高中数学复习专题讲座(第27讲)关于垂直与平行的问题

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1、题目 高中数学复习专题讲座关于垂直与平行的问题高考要求 垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题 重难点归纳 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 线线平行线面平行面面平行 2 垂直转化 线线垂直线面垂直面面垂直 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 例如 有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 典型题例示范讲解 例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平

2、面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求证 MN平面BCE 命题意图 本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识 知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)线(外)线(外)面 或转化为证两个平面平行 错解分析 证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键 技巧与方法 证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行 证法一 作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，则MPAB，NQAB MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMC

3、PRtNBQMP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE 证法二 如图过M作MHAB于H，则MHBC，连结NH，由BF=AC，FN=AM，得 NH/AF/BE由MH/BC, NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE 例2在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC (1)若D是BC的中点，求证 ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理

4、由 命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质 知识依托 线面垂直、面面垂直的判定与性质 错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线 (1)证明 AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1 (2)证明 延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C

5、1C截面MBC1侧面BB1C1C (3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性 过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AM，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=AA1，AM=MA1 例3 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直 (1)求证 AB1C1D1；(2)求证 AB1面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1

6、CD所成的角 (1)证明 A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，C1D1A1B1于D1，又平面A1ABB1平面A1B1C1，C1D1平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，AB1C1D1 (2)证明 连结D1D，D是AB中点，DD1CC1，C1D1CD，由(1)得CDAB1，又C1D1平面A1ABB1，C1BAB1，由三垂线定理得BD1AB1，又A1DD1B，AB1A1D而CDA1D=D，AB1平面A1CD (3)解 由(2)AB1平面A1CD于O，连结CO1得ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，AB1=3，AC=A1C1=2，AO=1，sinOCA=，OCA= 学生巩固练习 1

7、在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )A B C D 2 在直二面角l中，直线a,直线b,a、b与l斜交，则( )A a不和b垂直，但可能abB a可能和b垂直，也可能abC a不和b垂直，a也不和b平行D a不和b平行，但可能ab3 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZXY”为真命题的是_(填序号) X、Y、Z是直线 X、Y是直线，Z是平面 Z是直线，X、Y是平面 X、Y、Z是平面4 设a,b是异面直线，下列命题正确的是_ 过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交过不在a、b上的一

8、点P一定可以作一个平面和a、b都垂直过a一定可以作一个平面与b垂直过a一定可以作一个平面与b平行5 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 (1)求证 CDPD;(2)求证 EF平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？6 如图，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H (1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由 (2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明 7 如图，正三棱柱ABCA1B1

9、C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BFFC=13 (1)若M为AB中点，求证 BB1平面EFM；(2)求证 EFBC；(3)求二面角A1B1DC1的大小 8 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60, (1)证明 C1CBD；(2)假定CD=2，CC1=，记面C1BD为,面CBD为,求二面角BD的平面角的余弦值；(3)当的值为多少时，可使A1C面C1BD？参考答案 1 解析 如图，设A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1AB1D1，交线为AO1，在

10、面AA1O1内过A1作A1HAO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1,可得A1H= 答案 C2 解析 如图，在l上任取一点P，过P分别在、内作aa,bb,在a上任取一点A，过A作ACl，垂足为C，则AC,过C作CBb交b于B，连AB，由三垂线定理知ABb，APB为直角三角形,故APB为锐角 答案 C3 解析 是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例 答案 4 5 证明 (1)PA底面ABCD，AD是PD在平面ABCD内的射影

11、，CD平面ABCD且CDAD，CDPD (2)取CD中点G，连EG、FG，E、F分别是AB、PC的中点，EGAD，FGPD平面EFG平面PAD，故EF平面PAD(3）解 当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF面PCD证明 G为CD中点，则EGCD,由(1)知FGCD，故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP由RtPAERtCBE,得PE=CE又F是PC的中点，EFPC，由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF即EFCD，故EF平面PCD 6 (1)证明 AD/面EFGH,面ACD面EFGHHG，,AD面ACD AD/H

12、G.同理EFFG，EFGH是平行四边形ABCD是正三棱锥，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四边形EFGH是矩形 (2)作CPAD于P点，连结BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH 面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=a,AP=a 7 (1)证明 连结EM、MF，M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM (2)证明 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 ANBC，又BFFC=13，F是BN的中点，故MFAN，MFBC，而BCBB1，BB1ME MEBC，由于MFME

13、=M，BC平面EFM，又EF平面EFM，BCEF (3)解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1QB1D，故A1QD为二面角A1B1DC的平面角，易得A1QO=arctan 8 (1)证明 连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD又BCC1=DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1B=C1DDO=OB，C1OBD，但ACBD，ACC1O=OBD平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD (2)解 由(1)知ACBD，C1OBD，C1OC是二面角BD的平面角 在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60，C1B2=22+()222cos60= OCB=30,OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C 作C1HOC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，cosC1OC=(3)解 由(1)知BD平面AC1，A1O平面AC1，BDA1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面C1BD 课前后备注