重庆市西南大学附属中学2020届校2020届高三数学上学期第三次月考试卷 理（含解析）

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1、2020届重庆市西南大学附属中学校高三上学期第三次月考数学（理）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1复数的共轭复数在复平面中对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第

2、四象限2抛物线的焦点坐标为A B C D3过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则A5 B6 C8 D104抛物线的焦点到双曲线其中一条渐近线的距离为A B1 C D25若实数满足约束条件，则的最大值是A3 B7 C5 D16在等差数列中，则A4 B5 C6 D77偶函数在上是增函数，且，则满足的实数的取值范围是A B C D8若，则的取值范围为A B C D9已知函数(，e是自然对数的底数)在处取得极小值，则的极大值是A B C D10如图，在直角梯形中，为边上一点，为的中点，则A BC D11过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点若线段的中点为，为坐标原点，则与的大小

3、关系是A BC D无法确定12已知函数，函数零点的个数为A3 B4 C1 D2二、填空题13，若，则_14已知，则_15已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为_16已知函数在上没有最小值，则的取值范围是_三、解答题17在中，内角的对边分别为，已知(1)求角；(2)若，求的最小值18已知圆(1)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为为坐标原点，满足，求点的轨迹方程及的最小值19设数列的前项和为，且成等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)若，当时，

4、求20已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标21已知函数；(1)当时，使成立，求的取值范围；(2)令，证明：对，恒有22已知直线的参数方程为（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.23已知函数(1)若的最小值为4，求的值；(2)当时，恒成立，求的取值范围2020届重庆市西南大学附属中学校高三上学期第三次月考数学（理）试题数学 答 案参考答案1D【解析】【分析】由已知z直接求，求得坐标得答案

5、【详解】z=1+2i，=12i复数在复平面内对应的点的坐标为（1，-2），位于第四象限故选：D【点睛】本题考查了复数的几何意义，是基础题2B【解析】【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标【详解】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：B【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键3C【解析】试题分析：根据抛物线中焦点弦长公式，可得，故选择C考点：抛物线焦点弦问题4C【解析】【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由

6、点到直线的距离公式计算即可得到所求【详解】抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2=1的一条渐近线为y=x，则焦点到渐近线的距离为d=故选：C【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键5B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【详解】作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得A（4，1），代入目标函数z=2x+y得z=241=

7、7即目标函数z=2x+y的最大值为7故选：B【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6C【解析】【分析】利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列an中，由与作和得：=（）+-（）a1+a9 =a2+a8，=6a5=6故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题7A【解析】【分析】由偶函数在上是增函数，可得函数在上是减函数，结合，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，由且满足，等价于，可得，实数的取值范围是,故选A.

8、【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8D【解析】【分析】已知,利用基本不等式求解，等号成立的条件是x=2y=-1【详解】由均值不等式，得（当且仅当x=2y=-1时等号成立）所以.故选D.【点睛】此题考查了由条件等式求取值范围问题，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法是中档题9A【解析】【分析】求出原函数的导函数f（x），

9、由f（0）=0解得m=0可得函数解析式，由导函数大于0和小于0得到原函数的单调区间，进而求得极大值.【详解】由题意知，f（x）=x2+（2m）x2mex，由f（0）=2m=0，解得m=0此时f（x）=x2ex，f（x）=（x2+2x）ex，令f（x）=0，解得x=0或x=-2，且函数f（x）的单调递增区间是（，2），（0，+），单调递减区间是（2，0）所以函数f（x）在x=-2处取得极大值，且有f（-2）=故选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题10B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=，=+

10、，=，=+（+）=+，故选：B【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11A【解析】【分析】将点P置于第一象限设F1是双曲线的右焦点，连接PF1由M、O分别为FP、FF1的中点，知|MO|=|PF1|由双曲线定义，知|PF|PF1|=2a，|FT|=b由此知|MO|MT|=（|PF1|PF|）+|FT|=ba【详解】将点P置于第一象限设F1是双曲线的右焦点，连接PF1M、O分别为FP、FF1的中点，|MO|=|PF1|又由双曲线定义得，|PF|PF1|=2a，|FT|=b故|MO|MT|=|PF1|MF|+|FT|=（|PF1|PF|

