常微分方程的求解方法课件

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1、33常微分方程的求解方法1 9 9. .4 4 二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程 二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的一一般般形形式式为为)(xfqyypy 其其中中 qp 和和 是是实实常常数数，)(xf 是是已已知知函函数数。 当当 0)( xf 时时，形形式式为为0 qyypy称称为为二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程。 例如例如034 yy 如如果果 0)( xf，那那么么 )(xfqyypy 就就称称为为二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程。 例如例如xeyy234 33常微分方程的求解方法2 以以下下讨讨论论上上面面两两

2、种种微微分分方方程程的的解解法法。 补充内容补充内容 （教教材材使使用用但但没没有有讲讲解解的的内内容容） 首首先先给给出出定定义义在在区区间间 ),(ba上上一一组组函函数数)( , ),( ),(21xyxyxyn线线性性无无关关和和线线性性无无关关的的概概念念。 如如果果存存在在 个个 n不不全全为为零零的的常常数数 nkkk,21，对对于于任任意意),(bax 都都有有02211 nnykykyk则则称称这这组组函函数数在在区区间间 ),(ba 内内线线性性相相关关，否否则则称称为为线线性性无无关关。33常微分方程的求解方法3 例例如如，一一组组 3个个函函数数：1 ,cos ,sin

3、xx 是是线线性性相相关关的的。 【理理由由】 因因为为1cossin22 xx 或或01cossin22 xx 取取, 11 k, 12 k13 k 就有就有01cossin321 kxkxk于于是是，我我们们找找到到了了不不全全为为 0 的的一一组组数数 321 , ,kkk 使使得得上上式式成成立立。因因此此说说，函函数数组组 1 ,cos ,sinxx 是是线线性性相相关关的的。 再再如如，一一组组 3 个个函函数数：1 , ,2xx 是是线线性性无无关关的的。 【理理由由】假假设设线线性性相相关关，则则必必存存在在一一组组不不全全为为 0 的的数数321 , ,kkk 使使得得032

4、21 kxkxk这这是是一一元元二二次次方方程程， 最最多多有有两两个个根根。 换换句句话话说说， 找找不不到到不不全全为为 0的的数数 321 , ,kkk 使使得得上上式式对对任任何何 x都都成成立立。 因因此此，函函数数组组 1 ,2xx 是是线线性性无无关关的的。33常微分方程的求解方法4 【命命题题】如如果果一一组组两两个个函函数数：21, yy 满满足足 kyy 21（常常数数）那那么么 21 yy 和和 线线性性无无关关。 【证证】 假假如如 21 yy 和和 线线性性相相关关，则则必必存存在在不不全全为为 0 的的一一组组数数 21 , kk 使使得得02211 ykyk不不妨

5、妨设设 01 k， 则则1221kkyy 令令,12kkk 得得kyy 21这这与与前前提提 kyy 21 相相矛矛盾盾。因因此此 21 yy 和和 线线性性无无关关。 （证完）（证完） 例例如如 xsin 和和 xcos 的的比比值值 kxxx tancossin （常常数数）表明表明 xsin 和和 xcos 线性无关。线性无关。33常微分方程的求解方法5 （一一）二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程 【定定理理】如如果果 21 yy 与与是是二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程0 qyypy的的两两个个特特解解，而而且且 kyy 21（常常数数） ，则则

6、2211*ycycy 是是其其通通解解，其其中中 21 cc 与与 为为任任意意常常数数。 【证证】 首首先先来来证证明明 2211*ycycy 是是齐齐次次方方程程的的解解，这这只只需需把把它它代代入入到到方方程程中中验验证证。*)*()*(qyypyqyypy )()()(221122112211ycycqycycpycyc 2211ycyc 2211ypcypc 2211qycqyc )(1111qyypyc)(2222qyypyc 33常微分方程的求解方法6 已得到已得到*)*()*(qyypy )(1111qyypyc)(2222qyypyc )*2211ycycy （其其中中因因为

