rR1,在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变R1r

20、R2,rR2, 在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变这与520题分析讨论的结果一致.5 22如图所示,有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1Q3Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零,求在固定Q1、Q3的情况下,将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析由库仑力的定义,根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q2.外力作功W应等于电场力作功W 的负值,即WW.求电场力作功的方法有两种：根据功的定义,电场力作的功为其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度.根据电场力作功与电势能差的关系,有其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势.解1由题意Q1所受的合力为零解得 由点电荷电场的

21、叠加,Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为将Q2从点O沿y轴移到无穷远处,外力所作的功为解2与解1相同,在任一点电荷所受合力均为零时,并由电势的叠加得Q1、Q3在点O的电势将Q2从点O推到无穷远处的过程中,外力作功比较上述两种方法,显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大,而求电势分布要简单得多.5 23已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为为电荷线密度.求在rr1和rr2两点间的电势差；在点电荷的电场中,我们曾取r处的电势为零,求均匀带电长直线附近的电势时,能否这样取？试说明.解由于电场力作功与路径无关,若沿径向积分,则有不能.严格

22、地讲,电场强度只适用于无限长的均匀带电直线,而此时电荷分布在无限空间,r处的电势应与直线上的电势相等.5 24水分子的电偶极矩p 的大小为6.201030C m.求在下述情况下,距离分子为r5.00109m处的电势.；, 为r与p之间的夹角.解由点电荷电势的叠加若若若525一个球形雨滴半径为0.40mm,带有电量1.6 pC,它表面的电势有多大？两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴,这个雨滴表面的电势又是多大？分析取无穷远处为零电势参考点,半径为R带电量为q 的带电球形雨滴表面电势为当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后,半径增大为,代入上式后可以求出两雨滴相遇合并后,雨滴表面的电势.解根据已

23、知条件球形雨滴半径R10.40 mm,带有电量q11.6 pC,可以求得带电球形雨滴表面电势当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后,雨滴半径,带有电量q22q1,雨滴表面电势5 26电荷面密度分别为和的两块无限大均匀带电的平行平板,如图放置,取坐标原点为零电势点,求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x变化的关系曲线.分析由于无限大均匀带电的平行平板电荷分布在无限空间,不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由无限大均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布,然后依照电势的定义式求电势分布.解由无限大均匀带电平板的电场强度,叠加求得电场强度的分布,电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所

24、作的功 电势变化曲线如图所示.5 27两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2.求：各区域电势分布,并画出分布曲线；两球面间的电势差为多少？分析通常可采用两种方法由于电荷均匀分布在球面上,电场分布也具有球对称性,因此,可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面,借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布,再由可求得电势分布.利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面,在球面外产生的电势为在球面内电场强度为零,电势处处相等,等于球面的电势其中R是球面的半径.根据上述分析,利用电势叠加原理,将两个球面在各区域产生的电势叠加,可求得电势的分布.解1由高斯定理可求得电场分布

25、由电势可求得各区域的电势分布.当rR1时,有当R1rR2时,有当rR2时,有两个球面间的电势差解2由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内,即rR1,则若该点位于两个球面之间,即R1rR2,则若该点位于两个球面之外,即rR2,则两个球面间的电势差5 28一半径为R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷的体密度为.现取棒表面为零电势,求空间电势分布并画出分布曲线.分析无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面,利用高斯定理可求得电场分布E,再根据电势差的定义并取棒表面为零电势,即可得空间任意点a的电势.解取高度为l、半径为r且与带电棒

26、同轴的圆柱面为高斯面,由高斯定理当rR时得 当rR时得取棒表面为零电势,空间电势的分布有当rR时当rR时如图所示是电势V随空间位置r的分布曲线.529一圆盘半径R3.00102m.圆盘均匀带电,电荷面密度2.00105Cm2.求轴线上的电势分布；根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度.分析将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环,利用带电细环轴线上一点的电势公式,将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加,即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布,再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布.解带电圆环激发的电势由电势叠加,轴线上任一点P的电

