约数和倍数竞赛辅导

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1、 一选择题（共31小题）1在1，2，3，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k（）A25B26C27D282若非零自然数a，b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10（）A1B1024C2104D20163从1，2，3，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（）A25B26C27D284将2，6，10，14，中3或5的倍数删去后，剩下的数列（串）中，第90个是（）A354B674C866D934513个不同的正整数的和为1615，则它们的公约数的最大值是（）A25B21C17D1362012的所

2、有正约数的和是（）A3528B2607C2521D201271998的不同约数的个数是（）A20B16C14D128已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大公约数为4，b和的c最大公约数为3，则a+b+c的最小值是（）A55B35C31D309已知自然数a、b、c满足：a和b的最小公倍数为24；a和b的最大公约数为6；c和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（）组A4B3C2D110在正整数X围内，方程组（x，y）60，（y，z）90，z，x360，y1000有多少组解？其中（）、分别表示最大公约数和最小公倍数A3B6C12D2411把1，2，3，19分成几个

3、组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组（）A9B7C6D512已知两个自然数ab，a+b78，a、b的最小公倍数是a、b252，则ba（）A50B22C14D613已知x和y都是自然数，x和y的最大公约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2（）A2516B10004C2516或10004D无法计算14两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标准时间中午12点时，经过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（）个昼夜A120B180C240D36015某班学生不足50人，在一次数学测验中

4、，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（）A0人B1人C3人D8人16古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A是2019年B是2031年C是2043年D没有对应的年号17用（a，b）表示a，b

5、两数的最大公约数，a，b表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）2，（4，4）44，612，4，44，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）P，（c，d）Q，P，QX；2，6M，c，dN，（M，N）Y则（）AX是Y的倍数，但X不是Y的约数BX是Y的倍数或约数都有可能，但XYCX是Y的倍数、约数或XY三者必居其一D以上结论都不对182003和3002的最大公约数是（）A1B7C11D1319360473和172361这两个积的最大公约数是（）A43B86C172D420在正整数1，2，3，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A33B34C35D3721用长为45cm，宽为3

6、0cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块A6B8C12D16222001的正约数的个数是（）A3B4C6D823所有形如的六位数（a，b，c分别是09这十个数之一，可以相同，但a0）的最大公约数是（）A1001B101C13D1124设a与b是正整数，且a+b33，最小公倍数a，b90，则最大公约数（a，b）（）A1B3C11D925三角形三边长a，b，c都是整数，且a，b，c60，（a，b）4，（b，c）3（注：a，b，c表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数），则a+b+c的最小值（）A30B31C32D3326若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分

7、别是（）A9，10，11B10，11，12C11，12，13D12，13，1427105的负约数的和等于（）A105B87C86D19228设a、b为正整数（ab），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）ApqabBqabpCqpabDpabq29两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A273B819C1199D191130下面的四句话中正确的是（）A正整数a和b的最大公约数大于等于aB正整数a和b的最小公倍数大于等于abC正整数a和b的最大公约数小于等于aD正整数a和b的公倍数大于等于ab31祖孙两人的年龄都是合数，明年他们

8、的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（）A70岁、23岁B69岁、22岁C115岁、14岁D114岁、13岁二填空题（共10小题）32记20162的所有正约数为d1，d2，dm，则+33清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，路车每4分钟开出一趟，路车每6分钟开出一趟，路车每9分钟开出一趟，如果他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是34锐角三角形ABC的三边长BCa，CAb，ABca、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大公约数为2，a+b+c，则ABC的周长为35记者向五羊初级中学校长询问学生人数，校长回答说不足5000人，其中初一、初二、初三分别占，余下的

9、是特别设立的“奥林匹克班”的学生，学校在学生中成立了数学爱好者协会，会员包含了初一学生的，初二学生的，初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学爱好者协会总人数为36以 （）、分别表示最大公约数和最小公倍数，则（24，60，84），1，20，7，5，3，19）37（19941994+19941995，19941995）38设m和n为大于0的整数，且3m+2n225，如果m和n的最大公约数为15，m+n39用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是720则围成这个长方形最少需要条长为1的线段，它的面积是40已知a、b和9的最大公约数为1，最小公倍数为