7、为 21 yy 与与 是是齐齐次次方方程程的的解解，所所以以有有0111 qyypy0222 qyypy 其次，因为其次，因为 kyy 21，表明，表明 21 yy 和和 线性无关，在微分线性无关，在微分方方程程的的解解 2211*ycycy 中中的的两两个个任任意意常常数数是是独独立立的的，所所以以它它是是齐齐次次方方程程的的通通解解。 （证完）（证完）33常微分方程的求解方法7注意注意 在在上上面面的的定定理理中中，两两个个特特解解 21 yy 和和 线线性性无无关关的的条条件件是是不不可可缺缺少少的的。 假假设设 kyy 21，则则 21kyy 。此此时时微微分分方方程程的的通通解解22

8、11*ycycy 2221)(yckyc 221)(yckc 2cy 其其中中 21ckcc 是是任任意意常常数数。这这就就是是说说定定理理中中的的解解2211*ycycy 实实质质上上仅仅含含有有一一个个任任意意常常数数，这这个个解解已已经经不不是是通通解解了了（因因为为二二阶阶微微分分方方程程的的通通解解必必须须有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数） 。 因因此此，为为了了求求得得二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解必必须须求得两个线性无关的特解。求得两个线性无关的特解。33常微分方程的求解方法8 现现在在来来求求二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分

9、方方程程 0 qyypy 的的两两个个线线性性无无关关特特解解。 什什么么样样的的函函数数满满足足这这个个方方程程？ 指指数数函函数数 rxey 有有一一个个特特点点：其其导导数数含含有有自自身身，即即 rxrxreey )( rxrxerey2)( 把把式式 和和 代代入入到到 中中，得得02 rxrxrxqepreer由由于于 0 rxe，在在上上式式中中约约去去 rxe，得得 02 qprr 这这表表明明方方程程 02 rxrxrxqepreer与与 02 qprr是等价的。是等价的。33常微分方程的求解方法9由由上上可可知知：为为了了求求微微分分方方程程方方程程 的的特特解解，可可以以

10、求求形形式式为为rxey 的的特特解解，而而且且求求解解代代数数方方程程 就就可可以以了了。 换换句句话话说说，如如果果 r是是方方程程 的的一一个个根根，则则 rxey 就就是是微微分分方方程程 的的一一个个特特解解。 代代数数方方程程 02 qprr称称为为二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程0 qyypy的的 特特 征征 方方程程 。 把把 2 ry改改为为 ，ry 改改为为 ，1 0)0( ryy改改为为，就就可可以以由由二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的特特征征方方程程。 前前面面已已经经说说明明，求求解解二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微

11、分分方方程程的的特特征征方方程程转转为为求求解解其其特特征征方方程程。这这是是一一元元二二次次方方程程，分分三三种种情情况况。33常微分方程的求解方法100 2 qprr特特征征方方程程 （1 1）相异实根）相异实根（判别数（判别数 042 qp） 两两个个不不等等实实根根为为,2421qppr 2422qppr 这这样样我我们们就就得得到到原原微微分分方方程程的的两两个个特特解解,11xrey xrey22 因因为为 keyyxrr )21(21（ k为为常常数数） ，所所以以这这两两个个特特解解是是线线性性无无关关的的。 于是，得到原微分方程的通解为于是，得到原微分方程的通解为xrxrec

12、ecy2121* 33常微分方程的求解方法11 【例例 1】 求求 0103 yyy 的的通通解解 。 【解解】 特特征征方方程程为为 01032 rr其其根根为为 21 r， 52 r所所求求通通解解为为 xxececy5221* （2 2）重重根根（判判别别数数 042 qp） 特征方程仅有一个实根特征方程仅有一个实根 21pr 由由此此可可以以得得到到原原微微分分方方程程的的一一个个特特解解xpey21 33常微分方程的求解方法12 下下面面来来证证明明 12xyy 或或xpxey2 2 是是与与 xpey2 1 线线性性无无关关的的另另一一个个特特解解。 【证证】把把 12xyy 代代