27、势的 轴线上任一点的电场强度为 电场强度方向沿x轴方向.将场点至盘心的距离x30.0cm分别代入式和式,得当xR时,圆盘也可以视为点电荷,其电荷为.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式,有由此可见,当xR时,可以忽略圆盘的几何形状,而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理,E 和V 的误差分别不超过0.3和0.8,这已足以满足一般的测量精度.5 30两个很长的共轴圆柱面,带有等量异号的电荷,两者的电势差为450.求：圆柱面单位长度上带有多少电荷？r0.05m处的电场强度.解由习题521的结果,可得两圆柱面之间的电场强度为根据电势差的定义有解得 解得两圆柱面之间r0.05m处

28、的电场强度5 31轻原子核结合成为较重原子核的过程,叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核结合成一个氦原子核时,可释放出25.9MeV的能量.即这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚变,就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大,只有在极高的温度下,使原子热运动的速度非常大,才能使原子核相碰而结合,故核聚变反应又称作热核反应.试估算：一个质子以多大的动能运动,才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离？平均热运动动能达到此值时,温度有多高？分析作为估算,可以将质子上的电荷分布看作球对称分布,因此质子周围的电势分布为将质子作为经典粒子处理,

29、当另一质子从无穷远处以动能Ek飞向该质子时,势能增加,动能减少,如能克服库仑斥力而使两质子相碰,则质子的初始动能假设该氢原子核的初始动能就是氢分子热运动的平均动能,根据分子动理论知：由上述分析可估算出质子的动能和此时氢气的温度.解两个质子相接触时势能最大,根据能量守恒由可估算出质子初始速率该速度已达到光速的4.依照上述假设,质子的初始动能等于氢分子的平均动能得 实际上在这么高的温度下,中性原子已被离解为电子和正离子,称作等离子态,高温的等离子体不能用常规的容器来约束,只能采用磁场来约束532在一次典型的闪电中,两个放电点间的电势差约为109,被迁移的电荷约为30C.如果释放出来的能量都用来使0

30、的冰融化成0的水,则可溶解多少冰？假设每一个家庭一年消耗的能量为300kWh,则可为多少个家庭提供一年的能量消耗？解若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收,故可融化冰的质量即可融化约 90吨冰.一个家庭一年消耗的能量为一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年消耗的电能.5 33两个半径为R的圆环分别带等量异号电荷q,圆环如图相对O点对称平行放置,其间距为l,并且有.以两环的对称中心O 为坐标原点,两环圆心连线为x轴,求x轴上的电势分布.若取无穷远处为零电势,证明当时,轴线上电势分析参照57节例1,带电圆环在轴线上一点的电势为由电势的叠加可以求出两环圆心连线的x轴上的电势分布.解由

31、带电圆环电势的叠加,两环圆心连线的x轴上的电势为当时,化简整理得在时带电圆环等效于一对带等量异号的点电荷,即电偶极子.上式就是电偶极子延长线上一点的电势.534在面上倒扣着半径为R的半球面,半球面上电荷均匀分布,电荷面密度为.A点的坐标为,B点的坐标为,求电势差.分析电势的叠加是标量的叠加,根据对称性,带电半球面在平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在该点电势的一半.据此,可先求出一个完整球面在A、B间的电势差,再求出半球面时的电势差.由于带电球面内等电势,球面内A点电势等于球表面的电势,故其中VR是带电球表面的电势,VB是带电球面在B点的电势.解假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度的一个完

32、整球面,此时在A、B两点的电势分别为则半球面在A、B两点的电势差5 35在玻尔的氢原子模型中,电子沿半径为0.531010m的圆周绕原子核旋转.若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功？电子的电离能为多少？解电子在玻尔轨道上作圆周运动时,它的电势能为因此,若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功电子在玻尔轨道上运动时,静电力提供电子作圆周运动所需的向心力,即.此时,电子的动能为其总能量电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量由于电子围绕原子核高速旋转具有动能,使电子脱离原子核的束缚所需的电离能小于在此过程中克服电场力所作的功.第六章静电场中的导体与电介质6 1将一个带正电的带