10、72，则a+b的最大值是41已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是，最小值是参考答案与试题解析一选择题（共31小题）1在1，2，3，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k（）A25B26C27D28【分析】首先求出在1100的自然数中，2、3、5的倍数分别有多少个，然后求出2和3的公倍数、2和5的公倍数、3和5的公倍数、2、3和5的公倍数分别有多少个，再求出1100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有多少个即可【解答】解：在1100的自然数中，2的倍数有：100250（个）

11、，3的倍数有：100333（个）1，5的倍数有：100520（个），2和3的公倍数有：100616（个）4，2和5的公倍数有：1001010（个），3和5的公倍数有：100156（个）10，2、3和5的公倍数有：100303（个）10，所以1100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有：100（50+33+20）+（16+10+6）3100103+32326（个），即k26故选：B【点评】此题主要考查了约数与倍数，数的整除的特征问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握是2、3、5的倍数的特征2若非零自然数a，b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10（）A1B1024C

12、2104D2016【分析】此题设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），然后根据题意可得mxnxmnx+x，再变形为x1+，再根据x是正整数进行分析论证得出答案【解答】解：设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n互质），所以mxnxmnx+x，所以x1+，m，n，x都是正整数，且m，n互质，mn1，x1+12，ab2，（）10（）102101024故选：B【点评】此题主要考查了学生对最大公约数与最小公倍数之和的理解和掌握要求学生能正确运用其解答问题此题较难，是好题3从1，2，3，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的

13、倍数，则n的最大值为（）A25B26C27D28【分析】不妨设找出的任意三个数为a、b、c，根据条件可推出a、b、c都是18的倍数，进而可得到找出的n个数都是18的倍数由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍然后分别讨论就可解决问题【解答】解：不妨设找出的任意三个数为a、b、c，由题可得：a+b36n1，a+c36n2，b+c36n3，其中n1、n2、n3是正整数由+得：2a36（n1+n2n3），即a18（n1+n2n3）则a是18的倍数同理可得：b、c都是18的倍数由于a、b、c表示任意的三个数，因此找出的n个数都是18的倍数由于找出的任意两

14、个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍若找出的n个数都是18的奇数倍，则找出的最大的数可表示为18（2n1）解18（2n1）1000得：n所以n取到最大值，为28若找出的n个数都是18的偶数倍，则找出的最大的数可表示为182n即36n解36n1000得：n所以n取到最大值，为27综上所述：n的最大值为28故选：D【点评】本题注重对推理能力的考查，而证到找出的n个数都是18的倍数是解决本题的关键4将2，6，10，14，中3或5的倍数删去后，剩下的数列（串）中，第90个是（）A354B674C866D934【分析】在数列2，6，10，14，中3的倍数是3个一循环，

15、5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个，由于908112，可知是第11个循环的第4个，依此即可求解【解答】解：观察数列2，6，10，14，中3的倍数是3个一循环，5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个，由于908112，是第11个循环的第4个，1511+4165+4169，则第90个是169426762674故选：B【点评】考查了约数与倍数，本题关键是熟悉3或5的倍数的特点，难点是得到第90个是第11个循环的第4个513个不同的正整数的和为1615，则它们的公约数的最大值

16、是（）A25B21C17D13【分析】应先把1615分解，找到约数可能的数再设出最大公约数，找出13个数最小值，进而求得最大公约数【解答】解：设13个不同的正整数的最大公约数为d，则，13个不同的正整数为：da1、da2、da13为互不相同正整数，1615da1+da2+da13d（a1+a2+a13）a1+a2+a13最小为1+2+13（13+1）13291，161551719，1615的约数中，大于91的最小约数是51995，即：a1+a2+a23最小为95，故最大公约数d可能达到的最大值16159517故选：C【点评】解决本题的关键是先得到1615可能的约数，再求得13个数除去约数外最小

17、的和62012的所有正约数的和是（）A3528B2607C2521D2012【分析】将2012表示成几个数相乘的形式，然后得出2012的所有约数，继而求和即可得出答案【解答】解：201212012210064503，因为503是质数，2012的约数有：1、2012、2、1006、4、503，2012的所有正约数的和是1+2+4+503+1006+20123528故选：A【点评】此题考查了最大公约数和最小公倍数的知识，解答本题的关键是将2012表示成几个因数相乘的形式，得出2012的约数，难度一般71998的不同约数的个数是（）A20B16C14D12【分析】由于199823337，于是可以分别

