模糊推理方法

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1、几种典型的模糊推理方法根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系R(X,Y)及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。对于确定的模糊推理系统,模糊蕴含关系R(x,y)一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。根据合成运算法则的不同，模糊推理方法乂可分为Mamdani推理法、Larsen推理法、Zadeh推理法等等。一、Mamdani模糊推理法Mamdani模糊推理法是最常用的一种推理方法、其模糊蕴涵关系Rm(X,Y)定义简单，可以通过模糊集合A和目的笛卡尔积(取小)求得，即瞄(x,y)=(x)AP(y)(3.2.1)例3.2.1已知模糊集合入=土+墅十里,=0.8+0.5+0.3十

2、0。求模糊集合A和之间的模糊X1X2X3贝y2V3V3蕴含关系Rm(X,Y)o解：根据Mamdani模糊蕴含关系的定义可知:一11Rm(X,Y)=AE=0.4勺0.80.50.30.1?.1J0.80.50.30.1=0.40.40.30.10.10.10.10.1Mamdani将经典的极大一极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。在此定义下，Mamdani模糊推理过程易丁进行图形解释。下面通过几种具体情况来分析Mamdani模糊推理过程。(i)具有单个前件的单一规则设A*和A论域X上的模糊集合,目是论域Y上的模糊集合,A和目问的模糊关系是Rm(x,y),有大前提(规则)：ifx

3、isAthenyisB小前提(事实)：xisA*结论：当%(x,y)=版以)仙(尸)时,有yis*=A*Rm(X,Y)藉*(y)=恐%以)上七以)上(力=芸%(x)mA(x)A*(y)=w(y)*其中伯=xV【味（x）A&（x）,称为A和A*的适配度。在给定模糊集合A*、A及官的情况下，Mamdani模糊推理的结果由如图3.2.1所示。图3.2.1单前提单规则的推理过程根据Mamdani推理方法可知，欲求由，应先求出适配度切（即味以团改以）的最大值）；然后用适配度缶去切割B的MF,即可获得推论结果B*，如图3.2.1中后件部分的阴影区域。所以这种方法经常乂形象地称为削顶法。对丁单前件单规则（即

4、若x是A则y是）的模糊推理，当给定事实x是精确量X。时，基丁Mamdani推理方法的模糊推理过程见图3.2.2。图3.2.2事实为精确量时的单前提单规则推理过程例3.2.2设A和分别是论域X和Y上的模糊集合，其中论域X（水的温度）=0,20,40,60,80,100,Y（蒸汽压力）=1,2,3,4,5,6,7,A=温度高，=压力大。模糊规则“若A则B”，在此模糊规则下，试求在A*=温度较高时对应的压力情况B*o解：首先确定各模糊集合的隶属度为.#带有主观性的确定I,00.10.30.60.851%(x)=一+A020406080100七（y）00.10.30.50.70.851=十rrrrr1

5、234567.0.10.150.40.7510.8、B*(x):A020406080100V(0上0.1.0.1上0.15.0.3上0.40.6上0.75.0.85上1.1上0.8)xX02040608010000.10.30.60.850.8=V()=0.85xX020406080100用适配度缶去切割的隶届函数，即可获得宙,00.10.30.50.70.851*(y)(y)0.85Bb“123456700.10.30.50.70.850.85=十十十十十十*=压力较大”，这与我们平常的推理结果是一致的。推理结果是“(ii)具有多个前件的单一规则.一J-一一一、设A、A、B、B和C、C分别是

6、论域X、Y和Z上的模糊集合，已知A、B和C|可的模糊关系为Rm(X,Y,Z)。根据此模糊关系和论域集合。即大前提(规则)：小前提(事实)：X、Y上的模糊集合A.、B，推出论域Z上新的模糊ifxisxisAandyisB,then*AandyisBzisC后件(结论):zis*C1234567咋m(x,y,z)=PA(x)A*(y)A既(y)笛卡尔积取小(3.2.3)根据Mamdani模糊关系的定义，有(3.2.4)此时龄(z)=V【(x)A惜(y)UA(x1B(y1(z)xZX顼(x)AH*(y)A*(x)A项y)A%(z)x.gA*(x)ANA(y)Ay、*(g(y)A雄(z)昌(OaAOb

