2022高中数学竞赛资料数论部分

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1、初等数论简介绪言：在多种数学竞赛中大量浮现数论题，题目内容几乎波及到初等数论所有专项。1 请看下面例子：（1） 证明：对于同样整数x和y，体现式2x+3y和9x+5y能同步被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)（2） 设，证明是168倍数。 具有什么性质自然数，能使能整除？（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3） 证明：对于任何正整数都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数，分数不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令和分别体现正整数最大公因数和最小公倍数，试证：（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一

2、题）这些例子阐明历来数论题在命题者心目中首当其冲。2.再看如下记录数字：（1）世界上历史最悠久匈牙利数学竞赛，从18941974年222个试题中，数论题有41题，占。（2）世界上规模最大、规格最高IMO（国际数学奥林匹克竞赛）前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。这阐明：数论题在命题者心目中总是占有一定分量。如果将有一定“数论味”计数型题目记录在内，那么比例还会高诸多。3.请看近年来国内外重大竞赛中浮现数论题：(1)方程整数解个数是（ ）A、0 B、1 C、3 D、无穷多 （全国初中联赛5）（2）已知都是正整数，试问有关方程与否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给

3、出证明。 （全国初中联赛12）（3）与否存在正整数，使得？ 设是给定正整数，与否存在正整数，使得？ （全国初中联赛14）（4）有关方程整数解得组数为（ ）A、2 B、3 C、4 D、无穷多 （全国初中联赛5）（5）已知是满足条件五个不同整数，若是有关方程整数根，则值为 （全国初中联赛8） （6）已知正整数满足，且，求满足条件所有也许正整数和。 （全国初中联赛12）（7）个正整数满足如下条件：；且中任意个不同数算术平均数都是正数，求最大值。 （全国初中联赛14）(8)在一列数中，已知，且当时，（取整符号体现不超过实数a最大整数，例如）则等于（ ）A、 1 B 、 2 C、 3 D、 4 （全国初

4、中联赛4）（9）求满足所有素数P和正整数m。 （全国初中联赛13）（10）从这个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出数中任意三个数之和都能被33整除？ （全国初中联赛14）（11）设四位数满足，则这样四位数个数为 （全国初中联赛10）（12）已知有关一元二次方程两个整数根正好比方程两个根都大1，求a+b+c值 （全国初中联赛11）（13）若从中任取5个两两互素不同整数其中总有一种整数是素数，求n最大值。 （全国初中联赛13）（14）把能体现到两个正整数平方差这种正整数，从小到大排成一列：，例如，那么= （福建省高一数学竞赛12）（15）求最小正整数n，使得集合每一种n元子集中均有2个元素

5、（可以相似），它们和是2幂。 （福建省高一数学竞赛14）（16）两条直角边长分别是整数a和b(其中b1）是素数（N*1）定理二：素数有无限多种。定理三：若N*是合数，P（P1）是N*最小正因数，则以上例子和定理分别刻画了素数某些分布特性和判断素数措施。定理四：若，P是素数，则P整除某个定理五：（唯一分解定理）每个不不不小于1整数，都可唯一地分解成素因数（不计因数顺序）积。推论：任一不不不小于1整数可以唯一分解成这里是相异素数，是正整数。有时为了表述以便，容许，上式称为原则分解式。例2、设是素数，求证：是2非负整多次幂。定理六：若得原则分解式为，则，。这里， ，、例3、求证定理七：若原则分解式为

6、，则一切正因数个数，一切正因数和为。例4、证明形如素数有无限个。哥德巴赫于1742年在和欧拉通信中提出猜想：1 每个不不不小于5偶数都是两个奇素数之和2 每个不不不小于8奇数都是三个奇素数之和1973年5月中华人民共和国科学杂志刊出陈景润研究G氐猜想成果：“任一充足大偶数是一种素数和另一种素数和，后者或为素数，或仅另两个素数乘积。”此定理被简称为“1+2”固然离“1+1”尚有一段距离，但是这已经是当今最优成果了。习题：1、 设是异于3奇素数，求证2、 设是素数，且，求证3、 设整数都不不不小于1，证明4、 求证：5、 设都是不不不小于1，是素数，求证：，且是素数6、 从1到100这100个自然

7、数中，任意选出51个数，求证其中至少有两个数，它们中一种是另一种倍数。7、 设，证明8、 证明：形如素数有无限多种。9、 设，证明：在与之间至少有一种素数。10、设是体现由小到大排列第个素数，证明同余定义 给定正整数m，如果用它除任意两个整数a,b，所得余数相似，就说a,b对于模m同余，记作。若所得余数不同，就说a,b对于模m不同余，记作。定理与性质 例1 正整数a能被9整除充要条件是a各个数码之和能被9整除。例2 设，求证：。例3 求正整数a能被7正处充要条件。例4 设各个数码之和为a，a各个数码之和为b，求b各个数码之和为c。例5 一环形公路上有几种汽车站，海拔高度只有5米和10米两种，若