18、求出 单个质因数组成的约数、有两个质因数的约数、有三个质因数组成的约数个数，然后求和即可【解答】解：199823337，单个质因数组成的约数有：2、3、9、27、37，有两个质因数的约数有：6、18、54、74、111、333、999，有三个质因数组成的约数有：222、666、1998，再加上约数1，共有16个约数，故选：B【点评】本题主要考查最大公约数与最小公倍数的知识点，解答本题的关键是熟练掌握质因数的知识，此题难度不大8已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大公约数为4，b和的c最大公约数为3，则a+b+c的最小值是（）A55B35C31D30【分析】根据a，b，c的最小公

19、倍数为48确定a，b，c的取值X围，然后根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，继而可分别得出c及a的最小值，代入计算即可得出答案【解答】解：a，b，c最小公倍数是48，所以它们都是48的约数，则a，b，c只能在1，2，3，4，6，8，12，16，24，48中取值，又a，b最大公约数是4；b，c最大公约数是3；b的最小值是12，c最小值为3，a的最小值是16，则a+b+c的最小值12+3+1631故选：C【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，关键是先求出a，b，c的取值X围，根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，难度一般9已知自然数a、b、c满足：a和b的最小公倍数为24；a和b的

20、最大公约数为6；c和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（）组A4B3C2D1【分析】根据a和b的最小公倍数为24，a和b的最大公约数为6可得出a、b只能在6，12，24中取值，再由c和a的最小公倍数为36，可确定符合题意的a，b，c的组合，进而得出答案【解答】解：a和b的最小公倍数为24，a、b可取1，2，3，4，6，8，12，24，又a和b的最大公约数为6，a、b只在6，12，24中取值，若要满足c和a的最小公倍数为36，则只有a6，c36，b24时成立故（a，b，c）（6，24，36），共一组故选：D【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，难度一般，解答本题的

21、关键是根据的条件得出a、b的取值X围10在正整数X围内，方程组（x，y）60，（y，z）90，z，x360，y1000有多少组解？其中（）、分别表示最大公约数和最小公倍数A3B6C12D24【分析】根据60、90分别是y的约数可得出y180k（k取正整数），结合y1000讨论k的值，然后每一个y值可得出符合题意的x、z的组合，继而可得出答案【解答】解：由题意得，60、90都是y的约数，y180k（k取正整数），又y1000，则k5；当k1时，y180，（x，y）60，（y，z）90，z，x360，可得x120，z90，则（x，z）（120，90），此时有1组解当k2时，y360，（x，y）60

22、，（y，z）90，z，x360，没有符合题意的x和z，此时没有解当k3时，y540，（x，y）60，（y，z）90，z，x360，则（x，z）（120，90），此时有1组解当k4时，y720，（x，y）60，（y，z）90，可得x60，z90，又z，x360，没有符合题意的x和z，此时没有解当k5时，y900，（x，y）60，（y，z）90，可得x60或120或360，z90或360，又z，x360，则（x，z）（120，90），此时有1组解综上可得共有3组解故选：A【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数，根据题意得出y180k是解答本题的关键，难点在于分类讨论k的值时，判断符合题意的x、z

23、的组合，难度较大，要求细心解答11把1，2，3，19分成几个组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组（）A9B7C6D5【分析】首先1不能和任何一个数一组，然后根据2、4、8、16不能在一组，故以这四个数自立一组，先尽量往2所在的组填数，依次填写4、8、16，如果有不兼容的就再另行分组，由此可得出答案【解答】解：1不能和任何一个数一组，故1自立一组；第二组可为：2，3，5，7，11，13，17，19；第三组为：4，6，9，10，14，15，第四组为：8，12，18，19；第五组为：16；以上分组中的数在符合题意的基础上可以不固定，但是1、2

24、、4、8、16需要各自一组，即至少分5组故选：D【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，解答本题的关键是得出2、4、8、16不能在一组，难点在于往这四个数所在的组瑱数12已知两个自然数ab，a+b78，a、b的最小公倍数是a、b252，则ba（）A50B22C14D6【分析】此题为选择题，可利用排除法进行求解【解答】解：A、若ba50，b64，a14，a，b的最小公倍数是a、b448，故本选项错误；B、若ba22，b50，a28，a，b的最小公倍数是a、b700，故本选项错误；C、若ba14，b46，a32，a，b的最小公倍数是a、b736，故本选项错误；D、若ba6，b42，a36，