7、烦z)C其中=VWA*(x)AT(x)是AHA*隶届函数的最大值，表示A*对A的适配度;xWAA伯b=泠椅以)人顷y)是1*隶届函数的最大值，表示*对的匹配度;由丁模糊规则的前件部分由连词“与”连接而成，因此称由aAOb为模糊规则的激励强度或满足度，它表示规则的前件部分被满足的程度。图3.2.3给出了多个前件的单一规则的Mamdani模糊推理过程，其中推理结果C的MF是模糊集合C的MF被激励强度3=膈2七)截切后的结果。这个结论可以直接推广到具有多丁两个前件的情况。*BB*C图3.2.3多前提单规则的Mamdani模糊推理过程对丁两前件单规则(即若(即x是xx是A和y是B,那么z是C)的模糊推

8、理，当给定事实为精确量时图3.2.4给定事实为精确量时Mamdani推理过程y是y),Mamdani模糊推理过程见图3.2.4。例3.2.3已知:A*、A、B*、B和C*、C分别是给定论域X=x1,x2、Y=y1,y2,y3和Z=z，z2上的模糊集合，若1A=.x1+。5且x20.10.5=V11y2y302则C=0.2z11z2现在知道*0.80.1_A=+及x1x2*B=y0.50.20+,V2V3*求模糊集合C解法一:由丁Ra(x,y,z)=axbc故先求Ra(x,y)=ABRa(x,y)=aB=10.10.5II5155-oo11-oo_-15-o然后将RA(x,y)写成列向量的形式，

9、并以rA(x,y)表示，即ABABRA(x,y)=0.10.510.10.50.57于是可以求得:=bbb0.110.10.1-0.50.20.51。b21】=0.210.1.0.10.10.50.20.50.5-1I0.20.5_R(xyz)二ABC=R(xy)CABC,y,AB,y*，、由于C=(AXB)RAg(x,y,z)A*，令Ra*(x,y)=A叩，有*Ra官(x,y)=AB2-o5b01J81-oo_-1Joo21-oo51-00-o将K宿*(x，y)与成仃向重，并以RA*g*(x,y)表小，即ABAB*RA*(x,y)=b.50.200.10.1d丁是可以求得C*C=Ra*(x,

10、y)RA(x,y,z)=0.50.200.10.100.10.20.10.50.20.10.1=0.20.20.20.5J0.20.50.20.2CZ1Z2解法二：首先A*与A、*与的适配度，即、，1A0.80.5A0.10.80.1、A=xVx(PP)=K；十次p=V(Q0里)1凸E史)=0.2yYyy2y3yYyy2y3然后求激励强度缶，即=0.8A0.2=0.2AB、_.最后用激励强度仍去切割C的隶届函数，即可获得C0.2工1；0.2,0.2%(y)=切A*(y)=0.2A+一j=一+一Z1ZUZ1Z2(iii)具有多个前件多条规则的模糊推理设A*、A、A2、*、2和。*、。1、。2分别

11、是论域X、Y和Z上的模糊集合，Rm1(X,Y,Z)是A|、B1和G可的模糊编含关系，Rm2(X,Y,Z)是A2、B2和C2I可的模糊编含关系。已知论域X、Y上的模糊集合A*、B*,推出论域z上新的模糊集合6*。即大前提1(规则1)：ifxisAandyis目,thenzis61大前提2(规则2)：ifxisA2andyis2,thenzis(2小前提(事实)：xisA*andyis*后件(结论)：zisC对丁多个前件多条规则的模糊推理问题，通常将多条规则处理为相应丁每条模糊规则的模糊关系的并集。上述的模糊推理问题可以表示为乓=xV【(x)A略(y)A瞄1(X,y,z)V%2(x，y，z)XXy