13、入入到到原原方方程程的的左左边边： )()()(111xyqxypxyqyypy 11111)()(qxyyxypyxy 111111qxyypxpyyxyy )(211111qyypyxpyy 112pyy )(222 pppee 22 22pppeep 0 33常微分方程的求解方法13 又又因因为为22 21p pxeeyy x1 k （常常数数） 所所以以上上面面所所求求得得的的两两个个特特解解,21xpey xpxey22 是是线线性性无无关关的的。（证完）（证完） 于于是是得得到到所所求求通通解解是是2 2 21*pxpxececy 或或 2 )(*21pexccy （解完）（解完）

14、33常微分方程的求解方法14 【例例2 2】 求求044 yyy 的的通通解解。 【解解】 特特征征方方程程为为0442 rr有有等等根根为为 21 r（得两个特解：（得两个特解：xe2，xxe2）所所求求通通解解为为 xexccy221)(* 33常微分方程的求解方法15 （3 3）共轭复根）共轭复根（判别数（判别数 042 qp） 这这时时特特征征方方程程的的两两个个根根为为2422, 1qppr 设设,2p ,242pq 1 i 则则,1 ir ir 2这这是是两两个个共共轭轭复复根根。 原原方方程程的的两两个个特特解解为为 xre1 xie)( xixee xre2 xie)( xix

15、ee 这这两两个个特特解解含含虚虚数数。利利用用欧欧拉拉公公式式可可以以求求得得实实数数特特解解。33常微分方程的求解方法16利利用用欧欧拉拉公公式式（教教材材中中没没有有提提到到它它，现现列列于于此此供供欣欣赏赏） sincos iei 可可以以把把两两个个特特解解改改写写为为xixxreee 1xiexexx sincos xixxreee 2xiexexx sincos 然然后后，很很容容易易验验证证,cos1xeyx xeyx sin2 都是原方程都是原方程 0 qyypy 的解。的解。（即即把把 xeyx cos1 和和 xeyx sin2 分分别别代代入入到到方方程程中中，是是满满

16、足足的的。这这里里不不再再计计算算。 ） 又又因因为为 kxxsixexeyyxx cotcos21（常常数数） ，所所以以 xeyx cos1 和和 xeyx sin2 是是线线性性无无关关的的。33常微分方程的求解方法17最最后后，我我们们得得到到如如下下的的通通解解 )sincos(*21xcxceyx 【例例 3 3】 求求 0134 yyy 的的通通解解。 【解解】 特特征征方方程程 01342 rr其其根根 21344422 , 1 r = = i 32 （得得到到两两个个特特解解为为 xeyx3cos21 和和 xeyx3sin22 。 ）所所求求通通解解为为 )3sin3cos

17、(*212xcxceyx 33常微分方程的求解方法18小结 求求方方程程 0 qyypy 通通解解的的步步骤骤： 第第一一步步，写写出出特特征征方方程程 02 qprr 第第二二步步，求求出出特特征征方方程程的的根根。分分三三种种情情况况： （1 1）不不等等实实根根（判判别别数数 042 qp ） 2421qppr ， 2422qppr 则则得得到到两两个个特特解解,11xrey xrey22 通通解解为为 xrxrececy2121* 33常微分方程的求解方法19 （2 2）重根）重根（判别数（判别数 042 qp） 特征方程仅有一个实根特征方程仅有一个实根 21pr 两两个个线线性性无无

18、关关的的特特解解为为,2 1xpey xpxey2 2 通通解解为为xpexccy2 21)(* 33常微分方程的求解方法20 （3 3）共共轭轭复复根根（判判别别数数 042 qp） 特特征征方方程程的的两两个个根根为为,1 ir ir 2 其其中中,2p 242pq 两特解为两特解为,cos1xeyx xeyx sin2 通解为通解为)sincos(*21xcxceyx 33常微分方程的求解方法21 （二二）二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程 二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程的的一一般般形形式式为为 )(xfqyypy 与与其其对对应应的的齐齐

