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1、函数的奇偶性 例题解析1、已知函数f（x）（a，b，cZ）是奇函数，又f（1）2，f（2）3（1）求a，b，c的值；（2）判断f（x）在（，0）上的单调性解：（1）函数f（x）（a，b，cZ）是奇函数，f（x）f（x）故：，即bxcbxcc0f（x）又f（1）2，故2而f（2）3，即3，即3，1a2又由于aZ，a0或a1当a0时，b专（舍）；当a1时，b1综上可知，ab1，c0（2）f（x）x设x1、x2是（，0）上的任意两个实数，且x1x2，则f（x1）f（x2）x1（x2）x1x2（）x1x2（x1x2）当x1x21时，x1x21，x1x210，从而f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（
2、x2）所以函数f（x）在上为增函数当1x1x20时，0x1x21，x1x210，从而f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以函数f（x）在上0为减函数2、判断下列函数是否具有奇偶性（1）f（x）x3；（2）f（x）2x43x2；（3）f（x）x3；（4）f（x）x1通过这四个小题的解答，仔细观察分析，不难发现如下结论：在公共定义域内，（1）两个偶函数之和为偶函数；两个偶函数之积为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数事实上，以上三个结论是正确的，下面以结论（3）为例证明证明：设函数f（x）为奇函数，它的定义域为A，函数g（x）为偶函数，它的定义域为B，两个函数的公共定义域为C，记F（x）f（x）g（x）设xC，f（x）f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）所以函数F（x）为奇函数，利用上述结论，我们可以解决一些问题，看下面的例子：f（x）（1）f（x）（x0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（）A是奇函数B是偶函数C可能是奇函数，也可能是偶函数D不是奇函数，也不是偶函数分析：g（x）1，g（x），f（x）是奇函数又f（x）不恒等于零，f（x）为偶函数，由上面结论（2）知应选A
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