25、a，b的最小公倍数是a、b252，故本选项正确故选：D【点评】本题考查最小公倍数的知识，注意对这一概念的熟练掌握，同时要注意排除法在选择题中的灵活运用13已知x和y都是自然数，x和y的最大公约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2（）A2516B10004C2516或10004D无法计算【分析】根据题意可得x和y的乘积是200，又因为x和y的最大公约数是2，可知2002100450，所以分情况讨论即可【解答】解：最小公倍数是100，x和y的乘积是200，2002100450（因有最大公约数2，两者均为偶数），x4，y50，或x2，y100，x2+y22516；x2+y210004故选：C【点

26、评】此题主要考查了最大公约数和最小公倍数的知识，解题的关键是认真审题，弄清题意14两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标准时间中午12点时，经过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（）个昼夜A120B180C240D360【分析】分别得到快钟和慢钟在标准时间里回到12点的时间，求出其最小公倍数即可【解答】解：24608180（个）；快钟每隔180个昼夜在标准时间里回到12点；24604360（个）；慢钟每隔360个昼夜在标准时间里回到12点；180和360的最小公倍数为360故选：D【点评】本题通过实际问题考查了最小公倍数，得到两个失

27、准的时钟再次回到标准时间的时间是解题的关键15某班学生不足50人，在一次数学测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（）A0人B1人C3人D8人【分析】在一次数学测验中有 的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则总人数一定能被2、3、7整除，求出2、3、7的最小公倍数，再找出小于50的即可解答【解答】解：2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数中小于50的只有42，故全班有42人，42（1）1人故选：B【点评】本题主要考查3个数的最小公倍数的求法，熟练掌握求最小公倍数的方法是解题的关键16古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅

28、卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A是2019年B是2031年C是2043年D没有对应的年号【分析】首先求得10与12的最小公倍数60因而从丁亥年开始算，即可判定是否有甲亥年，具体是哪年【解答】解：10与12的最小公倍数为60，按照天干与地支组合循环60次后又开始循环故只要检测这60年即可

29、可知没有甲亥年故选：D【点评】本题考查最小公倍数解决本题的关键是理解题意，天干地支循环是60年（天干10年与地支的最小公倍数），再重新循环17用（a，b）表示a，b两数的最大公约数，a，b表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）2，（4，4）44，612，4，44，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）P，（c，d）Q，P，QX；2，6M，c，dN，（M，N）Y则（）AX是Y的倍数，但X不是Y的约数BX是Y的倍数或约数都有可能，但XYCX是Y的倍数、约数或XY三者必居其一D以上结论都不对【分析】根据题意和最大公约数和最小公倍数的相关知识依次判断即可【解答】解：A、取a，b，c，d为4，

30、3，2，1，则X1，y2，X是y的约数，取a，b，c，d为4，2，3，1，则X2，y1，X是y的倍数，故本选项错误；B、再取a，b，c，d为5，3，2，1，则Xy1，故本选项错误；C、再取a，b，c，d为6，3，2，1，则X3，y2，X既不是y的倍数也不是y的约数，故本选项错误；故选：D【点评】本题考查了最大公约数和最小公倍数，牢记概念是关键182003和3002的最大公约数是（）A1B7C11D13【分析】先把两数的公约数找出来，再找出最大公约数即可【解答】解：2003和3002的公约数是1，2003和3002的最大公约数是1故选：A【点评】本题考查了最大公约数的概念以及两个数最大公约数的求

31、法，牢记概念是解题的关键19360473和172361这两个积的最大公约数是（）A43B86C172D4【分析】解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但由于361是一个质数，我们只要将172分解，再看一看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案【解答】解：361是质数且不能被473整除，1722243，4734311，360490，360473和172361这两个积的最大公约数是443172故选：C【点评】此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键20在正整数1，2，3，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A33B34C35D37【分析】在