33、电体A从远处移到一个不带电的导体B附近,则导体B的电势将A升高B降低C不会发生变化D无法确定分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时,在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷,不带电导体的电势将高于无穷远处,因而正确答案为A.6 2将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N,在N的左端感应出正电荷,右端感应出负电荷.若将导体N的左端接地如图所示,则AN上的负电荷入地BN上的正电荷入地CN上的所有电荷入地 DN上所有的感应电荷入地分析与解导体N接地表明导体N为零电势,即与无穷远处等电势,这与导体N在哪一端接地无关.因而正确答案为A.6 3如图所示将一

34、个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近,点电荷距导体球球心为d,参见附图.设无穷远处为零电势,则在导体球球心O点有ABCD分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q在导体球表面感应等量异号的感应电荷q,导体球表面的感应电荷q在球心O点激发的电势为零,O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势.因而正确答案为A.6 4根据电介质中的高斯定理,在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是A若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面内一定没有自由电荷B若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面内电荷的代数和一

35、定等于零C若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零,曲面内一定有极化电荷D介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关E介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零,表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布,介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为E.65对于各向同性的均匀电介质,下列概念正确的是A电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时,电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/倍B电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/倍C在电介质充

36、满整个电场时,电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/倍D电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的倍分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成,由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布,由电介质中的高斯定理,仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时,在电介质中任意高斯面S有即EE/,因而正确答案为A.6 6不带电的导体球A含有两个球形空腔,两空腔中心分别有一点电荷qb、qc,导体球外距导体球较远的r处还有一个点电荷qd如图所示.试求点电荷qb、qc、qd 各受多大的电场力.分析与解根据导体静电平衡时电荷分布的规律,空腔

37、内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A外表面的感应电荷近似均匀分布,因而近似可看作均匀带电球对点电荷qd的作用力.点电荷qd与导体球A外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零,点电荷qb、qc处于球形空腔的中心,空腔内表面感应电荷均匀分布,点电荷qb、qc受到的作用力为零.6 7一真空二极管,其主要构件是一个半径R5.0104m的圆柱形阴极和一个套在阴极外,半径R4.5103m的同轴圆筒形阳极阳极电势比阴极电势高300V,阴极与阳极的长度均为L2.510m假设电子从阴极射出时的速度为零求：该电子到达阳极时所具有的动能和速率；电子刚从阳极射出时所受的力分析1由于半径RL,因此可将电极

38、视作无限长圆柱面,阴极和阳极之间的电场具有轴对称性从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速,电子所获得的动能等于电场力所作的功,也即等于电子势能的减少由此,可求得电子到达阳极时的动能和速率2计算阳极表面附近的电场强度,由FqE求出电子在阴极表面所受的电场力解1电子到达阳极时,势能的减少量为由于电子的初始速度为零,故因此电子到达阳极的速率为2两极间的电场强度为两极间的电势差负号表示阳极电势高于阴极电势阴极表面电场强度电子在阴极表面受力这个力尽管很小,但作用在质量为.1 103kg的电子上,电子获得的加速度可达重力加速度的5105倍68一导体球半径为R,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳,外球壳

39、所带总电荷为Q,而内球的电势为V求此系统的电势和电场的分布分析若,内球电势等于外球壳的电势,则外球壳内必定为等势体,电场强度处处为零,内球不带电若,内球电势不等于外球壳电势,则外球壳内电场强度不为零,内球带电一般情况下,假设内导体球带电q,导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示依照电荷的这一分布,利用高斯定理可求得电场分布并由或电势叠加求出电势的分布最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R、R2表示解根据静电平衡时电荷的分布,可知电场分布呈球对称取同心球面为高斯面,由高斯定理,根据不同半径的高斯面内的电荷分布,解得各区域内的电场分布为rR时,RrR2时,rR2时,由电场强度与电势的积分关系,可得

40、各相应区域内的电势分布rR时,RrR2时,rR2时,也可以从球面电势的叠加求电势的分布在导体球内rR在导体球和球壳之间RrR2在球壳外rR2由题意得代入电场、电势的分布得rR时,；RrR2时,；rR2时,；69在一半径为R6.0 cm 的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B已知球壳B的内、外半径分别为R28.0 cm,R310.0 cm设球A带有总电荷QA3.0 10C,球壳B带有总电荷QB2.010C求球壳B内、外表面上所带的电荷以与球A和球壳B的电势；2将球壳B接地然后断开,再把金属球A接地,求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以与球A和球壳B的电势分析根据静电感应和静电平衡时导体表面

