高中数学 （2.2 函数模型的应用举例 第2课时）示范教案 新人教A版必修1

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1、第2课时 函数模型的应用举例导入新课思路1.(事例导入)一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v0,加速度为a,那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v0+at,s=v0t+at2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型.不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例.思路2.(直接导入)前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.推进新课新知探究提出问题我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前

2、8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长.已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.441画出20002020年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之.22020年(即x7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量应该约为多少？什么是函数拟合？总结建立函数模型解决实际问题的基本过程.讨论结果：1如图3-2-2-5，设f(x)axb,代入（1，4）、（3，7）,得解得a=，b=.f(x)=x+.检验：f

3、(2)5.5，|5.58-5.5|=0.080.1；f(4)8.5，|8.44-8.5|=0.061.2,所以这个男生偏胖.图3-2-2-7 图3-2-2-8变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=abx+c（其中a、b、c为常数），且又知1994年大气

4、中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：(1)若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数，则依题意得解得所以f(x)=x2+x.(2)若以g(x)=abx+c作模拟函数，则解得所以g(x)=()x-3.(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位，|f(5)16|g(5)16|,故选f(x)=x2+x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.思路2例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量

5、为1206t吨,其中0t24.(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题.解：设供水t小时，水池中存水y吨，则(1)y=400+60t-120=60()2+40(1t24),当t=6时，ymin=40(吨),故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨.(2)依条件知60()2+4080,1t24,解得t,=8.故一天24小时内有8小

6、时出现供水紧张.例22020泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x（0x1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价一成本）日销售量，且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y与x的关系式；(2)为使日利润有所增加，求x的取值范围.解：(1)由题意得y=60(1+0.5x)-40(1+x)1 000(1+0.8x)=2 000(-4x2+3x+10)(0x1).(2)要保证日利润有所

7、增加，当且仅当即解得0x.所以为保证日利润有所增加，x应满足0x.点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体.知能训练2020广东韶关统考，文18某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.解：(1)设该厂应隔x(xN*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1，

8、饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.03=6（元）.x天饲料的保管与其他费用共有6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(元).从而有y1=(3x2-3x+300)+2001.8=+3x+357,可以证明y1=+3x+357,在（0，10）上为减函数，在（10，+）上为增函数.当x=10时，y1有最小值417,即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2=(3x2-3x+300)+2001.80.85=+3x+303(x25).函

9、数y2在25,+）上是增函数,当x=25时，y2取得最小值为390.而3900，二次函数f(a)图象开口方向向上,当a=(a1+a2+an)时，y有最小值,所以a=(a1+a2+an)即为所求.点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-a1)2+(a-a2)2+(a-an)2,然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.课堂小结1.巩固函数模型的应用.2.初步掌握

10、函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题.作业课本P107习题3.2B组1、2.设计感想本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；课本的例3是函数模型的应用，例4是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.习题详解(课本第98页练习)1.y2.2.设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染,第2轮,第3轮,依次有a2台,a3台,被感染,依题意有a5=10204=160.答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.(课本第101页练习)三个函数图象如下:图3

11、-2-2-9由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以稳定的速度增加.(课本第104页练习)1.(1)已知人口模型为y=y0ert,其中y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y=5e0.003t.当y=10时,解得t231.所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍.同理,可知2020年世界人口数约为1970年的2倍.(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.2.由题意有75t-4.9t2=100,解得t=,即t11.480,t213.827.所以,

12、子弹保持在100 m以上的时间t=t2-t112.35,在此过程中,子弹最大速率v1=v0-9.8t=75-9.81.480=60.498 m/s.答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒,在此过程中,子弹速率的范围是v(0,60.498).(课本第106页练习)1.(1)由题意可得y1=150+0.25x,y2=+0.25,y3=0.35x,y4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150.(2)画出y4=0.1x-150的图象如下.图3-2-2-10由图象可知,当x1500件时,公司赢利.2.(1)列表.(2)画散点图.图3-2-2-113.确定函数模型.甲:y1=-x

13、2+12x+41,乙:y2=-52.070.778x+92.5.(4)做出函数图象进行比较.图3-2-2-12图3-2-2-13图3-2-2-14计算x=6时,y1=77,y2=80.9.可见,乙选择的模型较好.(课本第107页习题3.2)A组1.(1)列表.(2)描点.图3-2-2-15(3)根据点的分布特征,可以考虑以d=kf+b作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据(1,14.2)、(4,57.5),有解得所以d=14.4f-0.2.将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以发现,这个函数模型与已知数据拟合程度较好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系.图3-2-2-162.由=(60

14、)2a,得a=.由=x2,得x=3010.因为3010100,所以这辆车没有超速.3.(1)x=(2)v=图略.4.设水池总造价为y元,水池长度为x m,则y=(12x+)95+135,画出函数y1=(12x+)95+135和函数y2=7的图象.图3-2-2-17由图可知,若y17,则x应介于x1,x2之间,x1,x2即为方程(12x+)95+135=70 000的两个根.解得x16.4,x231.3.答:水池的长与宽应该控制在6.4,31.3之间.5.将x=0,y=1.01105和x=2400,y=0.90105分别代入y=cekx,得到解得c=所以y=1.01105ex.当x=5596m时

15、,y=0.772105(Pa)0.775105(Pa).答:这位游客的决定是冒险的决定.6.由5002500()t1500,解得2.3t7.2.答:应该在用药2.3小时后及7.2小时以前补充药.B组1.(1)利用计算器画出19902000年国内生产总值的图象如下.图3-2-2-18(2)根据以上图象的特征,可考虑用函数y=kx+b刻画国民生产总值发展变化的趋势.取(1994,46670)(1998,76967.1)两组数据代入上式,得解得这样,我们就得到了函数模型y=7574.275x-15056434.35.作出上述函数图象如下.图3-2-2-19根据上述函数图象,我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映国民生产总值的发展变化.(3)以x=2 004代入以上模型可得y=122 412.75亿元,由此可预测2020年的国民生产总值约为122 412.75亿元.2.(1)点A,B的实际意义为当乘客量为0时,亏损1(单位);当乘客量为1.5单位时,收支持平;射线AB上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损,当乘客量大于1.5时公司将赢利.(2)图2的建议是:降低成本而保持票价不变;图3的建议是:提高票价而保持成本不变.