32、1n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有个【解答】解：在正整数1，2，3，100中，能被2整除的数有100250（个）；能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100616（个），所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是501634（个）故选：B【点评】本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题最小公倍数：6及6的倍数能同时被2和3整除； 10及10的倍数能同时被2和5整除； 15及15的倍数能同时被3和5整除； 30及30的倍数能同时被2、3和5整除21用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块A6B8C12D16【分析】

33、45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求【解答】解：45，3090（cm），所求正方形的面积是：90908100（cm）2，铺成该正方形所需的砖的块数为：8100（4530）6（块）；故选：A【点评】本题主要考查了最小公倍数在实际生活中的应用222001的正约数的个数是（）A3B4C6D8【分析】先分解质因数200132329，然后根据约数个数定理来解答【解答】解：200132329，2001的约数应为8个：1，3，23，29，323，329，2329，2001故选：D【点评】本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约

34、数个数定理：对于一个数a可以分解质因数：aa1a22a33则a的约数的个数就是（r1+1）（r2+1）（r3+1）需要指出来的是，a1，a2，a3都是a的质因数r1，r2，r3是a1，a2，a3的指数比如，36023325，所以360约数的个数是（3+1）（2+1）（1+1）24个23所有形如的六位数（a，b，c分别是09这十个数之一，可以相同，但a0）的最大公约数是（）A1001B101C13D11【分析】首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数【解答】解：100000a+10000b+1000c+100a+1

35、0b+c100100a+10010b+1001c1001（100a+10b+c）1001是四位数，比100a+10b+c大，最大公约数一定是1001故选：A【点评】此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键24设a与b是正整数，且a+b33，最小公倍数a，b90，则最大公约数（a，b）（）A1B3C11D9【分析】假设出（a，b）x，得出x是a，b，a+b及a，b的公约数，得出x的值是x1或x3，进一步利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案【解答】解：令（a，b）x，则x是a，b，a+b及a，b的公约数，故x是33和90的公约数，知

36、x1或x3当x1时，a与b互质，而a+b33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而a，b90，说明a、b至少有一个能被3整除当a能被3整除，由a+b33，则b也能被3整除，故（a，b）1，即x1当x3时，即有（a，b）3，abxa，b，ab3903256，而a+b33，a15，b18，（a，b）3故选：B【点评】此题主要考查了数的整除性以及最大公约数和互质等知识，利用整除性得出a，b的关系是解决问题的关键25三角形三边长a，b，c都是整数，且a，b，c60，（a，b）4，（b，c）3（注：a，b，c表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数），则a+b+c的最小值（）A30

37、B31C32D33【分析】首先分解60345，得出a，b，c中含的因数有4，3，5，由（a，b）4，（b，c）3得出a的最小值是4，b的最小值是34，进而得出c的最小值是35，从得出a+b+c的最小值【解答】解：602235，（a，b）4，（b，c）3，a与b是4的倍数，b，c是3的倍数，a，b，c60，即a，b，c的最小公倍数是60，a，b，c中含的因数有4，3，5，当a4，b4312，c3515时，a+b+c的最小值是：4+43+3531故选：B【点评】此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，得出a，b，c的最小值，是解决问题的关键26若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（

38、）A9，10，11B10，11，12C11，12，13D12，13，14【分析】设这三个数为x，x+1，x+2，根据三个连续自然数的最小公倍数为660，可得x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又由660223511，即可得出答案【解答】解：设这三个数为x，x+1，x+2，三个连续自然数的最小公倍数为660，x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又660223511，这三个数分别10，11，12，故选：B【点评】本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是把660分解成几个质数的乘积，然后根据题意求解27105的负约数的和等于（）A105B87C86D192【分析】只要考

39、虑105的负约数肯定有1和105，两个加起来就106，所以A、B、C肯定不符合答案【解答】解：105（1）（105），（3）（35），（5）（21），（7）（15），105的负约数有1、105、3、35、5、21、7、15，1105335521715192故选：D【点评】本题考查了一个数的公约数，即将这个数写成几个数的积的形式，这几个数为它的因数28设a、b为正整数（ab），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）ApqabBqabpCqpabDpabq【分析】根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系判定即可【解答】解：（a，b）p且a，bq，p|a且p

40、|b，即a|q且b|qqabp故选B【点评】本题主要考查最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一，最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数29两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A273B819C1199D1911【分析】先对273分解质因数2733713，所以，两个数为3，7，13中的任意两数的乘积【解答】解：2733713，这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又两数和为60，这两个数为21，39，所以乘积为2139819故选：B【点评】本题主要考查了有关于最大公约