41、电荷分布的规律,电荷QA均匀分布在球A表面,球壳B内表面带电荷QA,外表面带电荷QBQA,电荷在导体表面均匀分布图,由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势2导体接地,表明导体与大地等电势大地电势通常取为零球壳B接地后,外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和,球壳内表面带电QA图断开球壳B的接地后,再将球A接地,此时球A的电势为零电势的变化必将引起电荷的重新分布,以保持导体的静电平衡不失一般性可设此时球A带电qA,根据静电平衡时导体上电荷的分布规律,可知球壳B内表面感应qA,外表面带电qAQA图c此时球A的电势可表示为由VA0可解出球A所带的电荷qA,再由带电球面电势的叠加,可求出球A和球壳

42、B的电势解由分析可知,球A的外表面带电3.0 10C,球壳B内表面带电3.0 10C,外表面带电5.0 10C由电势的叠加,球A和球壳B的电势分别为2将球壳B接地后断开,再把球A接地,设球A带电qA,球A和球壳B的电势为解得即球A外表面带电2.12 10C,由分析可推得球壳B内表面带电2.12 10C,外表面带电-0.9 10C另外球A和球壳B的电势分别为导体的接地使各导体的电势分布发生变化,打破了原有的静电平衡,导体表面的电荷将重新分布,以建立新的静电平衡6 10两块带电量分别为Q、Q2的导体平板平行相对放置如图所示,假设导体平板面积为S,两块导体平板间距为d,并且Sd试证明相向的两面电荷面

43、密度大小相等符号相反；2相背的两面电荷面密度大小相等符号相同分析导体平板间距d S,忽略边缘效应,导体板近似可以当作无限大带电平板处理.取如图所示的圆柱面为高斯面,高斯面的侧面与电场强度E 平行,电场强度通量为零；高斯面的两个端面在导体内部,因导体内电场强度为零,因而电场强度通量也为零,由高斯定理得 上式表明处于静电平衡的平行导体板,相对两个面带等量异号电荷再利用叠加原理,导体板上四个带电面在导体内任意一点激发的合电场强度必须为零,因而平行导体板外侧两个面带等量同号电荷证明设两块导体平板表面的电荷面密度分别为、2、3、4,取如图所示的圆柱面为高斯面,高斯面由侧面S和两个端面S2、S3构成,由分

44、析可知得 相向的两面电荷面密度大小相等符号相反2由电场的叠加原理,取水平向右为参考正方向,导体内P点的电场强度为相背的两面电荷面密度大小相等符号相同611将带电量为Q的导体板A从远处移至不带电的导体板B附近,如图所示,两导体板几何形状完全相同,面积均为S,移近后两导体板距离为d忽略边缘效应求两导体板间的电势差；2若将B接地,结果又将如何？分析由习题60可知,导体板达到静电平衡时,相对两个面带等量异号电荷；相背两个面带等量同号电荷再由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布,进一步求出电场分布和导体间的电势差导体板B接地后电势为零,B的外侧表面不带电,根据导体板相背两个面带等量同号电荷可知,A的外侧

45、表面也不再带电,由电荷守恒可以求出导体各表面的电荷分布,进一步求出电场分布和导体间的电势差解如图所示,依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得解得两导体板间电场强度为；方向为A指向B两导体板间的电势差为 2如图c所示,导体板B接地后电势为零两导体板间电场强度为；方向为A指向B两导体板间的电势差为 612如图所示球形金属腔带电量为Q 0,内半径为,外半径为b,腔内距球心O为r处有一点电荷q,求球心的电势分析导体球达到静电平衡时,内表面感应电荷q,外表面感应电荷q；内表面感应电荷不均匀分布,外表面感应电荷均匀分布球心O点的电势由点电荷q、导体表面的感应电荷共同决定在带电面上任意取一电荷元,