8、相邻两站海拔高度相等，则称连接它们公路是水平；如果两相邻汽车站海拔高度不等，则称相连公路是有坡。有一旅行者坐汽车环行东路一周，发现水平公路段数与有坡公路段数相等，求证4整除n 。例6 设，问：如何n使得。例7 求证：任何整数都不能满足方程。习题1. 设，求证：。2. 设，求证：。3. 设ABCDE是按逆时针方向排列五角棋盘，从A沿逆时针方向移动棋子，第K次移动K步，证明无论移动多少次，C、E处永远不也许停留棋子。4. 设，P是素数，求证。5. 证明。6. 设，求证。7. 已知，求证n不能表为3个立方数和。8. 已知，求证n不能表为3个平方数和。9求出一种整数能被101（或37）整除充要条件。1

9、0求下列各数末两位数：和。11记，且，求a。12已知，求a、b、c。补充题：1. （1）有几种住鞥书，其积为n，其和为零。求证4 | n 。（2）设4 | n，求证：可以找出几种整数，使其积为n，其和为零。（十八届全苏中学生竞赛）2. 设a，b，c是三个互不相等正整数，求证：在，三个数中，至少有一种数能被10整除。（86. 全国初中联赛，二试，四）3. 把19,20，79,80诸数连写成数A=197980，试证1980 | A。（全苏14届 1980.8.1）4. 试求所有能被11整除三位数，且除得之商等于被除数中各数字平方和。（二届IMO 1960）不定方程若方程或方程组中未知数个数多于方程

10、个数，它们解又限制为正整数、整数、有理数或其她类别数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程常联系到某些有趣问题。竞赛中也时有所见。例1 在等式中还原数学x，y，z。（1987年全俄中学生竞赛题）例2 解方程。（1978年广东省中学数学竞赛题）例3 求方程满足条件：整数解。（1979年湖南省中学数学竞赛题）数论函数定义1 设x为任一实数，体现不超过x最大整数。函数称数论函数，也称高斯函数、阶梯函数等。数论问题是竞赛中热门课题，而则是热门中热门。由定义，显然有；。定义2 称为x小数某些，显然。例1 计算。例2 求。例3 解方程。例4 已知方程，求所有根和。（1987年初中联考）习题1. 。2.

11、。3. 。（英斯科第20届奥林匹克数学竞赛题）有时也常令通过对讨论来解题。例5 方程实数解个数是（ ）。（1985美国数学竞赛题）(A) 0 ;(B) 1 ;(C) 2 ;(D) 3 ;(E) 4 .例6 记体现不超过x最大整数，设n是自然数，且，那么（ ）。（1986年全国初中联考）（A）I 0 ；（B）I N ； (B) M=N ； (C) MN ； (D) 以上答案都不对2设，那么值是 3 找出一种实数x，满足； 证明，满足上述等式x都不是有理数。4 设，计算和。（1968第十届IMO）5 设a ，b为互素正整数，求证：。6 求所有自然数n ，使得，这里体现不超过最大整数，N是自然数集。

12、（1991年中华人民共和国数学奥林匹克）不定方程 若方程或方程组中未知数个数多于方程个数，它们解又限制为正整数、整数、有理数或其她类别数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程联系到某些有趣问题。竞赛中也时有所见。例1在等式中还原数字x,y,z.(1987全俄中学生竞赛题)例2解方程：例3求方程满足条件：整数解。（1979年湖南省中学数学竞赛题）线性不定方程 定理1 设，则线性不定方程有整数解充要条件是。在有整数解情形下，如果，是一组整数解，那么该方程一切整数解（简称通解）可以写成例 4 求方程整数解。例5 今有物，不知其数（百个如下）。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何

13、？（该题目出自16前孙子算经） “韩信点兵”或“秦王暗点兵”歌诀：“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。”注：该诀出自宋朝周密，“上元”指15，“寒食清明”指105，每年冬至至次年清明正好105天。“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”注：该诀出自明朝程大位算法统宗。定理2 勾股不定方程满足，一切整数解可体现为，这里，中一种为奇数，另一种为偶数。例6 设，证明方程有正整数解。例7 证明不定方程没有正整数解。费马猜想：整数时，方程 无正整数解是数论中一种出名难题。1760年欧拉证明了n = 3 情形。1828年勒让德余狄里赫勒各自证明了n

14、 = 5情形。1840年拉梅证明n = 7情形。库莫尔于1844年首创“抱负数论”，并运用这个工具一举证明了n是不不小于100奇素数但除去n=37,59,67情形.1892年米利曼诺夫证明了n=37情形。1978瓦格斯塔夫借助大型电子计算机证明了2 n 125000情形。29岁讲师又对此做出了重大发展，然而至今还无法宣布此猜想是一条定理。例8 拟定（并加以证明）方程所有整数解。（1976年美国竞赛题）例9 证明方程只有唯一有理数解。例10 正整数与使得整除。求证是某个正整数平方。（1988年第29届IMO）习题1. 不定方程与否有整数解？2. 方程有多少组正整数解？3. 求方程整数解（）。4. 求方程整数解。