12、Y=工出(x)Mr(y)A*Mi(X，y，z)yY(3.2.5)VxVA*(x)AP*(y)AP氏2(X,y,z)y：y=C；(z)V62(z)其中:Hrmi(x,y,z)=版(x)A览(x)Vp(z);RM2(x,y,z)=ja2(x.!-b-2(x)W1c2(z)；吃*(z)和乞(z)分别是在规则1和规则2下所得到的模糊集合。对丁两个前件两条规则(即x是A和y是瓦，则z是(1；x是良和y是2,则z是&)的模糊综上所述，多个前件多条规则的模糊推理过程可以分为四步：计算适配度把事实与模糊规则的前件进行比较，求出事实对每个前件MF的适配度。求激励强度用模糊与、或算子，把规则中各前件MF的适配度合

13、并，求得激励强度。求有效的后件MF。用激励强度去切割相应规则的后件MF,获得有效的后件MF。计算总输出MF。将所有的有效后件MF进行综合，求得总输出MF。二、Larsen模糊推理法Larsen推理方法乂称为乘积推理法，是另一种应用较为广泛的模糊推方法。Larsen推理方法与Mamdani方法的推理过程非常相似，不同的是在激励强度的求取与推理合成时用乘积运算取代了取小运算。(i) 具有单个前件的单一规则设A*和A论域X上的模糊集合,是论域Y上的模糊集合,入和间的模糊关系确定，求在关系下的B*,即大前提（规则）:.ifxisABthenyisB小前提（事实）:.B*xisA结论:*yisB(3.2

14、.6)(3.2.7)在给定模糊集合A*、A及的情况下，Larsen模糊推理的结果如图3.2.6所示*AAB*BB图3.2.6单前提单规则的推理过程与Mamdani推理方法一样，首先求适配度:仍=xVJ%(x)】Wa(x)然后用适配度与模糊规则的后件作乘积合成运算，即可得jb*(y)=，(y)关系确定。根据此模糊关系和论域大前提（规则）:小前提（事实）:*xisAandyisB（ii）具有多个前件的单一规则.设A、A、B、和C、C分别是论域X、Y和Z上的模糊集合，已知A、B和C|可的模糊X、Y上的模糊集合A*、*,推出论域Z上新的模糊集合。即ifxisAandyis,thenzis(*zisC后

15、件（结论）:首先求适配度co；和与：ABAg=X【与（x）A项x）=刃以）上（湖然后求激励强度-:=a（3.2.9）最后用激励度与模糊规则的后件作乘积合成运算，即七（y）=*（y）（3.2.10）图3.2.7给出了两个刖件的单一规则的Larsen模糊推理过程，其中推理结果C的MF是模糊集合C的MF与激励强度向3=3b）合成的结果。这种合成方法可以直接推广到具有多丁两个前件的情况。图3.2.7多前提单规则的Larsen模糊推理过程（iii）具有多个前件多条规则的模糊推理设A*、Ai、a、T、瓦、2和6*、Ci、房分别是论域X、Y和Z上的模糊集合，a、1和Ci问的模糊关系及A2、2和C2间的模糊关

16、系都已知。现在根据论域X、Y上的模糊集合A*、B*,推出论域z上新的模糊集合6*。即大前提1（规则1）:ifxisAandyisBi,thenzisCi大前提2（规则2）:ifxisA2andyis2,thenzis62小前提（事实）：BB*xisAandyisB*zisC(3.2.11)后件（结论）:首先求出规则1的适配度COA和co:A1B1.,&二勺七上七以）足=乂、以）上*以）同样求出规则2的适配度切和向:AB2%=快（x）A版（x）瓦=yx%（x）Ay（x）然后分别求出两条规则的激励强度初和切2：(3.2.13)最后用激励度与相应的模糊规则的后件作乘积合成运算，分别求出每规则所得的结