11、）+|FT|=ba故选：A【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化12C【解析】【分析】利用换元法：令,将复合函数拆解成与，利用解方程和函数图像求得.【详解】令，则，（1）当时，ln(t+1)=-1，即-1当时，ln(x+1)=-1有一个解. 因为在x0时的图象大致如图：x，无解.（2）当时，f（t）=,即-1,当时，故无解.当时，0f（x）,所以-1无解.综上，只有一个解.故选C.【点睛】本题考查复合函数零点问题，运用数形结合思想解决零点问题是常用方法.13【解析】【分析】根据即可得出y=-4，从而得出

12、【详解】；y=-4；故答案为【点睛】考查向量平行时坐标的关系，向量坐标的运算，属于基础题14【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.15【解析】过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的

13、定义可得：，则，设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，代入，可得，即，即，双曲线的实轴长为，双曲线的离心率为，故答案为.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，有一定的难度；过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，求出点坐标，利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率.16【解析】【分析】先求导，利用f（x）=0时，x=0或x=,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a的范围.【详解】f（x）=x3ax，f（

14、x）=3x22ax=x(3x-2a)，当f（x）=0时，x=0或x=,（1）当（，1时，即a时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f（x）取得最小值，所以舍去.（2）当-10时，f(x)在（-1，）单调递增，在（，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意在上没有最小值，则有（3）当a=0时，f(x)=在上显然没有最小值，故成立.（4）当0-1.故答案为.【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题17（1）（2）【解析】【分析】（）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值

15、（）利用余弦定理及基本不等式求得a的最小值【详解】解：(1) 中，由正弦定理知，(2) 由 (1)及得，所以当且仅当时取等号，所以的最小值为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题18（1）x2或3x4y60（2）2x4y30，【解析】【分析】（1）C：x2+y2+2x4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r分类讨论，利用C到l的距离为1，即可求直线l的方程；（2）设P（x，y）由切线的性质可得：CMPM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x4y+3=0的距离【详解】解

16、：(1) (1)x2y22x4y30可化为(x1)2(y2)22，当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，易求直线l与圆C的交点为A(2，1)，B(2，3)，|AB|2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x2)，即kxy2k0，则圆心C到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为3x4y60综上，直线l的方程为x2或3x4y60(2) 如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CMPM，所以PMC为直角三角形，所以|PM|2|PC|2|MC|2设P(x，y)，由(1)知C(1，2)，|MC|，因为|PM|PO|，所以(x1)2(y2)22x2y2，化简得点P的轨迹方程为2x4y30求|

17、PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到直线2x4y30的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为.【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19(1)；(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意有，分类讨论可得：当时，当时，整理可得，据此可得成等比数列，.(2)结合(1)中的结论有，结合等比数列前n项和公式可得，即，据此可得关于n的方程，解方程可得.试题解析：(1)因为成等差数列，所以，当时，当时，则，则，即，又，所以成等比数列，所以.（2）因为，又，所以，所以，又，所以，所

18、以，所以.20（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；【详解】解：(1) 由题意：，则椭圆的方程为(2)

19、斜率均存在设直线方程为：，再设，则有，联立得：，消去得：，即，将上式中的换成，同理可得：，若，解得：，直线斜率不存在，此时直线过点；下证动直线过定点，若直线斜率存在，则，直线为，令，得，综上，直线过定点；【点睛】此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键21（1）； （2）见解析.【解析】【分析】(1)先将存在性问题转化为求最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证.构造差函数，利用导数可得单调性，根据单调

20、性可得，即证得结论.【详解】（1）当，由，令，列表得：减函数极小值增函数这时.，使成立，的范围为.（2）因为对，所以在内单调递减，所以.要证明，只需证明，即证明.令，所以在是单调递增函数，所以，故命题成立.【点睛】不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立，恒成立.22(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；（2）联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程可得，满足题意时，二次方程的判别式，据此计算可得直线的倾斜角或.【详解】（1），即，此即为曲线的直角坐标方程.（2）将代入得，直线与曲线只有一个公共点，即，又，或.【

21、点睛】本题主要考查直线的参数方程的应用，极坐标方程转换为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23(1) 或；(2) 【解析】【分析】(1)利用绝对值三角不等式求的最小值为|a-3|=4,即得a的值.(2)分讨论分别得到a的取值范围，即得的取值范围【详解】(1) 的最小值为 解得或 (2)时，恒成立等价于恒成立即在时恒成立即解得时，恒成立等价于恒成立即在时恒成立须解得综上，的范围是【点睛】（1）本题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 重要绝对值不等式：,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.