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1、江苏省2022高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案考情考向分析圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题椭圆的有关知识为B级要求，双曲线、抛物线的有关知识为A级要求热点一圆锥曲线的定义和标准方程例1(1)(2018江苏省南京师大附中模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是y2x，它的一个焦点与抛物线y220x的焦点相同，则双曲线的方程是_答案1解析由题意得2，c5，再由c2a2b2得a25，b220，故双曲线的方程是1.(2)(2018南通等六市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x21有公共的渐近线，且经过点P
2、，则双曲线C的焦距为_答案4解析双曲线C 与双曲线x21有公共的渐近线，设双曲线C的方程为x2(0)，双曲线C经过点P，413，双曲线C的方程为1.双曲线C的焦距为24.思维升华(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF1PF2F1F2，双曲线的定义中要求|PF1PF2|F1F2.(2)注意数形结合，画出合理草图跟踪演练1(1)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是_答案(1,3)解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|
3、m|4，解得|m|1，1n0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线方程为_答案y23x解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线与x轴的交点为G，设BFa，则由已知得BC2a，由抛物线定义，得BDa，故BCD30，在RtACE中，AEAF3，AC33a，由2AEAC，得33a6，从而得a1，FC3a3.pFGFC，因此抛物线方程为y23x.热点二圆锥曲线的几何性质例2(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.
4、若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为_答案解析设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，cOB2.又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.思维升华解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和
5、双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等跟踪演练2(1)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB3BC，则E的离心率是_答案2解析由已知得AB，BC2c，232c，又b2c2a2，整理得2c23ac2a20，两边同除以a2得22320，即2e23e20，解得e2或e(舍去)(2)(2018江苏省盐城中学模拟)已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，(*)将y2b2x2代入(*)
6、式，解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.热点三直线与圆锥曲线例3已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若AFBF4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_答案解析设左焦点为F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形AFBF4，AFAF04，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e.思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件0.涉及中点问题也可以用点差法跟踪演练3(1)过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐
7、近线于R，Q两点，则的值为_答案a2解析设P，则R，Q，于是 x2y2a2.(2)已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b_.答案解析由双曲线x21知渐近线方程为y2x，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为b2x2(b25)y2(b25)b2，联立渐近线与椭圆方程消去y，得x2，又C1将线段AB三等分，2，解得b2.b.1(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为_答案2解析双曲线的渐近线方程为bx
8、ay0，焦点F(c,0)到渐近线的距离db.bc，ac，e2.2(2017江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_答案2解析渐近线方程为yx，右准线方程为x，得P，Q坐标分别为.PQ，F1F22c4，所以四边形F1PF2Q的面积等于42.3已知双曲线C：1(a0，b0)，过双曲线C的右焦点F作C的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM与y轴交于点P，且FM4PM，则双曲线C的离心率为_答案解析双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，右焦点F，过F与渐近线垂直的直线为y，由可解得xM，yM，在y中，令
9、x0，可得yP，FM4PM，4，c4，整理得5a2c2，则e25，e，即双曲线C的离心率为.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析联立方程组解得B，C两点坐标为B，C，又F(c,0)，则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得c2a20，(*)又因为b2a2c2.代入(*)式可化简为，则椭圆离心率为e.5(2018无锡期末)已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_答案8解析由已知c2，F1，F2，e
10、.又双曲线C与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，a2b2c24，ec2，a21，b23 ，则双曲线C: 1.P 在右支上，PF1PF2，根据双曲线的定义有PF1PF22a2，PF12PF2 ，PF2PF4PF24， PF24248，当且仅当PF22时等号成立故的最小值为8.A组专题通关1若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知，a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m2.2(2018淮安等四市模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，则该双曲线的离心率为_答案解析yxx，所以，得离心率e.3在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1(a0)的一
11、条渐近线与直线y2x1平行，则实数a的值是_答案1解析由双曲线的方程可知其渐近线方程为yx.因为一条渐近线与直线y2x1平行，所以2，解得a1.4在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为_答案解析由题意设抛物线方程为y22px(p0)，又因为过点P(1,3)，则p.即为焦点到准线的距离5在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_答案4解析设右焦点为F(4,0)把x3代入双曲线方程得y，即M(3，)由两点间距离公式得MF4.6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过
12、点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为_答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立，解得a24，b23，所以双曲线的方程为1.7直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为_答案解析如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtFOB中，OFOBBFOD，即cbab，解得a2c，故椭圆离心率e.8在平面直角坐标系xOy中，经过点(0, )且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为_答案解析
13、设直线l的方程为 yk，即ykx，与椭圆方程联立可得 x24kx20，直线与椭圆有两个不同的交点，则280，解得k的取值范围为.9(2018扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2y26y50没有交点，则双曲线离心率的取值范围是_答案解析圆的方程可化为x224，双曲线的渐近线方程为bxay0，依题意有 2，整理得3a2c，e1，双曲线离心率的取值范围是.10已知椭圆方程为1，若点M为右准线上一点，点A为椭圆C的左顶点，连结AM交椭圆于点P，则的取值范围是_答案解析设点P的横坐标为x0，则1，4x04，1，的取值范围是.B组能力提高11已知双曲线C：1(a0，
14、b0)的一条渐近线与直线3xy30垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(xc)2y22与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为_答案2解析由已知，得1，所以.由点F(c,0)到渐近线yx的距离d，可得c，则2c2.12已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_答案1解析由圆C：x2y26x50，得(x3)2y24，因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0)，所以c3，又双曲线的两条渐近线bxay0均和圆C相切，所以2，即2，又因为c3，所以b2，即a25，所以该双曲线的方程为1.13已知F1，F2为椭圆1的左、右焦点，若M为椭圆上
15、一点，且MF1F2的内切圆的周长等于3，则满足条件的点M有_个答案2解析由椭圆方程1可得a225，b216，a5，b4，c3.由椭圆的定义可得MF1MF22a10，且F1F22c6，MF1F2的周长为MF1MF2F1F210616.设MF1F2的内切圆的半径为r，由题意可得2r3，解得r.设M(x0，y0)，则(MF1MF2F1F2)rF1F2|y0|，即166|y0|，解得|y0|4.y04，M(0,4)或M(0，4)即满足条件的点M有2个14(2018江苏省盐城中学期末)已知椭圆C1：1与圆C2：x2y2b2，若椭圆C1上存在点P，由点P向圆C2所作的两条切线为PA, PB且APB60，则
16、椭圆C1的离心率的取值范围是_答案解析因为APB60，所以POB60，在Rt POB中，由OBb，得PO2b，由点P在椭圆上知， bPO2ba，所以4b24a2，解得e，又知0e0，b0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k20，则|k1|4|k2|的最小值为_答案4解析设M(p，q)，N(p，q)，P(s，t)，则1, 1，两式相减整理得，又双曲线1的离心率为2，2，4，3，由斜率公式可得k1k23，k1与k2同号，|k1|4|k2|244，当且仅当|k1|4|k2|，即k14k2时等号成立，|k1|4|k2|的最小值为4.16.如图，已知椭圆C1：1(ab0)和圆C2：x2y2r2都过点P(1,0)，且椭圆C1的离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D，且k1k2，若直线BC恒过定点Q(1,0)，则_.答案2解析因为椭圆过点P(1,0)，所以a1，又椭圆的离心率为，所以c，则b21，故C1：x22y21，又由题意得圆C2：x2y21.由x2y21与yk1(x1)联立，消去y得(k1)x22kxk10，解得x1或x，故B，同理可得C.因为B，C，Q三点共线，所以，解得k12k2，故2.
江苏省2022高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案