46、电荷元在球心产生的电势由于R为常量,因而无论球面电荷如何分布,半径为R的带电球面在球心产生的电势为由电势的叠加可以求得球心的电势解导体球内表面感应电荷q,外表面感应电荷q；依照分析,球心的电势为6 13在真空中,将半径为R的金属球接地,与球心O相距为rrR处放置一点电荷q,不计接地导线上电荷的影响求金属球表面上的感应电荷总量分析金属球为等势体,金属球上任一点的电势V等于点电荷q和金属球表面感应电荷q在球心激发的电势之和在球面上任意取一电荷元q,电荷元可以视为点电荷,金属球表面的感应电荷在点O激发的电势为点O总电势为而接地金属球的电势V00,由此可解出感应电荷q解金属球接地,其球心的电势感应电荷

47、总量6 14地球和电离层可当作球形电容器,它们之间相距约为100 km,试估算地球电离层系统的电容设地球与电离层之间为真空解由于地球半径R16.37106m；电离层半径R21.00105mR16.47106m,根据球形电容器的电容公式,可得6 15两线输电线,其导线半径为3.26mm,两线中心相距0.50m,导线位于地面上空很高处,因而大地影响可以忽略求输电线单位长度的电容解由教材第六章64节例3可知两输电线的电势差因此,输电线单位长度的电容代入数据 6 16电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片,金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙,构成一小电容器如图.当按下按键时电容发生

48、变化,通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0mm2,两金属片之间的距离是0.600mm.如果电路能检测出的电容变化量是0.250pF,试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？分析按下按键时两金属片之间的距离变小,电容增大,由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：解按下按键时电容的变化量为按键按下的最小距离为6 17盖革米勒管可用来测量电离辐射该管的基本结构如图所示,一半径为R1的长直导线作为一个电极,半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极它们之间充以相对电容率1的气体当电离粒子通过气体时,能使其电离若两极间有电势差时,极间有电流,从而可测出电离粒子的

49、数量如以E1表示半径为R1的长直导线附近的电场强度1求两极间电势差的关系式；2若E12.0106Vm1,R10.30mm,R220.0mm,两极间的电势差为多少？分析两极间的电场可以近似认为是无限长同轴带电圆柱体间的电场,由于电荷在圆柱面上均匀分布,电场分布为轴对称由高斯定理不难求得两极间的电场强度,并利用电场强度与电势差的积分关系求出两极间的电势差解1由上述分析,利用高斯定理可得,则两极间的电场强度导线表面rR1的电场强度两极间的电势差2当,R10.30mm,R220.0mm时,6 18一片二氧化钛晶片,其面积为1.0cm2,厚度为0.10mm把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.1求电容

50、器的电容；2当在电容器的两极间加上12V电压时,极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？3求电容器内的电场强度解1查表可知二氧化钛的相对电容率r173,故充满此介质的平板电容器的电容2电容器加上U12V的电压时,极板上的电荷极板上自由电荷面密度为晶片表面极化电荷密度3晶片内的电场强度为6 19如图所示,半径R0.10m的导体球带有电荷Q1.010C,导体外有两层均匀介质,一层介质的r5.0,厚度d0.10m,另一层介质为空气,充满其余空间求：1离球心为r5cm、15cm、25cm处的D和E；2离球心为r5cm、15cm、25cm处的V；3极化电荷面密度分析带电球上的自由电荷

51、均匀分布在导体球表面,电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上,因而介质中的电场是球对称分布的任取同心球面为高斯面,电位移矢量D的通量与自由电荷分布有关,因此,在高斯面上D呈均匀对称分布,由高斯定理可得Dr再由可得Er介质内电势的分布,可由电势和电场强度的积分关系求得,或者由电势叠加原理求得极化电荷分布在均匀介质的表面,其极化电荷面密度解1取半径为r的同心球面为高斯面,由高斯定理得rR；RrRd；rRd；将不同的r值代入上述关系式,可得r5cm、15cm和25cm时的电位移和电场强度的大小,其方向均沿径向朝外r15cm,该点在导体球内,则；r215cm,该点在介质层内,5.0,则；r325

52、cm,该点在空气层内,空气中0,则；2取无穷远处电势为零,由电势与电场强度的积分关系得r325cm,r215cm,r15cm,3均匀介质的极化电荷分布在介质界面上,因空气的电容率0,极化电荷可忽略故在介质外表面；在介质内表面：介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同,但是两表面极化电荷的总量还是等量异号6 20人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2109m,两表面所带面电荷密度为5.2103Cm2,内表面为正电荷如果细胞壁物质的相对电容率为6.0,求1细胞壁内的电场强度；2细胞壁两表面间的电势差解1细胞壁内的电场强度；方向指向细胞外2细胞壁两表面间的电势差621一平板电