41、数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用“凑项法”解答30下面的四句话中正确的是（）A正整数a和b的最大公约数大于等于aB正整数a和b的最小公倍数大于等于abC正整数a和b的最大公约数小于等于aD正整数a和b的公倍数大于等于ab【分析】运用特殊值法进行排除，例如3是6和9的公约数，小于6，所以正整数a和b的最大公约数大于等于a，同理可得出符合要求的答案【解答】解：A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A；B、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除B；C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；D、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除D；故选

42、：C【点评】此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法31祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（）A70岁、23岁B69岁、22岁C115岁、14岁D114岁、13岁【分析】首先先了解下合数质数的概念质数：除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数合数：除了1和它本身外，还有别的因数的数是合数再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案【解答】解：1610/2805，805/5161，161/723，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得161025723这里可以确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别

43、是（1）2和805，（2）5和322，（3）7和230，（4）35和46假设孙子明年的年龄是2714，那么今年孙子明年的年龄是14113（质数）与已知矛盾，不成立如果由161025723，设孙子明年的年龄是23，那么爷爷明年的年龄是25770又23122，70169，22、69都是合数符合题意故选：B【点评】此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握此题关键是把1610写成几个质数的积的形式二填空题（共10小题）32记20162的所有正约数为d1，d2，dm，则+【分析】先针对于22的3个正约数，对于32的3个正约数，对于42的5个正约数，对于52的3个正约数，对于62的9个正约数分别计算

44、，找出n2的正约数的个数的规律（如果n2分解质因数为aebfch，那么正约数的个数为（e+1）（f+1）（h+1），和所求结论的规律则+，规律，即可得出结论【解答】解：对于22的（2+1）3个正约数1，2，22，有+；对于32的（2+1）3个正约数1，3，32，有+；对于4224的（4+1）5个正约数1，2，22，23，24，有+对于52的（2+1）3个正约数1，5，52，有+，对于622232的（2+1）（2+1）9个正约数1，2，22，3，32，23，223，232，2232，有+，即：若n2的所有正约数为d1，d2，d3，d4，dm，则+201622103472m（10+1）（4+1）（

45、2+1）m165，当n2016时，+，故答案为【点评】此题是约数与倍数，主要考查了一个正整数的平方的正约数的确定，以及正约数的个数的确定，找出规律是解本题的关键，也是难点是一道比较难度比较大的规律题33清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，路车每4分钟开出一趟，路车每6分钟开出一趟，路车每9分钟开出一趟，如果他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是7点36分【分析】要解答本题只要求出4、6、9的最小公倍数就可以了，也就是说4、6、9的最小公倍数就是同时开出的循环时间，而4、6、9的最小公倍数是36，则下次同时开出的时间是36分钟时，这样就可以得出结论【解答】解：路车每4分钟开出一

46、趟，路车每6分钟开出一趟，路车每9分钟开出一趟，而4、6、9的最小公倍数是36，同时开出的时间是7点36分故答案为：7点36分【点评】本题考查了最大公约数和最小公倍数的知识，重点是解答中确定最小公倍数的方法“短除法”的运用34锐角三角形ABC的三边长BCa，CAb，ABca、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大公约数为2，a+b+c，则ABC的周长为6或35【分析】由题目可知，c（a+b），由于三角形中，有a+bc，则（a+b）a+b，整理得：3ab（a+b）26ab，由于ab（）2，所以（a+b）24ab，假设（a+b）24ab，则ab，由于a，b的最大公约数为2，所以ab2，代入a

47、+b+c，得c2，符合题意当ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，从而求出ABC的周长【解答】解：三角形中，有a+bc，则（a+b）a+b，整理得：3ab（a+b）26ab，由于ab（）2，所以（a+b）24ab，假设（a+b）24ab，则ab，由于a，b的最大公约数为2，所以ab2，代入a+b+c，得c2，符合题意则ABC的周长2+2+26当ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，满足a+b+c，则ABC的周长10+14+1135故答案为：6或35【点评】考查了最大公约数与三角形三边关系，本题得到ab，根据a，b的最大公约数为2，得到ab2是解题的关键，题目较难35记者向五羊初

