高中数学知识要点重温（2）函数的概念、图象与性质知识点分析

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1、高中知识要点重温（2）函数的概念、图象、性质1.一条曲线是函数图象的必要条件是：图象与平行于y轴的直线至多只有一个交点。一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域须一一对应，反应在图象上平行于X轴的直线与图象至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗？（是的,任何函数在它的一个单调区间内总有反函数）；举例函数f(x)=x2-tx+2在1,2上有反函数，则t的一切可取值的范围是_解析：对于“连续”函数而言，函数有反函数即单调；f(x)=x2-tx+2在1,2上单调即区间 1,2在对称轴x=的一侧，2或1，即t2或t4。2.求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，即要求出原函数的值域。求反函数的表

2、达式的过程就是解（关于x的）方程的过程。注意：x=f-1(y)一定是唯一的。 举例 函数的反函数为（A） （B）（C） （D）解析：，=1+1（关注分离常数），（0，+）又由得=，不难解出，互换后得（互换是“全面”的，表达式上换，定义域、值域也要换）故选B。3.原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图象关于y=x对称；若函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，aA,bC,f f-1(b)=b; f-1f(a)=a 举例1 已知函数的反函数的图象的对称中心是（0，2），则a=_ 解析：原函数是有反比例函数（奇函数）平移而来，其图象关于（a,0）对称，它的反函

3、数的图象应关于（0，a）对称，即a=2举例2已知f(x)=x2+2x+3,(x-1),则f-1(3)= 。解析：此题不宜求反函数（麻烦），注意到3是反函数y=f-1(x)的自变量，就是原函数y=f(x)的函数值，令x2+2x+3=3，得x=0或x=-2,又 x-1，x=0，此即反函数的函数值f-1(3)（原函数的自变量）。迁移已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x-,x,求f-1(1)的值。4.奇函数对定义域内的任意x满足f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的任意x满足f(-x)-f(x)=0;注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于 x的恒等式而不是方程。若函数f(x)是

4、奇函数或偶函数，则f(x)定义域必关于原点对称；反之，函数定义域不关于原点对称，该函数既非奇函数也非偶函数。若f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)=0；反之不然。举例函数f(x)= loga|x-b|是偶函数的充要条件为 解析：思路一：函数f(x)=loga|x-b|是由偶函数y=loga|x|平移所得，函数f(x)=loga|x-b|的图象关于直线x=b对称，而它自身又是偶函数，图象又关于y轴(x=0)对称，b=0。思路二：f(x)=loga|x-b|是偶函数则loga|-x-b|= loga|x-b|恒成立,即|x+b|=|x-b|恒成立，b=0。巩固 设f(x)=lg(10x+1)

5、+ax是偶函数,g(x)=是奇函数,那么a+b的值为（ ） A.1 B.-1 C.- D. 5. 偶函数图象关于y轴对称，推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=f(a+x) 函数f(x)的图象关于x=a对称，再推广： 函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a+x)=f(b-x)，f(x)的图象关于x=对称。奇函数图象关于原点对称,关推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=-f(a+x) 函数f(x)的图象关于（a,0）对称。注意：两个函数图象之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称曲线是函数y=f(2a-x)的图象，函数y

6、=f(x)的图象关于点（ a ，0）的对称曲线是函数y=-f(2a-x)的图象。，举例1 若函数y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x)的图象关于 对称解析：思路一：y=f(x-1)是偶函数，其图象关于y轴对称，向左平移1个单位后得到函数y=f(x)的图象，对称轴也随之平移至x=-1，即函数y=f(x)的图象关于x=-1对称；思路二：y=f(x-1)是偶函数，则有f(-x-1)=f(x-1),由轴对称的等价定义知函数y=f(x)的图象关于x=-1对称。举例2若函数f(x)=(x-a)3满足f(1+x)=-f(1-x),则f(2)= .解析：由f(1+x)=-f(1-x)知，函数y=f(x)的图

7、象关于（1，0）对称，事实上函数f(x)=(x-a)3的图象关于（a，0）对称，a=1，于是f(x)=(x-1)3，f(2)=1。巩固函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象A.关于y轴对称 B.关于直线x=a对称C.关于点M（a，0）对称 D. 关于点M（-a，0）对称6. 若函数f(x)满足：f(x+a)= f(x-a), 则f(x)是以2a为周期的函数。注意：不要和对称性相混淆。若函数f(x)满足：f(a+x)=-f(x)(a0)，则f(x)是以2a为周期的函数。类似的条件还有等。举例已知函数满足，且当时，则与的图象的交点个数为 （ ） 来源:K A、2 B、3 C、4 D、5y

8、xO1-115解析：由知函数的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1;当x5时，f(x)=10，1，log5x1, 与的图象不再有交点，故选C。巩固设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x0,1时，f(x)=2x-1,则f()= .7.判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数单调性的“同增异减”法则），研究三次或三次以上的多项式函数的单调性多用导数；证明函数单调性只能用定义或导数，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解。记住并会证明：函数的单调性。了解单调性定义的变形：对区间a,b内

9、的任意x,y都有，则函数f(x)在a,b递增（小于0则递减）。举例1证明函数在（0，上递减，在，）上递增。解析：记=，思路一：用定义证明，任取0,)=-+-=(-)(1-),01,来源:高考资源网ZXXK(-)(1-)0,即),函数在（0，上递减.在，）上递增的证明留给读者自己完成。思路二：用导数，=1-，若（0，则1，=1-0，函数在（0，上递减.举例2函数在区间（0，3）上单调递减，则a的取值范围为Aa10 B1a10 Ca4 D1a0)个单位，则方程（表达式）中的y(x)应变为y-m(x-m); 曲线（函数图象）横（纵）坐标变为原来的n倍，则方程（表达式）中的x(y)应变为 ()。对称（

10、翻折）变换，如函数y=f(-x)的图象是由y=f(x)的图象沿y轴翻折得到，y=-f(x)的图象是由y=f(x)的图象沿x轴翻折得到, y=|f(x)| 的图象是由y=f(x)的图象保留x轴上方的部分并翻折x轴下方的部分得到，y=f(|x|)是由y=f(x)的图象保留y轴右侧的部分，擦去左侧部分并将右侧的部分沿y轴翻折得到。记住两个函数图象：y=|x-a|的图象是“V字形”，“尖顶”是（a,0）；的图象是由一个反比例函数平移（分离常数）而来。 举例奇函数y=f(x) (x0 ) ,当x(0,+)时，f (x)=x1，则函数f(x-1)的图象是（）XYOXY11XY1XOY112OO1ABCD解析：函数y=f(x)的图象为C图，将y=f(x)的图象向右平移1个单位即得到函数f(x-1)的图象，故选D。巩固 函数f(x)=sin2x+2cos2x的图象向右平移m个单位后为偶函数，则最小正数m的值为_ 迁移使得函数y=x2+a|x|有四个单调区间的a的取值范围 。简答4. 巩固D； 5. 巩固A，6. 巩固， 7. 迁移，当ab时在（）上递减，-1，即ab1; 若变为“闭”则ab1；8. 巩固 ，迁移满足条件的函数图象在y轴的右侧要“拐弯”，即对称轴在y轴的右侧，a0