53、容器,充电后极板上电荷面密度为04.510-5C m-2现将两极板与电源断开,然后再把相对电容率为2.0的电介质插入两极板之间此时电介质中的D、E和P各为多少？分析平板电容器极板上自由电荷均匀分布,电场强度和电位移矢量都是常矢量充电后断开电源,在介质插入前后,导体板上自由电荷保持不变取图所示的圆柱面为高斯面,由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D,再根据,可求得电场强度E 和电极化强度矢量P解由分析可知,介质中的电位移矢量的大小介质中的电场强度和极化强度的大小分别为D、P、E方向相同,均由正极板指向负极板图中垂直向下6 22在一半径为R1的长直导线外,套有氯丁橡胶绝缘护套,护套外半径为R2,相对

54、电容率为设沿轴线单位长度上,导线的电荷密度为试求介质层内的D、E和P分析将长直带电导线视作无限长,自由电荷均匀分布在导线表面在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷,这些电荷在内外表面呈均匀分布,所以电场是轴对称分布取同轴柱面为高斯面,由介质中的高斯定理可得电位移矢量D的分布在介质中,可进一步求得电场强度E 和电极化强度矢量P的分布解由介质中的高斯定理,有得在均匀各向同性介质中6 23如图所示,球形电极浮在相对电容率为r3.0的油槽中.球的一半浸没在油中,另一半在空气中.已知电极所带净电荷Q02.0106C.问球的上、下部分各有多少电荷？分析由于导体球一半浸在油中,电荷在导体球上已不再是均匀分

55、布,电场分布不再呈球对称,因此,不能简单地由高斯定理求电场和电荷的分布我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器,静电平衡时导体球上的电荷分布使导体成为等势体,故可将导体球等效为两个半球电容并联,其相对无限远处的电势均为V,且1另外导体球上的电荷总量保持不变,应有2因而可解得Q1、Q2解将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器,上半球在空气中,电容为下半球在油中,电容为由分析中式1和式2可解得由于导体球周围部分区域充满介质,球上电荷均匀分布的状态将改变可以证明,此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足的关系事实上,只有当电介质均匀充满整个电场,并且自

56、由电荷分布不变时,才满足6 24有两块相距为0.50的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒内,金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25mm,金属板面积为30mm40mm.求1被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；2若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰,问此时的电容又为原来的几倍？分析薄金属板A、B与金属盒一起构成三个电容器,其等效电路图如图所示,由于两导体间距离较小,电容器可视为平板电容器,通过分析等效电路图可以求得A、B间的电容.解1由等效电路图可知由于电容器可以视作平板电容器,且,故,因此A、B间的总电容2若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰,相当于C2或者C3极板短接,其

57、电容为零,则总电容6 25在A 点和B 点之间有5个电容器,其连接如图所示1求A、B 两点之间的等效电容；2若A、B 之间的电势差为12V,求UAC、UCD和UDB解1由电容器的串、并联,有求得等效电容CAB4F2由于,得6 26有一个空气平板电容器,极板面积为S,间距为d现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电,当1充足电后；2然后平行插入一块面积相同、厚度为d、相对电容率为的电介质板；3将上述电介质换为同样大小的导体板分别求电容器的电容C,极板上的电荷Q和极板间的电场强度E分析电源对电容器充电,电容器极板间的电势差等于电源端电压U插入电介质后,由于介质界面出现极化电荷,极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反,介质内的电场减弱由于极板间的距离d不变,因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷,以维持电势差不变,并有相类似的原因,在平板电容器极板之间,若平行地插入一块导体板,由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消,与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷,使间隙中的电场E增强,以维持两极板间的电势差不变,并有综上所述,接上电源的平板电容器,插入介质或导体后,极板上的自由电荷均会增加,而电势差保持不变解1空气平板电容器的电容充电后,极板上的电荷和极板间的电场强度为2插入电介