48、级中学校长询问学生人数，校长回答说不足5000人，其中初一、初二、初三分别占，余下的是特别设立的“奥林匹克班”的学生，学校在学生中成立了数学爱好者协会，会员包含了初一学生的，初二学生的，初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学爱好者协会总人数为183【分析】设五羊初级中学中有x名学生，则数学爱好者协会中初一学生为xx，初二学生为xx，初三学生为xx，找到120，56，45的最小公倍数，根据学生人数不足5000人，求解即可【解答】解：设五羊初级中学中有x名学生，则数学爱好者协会中初一学生为xx，初二学生为xx，初三学生为xx，120，56，45的最小公倍数是2520，五羊初级中学中有2

49、520名学生，数学爱好者协会总人数为（x+x+x）（1）183名故数学爱好者协会总人数为183故答案为：183【点评】考查了最大公约数与最小公倍数的应用，此题贴近学生生活，关键是找到120，56，45的最小公倍数36以 （）、分别表示最大公约数和最小公倍数，则（24，60，84），1，20，7，5，3，19）1【分析】本题涉及的数字不大，可先求出24，60，84的最大公约数为12，计算出12，1，20的最小公倍数为60，然后求解60，7，5，3的最小公倍数，最后求解这个数和19的最大公约数即可【解答】解：24，60，84的最大公约数为12，（24，60，84）12，而12，1，20的最小公倍数

50、为60，（24，60，84），1，2060，则（24，60，84），1，20，7，5，3，19）（420，19）1故答案为：1【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，解答时要注意各括号所对应的数，不用混淆，难点在于几个数的最大公约数及最小公倍数的求解办法37（19941994+19941995，19941995）19941995【分析】此题数值较大，看上去很难，但仔细观察可发现，两个式子都含有因数1994，前一个式子提取公因式19941994后可变为199419941995，与后一个式子有公约数1995，据此即可解答【解答】解：19941994+1994199519941994+199

51、41994199419941994（1+1994）199419941995，（19941994+19941995，19941995）19941995故答案为19941995【点评】本题主要考查最大公约数的求法，熟练提取公因式是解答本题的关键38设m和n为大于0的整数，且3m+2n225，如果m和n的最大公约数为15，m+n105【分析】此题根据m和n的最大公约数为15，可设m15m1，n15n1，代入3m+2n225，化简可得3m1+2n115，尝试即可解答【解答】解：设m15m1，n15n1，其中m1，n1都是正整数，则3m1+2n115，尝试可知m11，n16时，正好符合题意，即m15，n

52、90，此时m+n15+90105故答案为：105【点评】此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握最大公约数的求法是解题的关键39用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是720则围成这个长方形最少需要126条长为1的线段，它的面积是980【分析】此题可设长为7a，宽为7b，由题意可知，a、b相乘得20，求出相加最小的值即可【解答】解：设长为7a，宽为7b，由题意可知，a、b相乘得20，2012021045，4+59最小，所以a7428，b7535，周长为（28+35）2126，面积为2835980故答案为126，980【点评】此题主要考查最大公约数与最小公倍

53、数的求法，熟练掌握周长与面积的计算公式是解题的关键40已知a、b和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b的最大值是80【分析】解得此题的关键是设a2k13s1，b2k23s2，由a、b和9的最大公约数为1，可知ab不能同时含有3，而可以含有2，从而确定出最大值【解答】解：722332，可设a2k13s1，b2k23s2，k1k2均为不大于3的非负整数，且至少有1个为3，s1s2均为不大于2的非负整数，且至少有一个为0，于是当k1k23，s12，s20时或当k1k23，s10，s22时即当a72，b8时或当a8，b72时，a+b取最大值故答案为：80【点评】此题主要考查最大公约数与最小公倍数的求法，熟练掌握三个数的最小公倍数求法是解题的关键41已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是209，最小值是57【分析】此题只要找出385的所有两位因数，由于他们不全相同，故最多有二个相同，由此找出最大最小即可【解答】解：385的二位因数有11，35，55，77，他们不全相同，故最大为77，77，55，和为209，最小为11，11，35，和为57故答案为209，57【点评】此题主要考查最小公倍数的求法，熟练掌握一个数的因数的求法是解题的关键26 / 26