17、论，并且做取大运算获得最终的结论，即*(y)=i%(y)v2粘(y)(3.2.14)图3.2.8给出的是两前件两规则的Larsen模糊推理过程，当这种推理过程可以推广到任意个前件任意多条规则的情况。*BiBCiCMaxC2B2BC.,2图3.2.8两前件两规则的Larsen模糊推理过程三、Zadeh模糊推理法通过前面分析可知，模糊推理的结果主要取决丁模糊关系及合成运算法则。与Mamdani推理法相比，Zadeh推理法也是采用取小合成运算法则，但是其模糊关系的定义不同。下面具体给出Zadeh的模糊关系定义。设A是X上的模糊集合,是Y上的模糊集合，二者间的模糊蕴涵关系用RZ(X,Y)表示。Zade

18、h把Rz(X,Y)定乂为(3.2.15)R,(x,y)=A(x)E百(y)V1-*(x)如果已知模糊集合A和的模糊关系为Rz(x,y),乂知论域X上的另一个模糊集合A*,那么(3.2.16)Zadeh模糊推理法得到的结果于为：B=ARz(X,Y)其中“表小合成运算，即是模糊关系的SuA运算xX%(y)Sup(%(x)A卜A(x)A改(y)V(1-%x)式中“Sup”表示对后面算式结果取上界。若Y为有限论域时，Sup就是取大运算V。Zadeh模糊推理法提出比较早，其模糊关系的定义比较繁琐，导致合成运算比较复杂，而且实际意义的表达也不直观，因此目前很少采用。四、TakagiSugen戒糊推理法日本

19、高木(Takagi)和杉野(Sugen。丁1985年提出了TakagiSugeno模糊推理法，简称为T-S模糊推理法。这种推理方法便于建立动态系统的模糊模型，因此在模糊控制中得到广泛应用。T-S模糊推理过程中典型的模糊规则形式为:如果x是Aandy是，贝Uz=f(x,y)其中A和B是刖件中的模糊集合,而z=f(x,y)是后件中的精确函数通常f(x,y)是输入变量xfty的多项式，可以是任意函数。当f(x,y)是一阶多项式时，模糊推理系统被称为一阶T-S模糊模型；当f是常数时，所得到的模糊推理系统被称为零阶T-S模糊模型。零阶T-S模糊模型可以看作是Mamdani模糊推理系统的特例,其中每条规则

20、的后件由一个模糊单点表示(或是一个预先去模糊化的后件)。对丁多前提的模糊推理问题，每个前提都会有一个适配度，T-S模糊推理过程中激励强度的求取可以采用取小运算，也可以采用乘积运算。对丁形如“若xisAandyisB,thenz=f(x,y)”的模糊规则，其激励强度为co=aA(3.2.18)或=r(3.2.19)最终的结论往往是通过对对丁多规则的模糊推理问题，每一个规则都可以产生一个推理结果。每一个推理结果进行加权平均得到。对丁两规则的模糊推理，如:IFxisAiandyisi,thenz=f(x,y)IFxisA2andyisB2,thenz2=f2(x,y)若已知“xisA*andyisB

21、*”，那么T-S模糊推理的结论z为(3.2.20)lzl2z2z=1一2实际上.为了进一步减少计算量.有时可以用加权和算子直桂代替加权平均算子.即(3.2.21)图3.2.9给出的是一个两前提两规则的一阶T-S模糊模型的模糊推理过程。当然，T-S模糊推理方法也可以推广到多前件多规则的情况，1:Zi=P1Xqy1X7,Zi2z=orz=1Z1，2Z2.，1.，2令2：Z2=P2Xq2y2图3.2.9两前件两规则的T-S模糊推理过程与Mamdani模糊推理方法不同，T-S模糊模型在其推理机制中不严格遵循推理复合规则。当T-S模糊模型的输入是模糊的时，会造成一定困难。对于T-S模糊推理方法，通过加权平均或加权和所获得的整体输出通常是精确的，一这与常规的模糊推理方法有所不同,因为常规的模糊推理系统往往是以适当的方式把模糊性从输入传播到输出。由丁T-S模糊推理得到的结果是精确的，所以T-S模糊推理过程不需要进行耗时的、数学上不易分析的去模糊化运算。正是如此，T-S模糊推理是目前基丁样本的模糊建模中最常选用的方法。