19、次次方方程程是是 0 qyypy 【定定理理9 9. .2 2】 如如果果 y是是非非齐齐次次方方程程 的的特特解解，而而 *y是是对对应应齐齐次次方方程程 的的通通解解，则则和和式式 *yyy 是是非非齐齐次次方方程程 的的通通解解。 【证证】 因因为为 y是是非非齐齐次次方方程程 的的特特解解，所所以以有有)(xfyqypy 又又因因为为 *y是是对对应应齐齐次次方方程程 的的通通解解，所所以以有有0*)*()*( qyypy33常微分方程的求解方法22把把 *yyy 代代入入方方程程 的的左左边边，得得*)()*()*(yyqyypyyqyypy yqypy *)*()*(qyypy 0

20、)( xf)(xf 这这证证明明了了*yyy 是是非非齐齐次次方方程程 的的解解。又又因因为为齐齐次次方方程程 的的通通解解 *y中中含含有有两两个个任任意意常常数数，所所以以 *yyy 也也是是非非齐齐次次方方程程 的的解解。（证完）（证完） 由由这这个个定定理理可可知知，求求非非齐齐次次方方程程 的的通通解解，归归结结为为求求它它的的一一个个特特解解 y及及对对应应的的齐齐次次方方程程 的的通通解解 *y，然然后后取取和和式式 *yyy ，即即求求得得非非齐齐次次方方程程 的的通通解解。 因因此此，我我们们需需要要讨讨论论如如何何求求得得非非齐齐次次方方程程 的的特特解解。33常微分方程的

21、求解方法23 对对于于某某些些特特别别简简单单的的二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐次次方方程程，其其特特解解可可以以通通过过观观察察法法看看出出来来。 【例例 1 1】 （3 38 88 8 页页） 求求非非齐齐次次方方程程 xyy5 的的通通解解。 【解解】 对对应应齐齐次次方方程程 0 yy 的的特特征征方方程程为为012 r其根为其根为 12 , 1 r。由由此此得得到到齐齐次次方方程程通通解解 xxececy 21*。 观观察察方方程程,5xyy ? y 可使方程满足。可使方程满足。因因为为一一次次函函数数 baxy 的的二二阶阶导导数数为为0，所所以以不不考考虑虑方方程程中中的的

22、 y 。设设特特解解为为 y，则则xyy5)( xy5 xy5 因此通解为因此通解为yyy* xececxx521 （解完）（解完） 对对于于一一般般非非齐齐次次方方程程，观观察察法法不不好好用用。33常微分方程的求解方法24 下下面面介介绍绍一一种种求求非非齐齐次次方方程程特特解解的的方方法法常常数数变变易易法法。用常数变易法求非齐次方程的特解用常数变易法求非齐次方程的特解 考考虑虑二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程 )(xfqyypy 与与其其对对应应的的齐齐次次方方程程是是 0 qyypy 假设已经求得齐次方程假设已经求得齐次方程 的通解的通解2211ucucy 其

23、其中中 21 , cc 是是任任意意常常数数，而而 21 , uu 是是齐齐次次方方程程 的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解。 现在我们求非齐次微分方程现在我们求非齐次微分方程 如下形式的特解：如下形式的特解： 2211uvuvy 其其中中 )(11xvv 和和 )(22xvv 是是两两个个待待定定的的函函数数。33常微分方程的求解方法25 公式公式 是把是把齐次方程齐次方程 的通解的通解 2211ucucy 中的中的21 cc 和和 分分别别换换为为 )(11xvv 和和 )(22xvv 而而得得到到的的。 下下面面把把 2211uvuvy 代代入入到到非非齐齐次次微微分分方方程程 中

24、中，为为此此求求一一阶阶和和二二阶阶导导数数： )(22112211uvuvuvuvy 因因为为待待定定函函数数 )(11xvv 和和 )(22xvv 有有无无穷穷多多个个，但是我们只需各一个，所以可以对待定函数添加条件。但是我们只需各一个，所以可以对待定函数添加条件。 添添加加的的条条件件是是 02211 uvuv 于于是是 2211uvuvy 对对此此式式再再求求一一次次导导数数，得得 )(22112211uvuvuvuvy 33常微分方程的求解方法26把把式式 、 都都代代入入到到式式 中中，经经整整理理得得)()(22221111quupuvquupuv )(2211xfuvuv 因因

25、为为 21 , uu 都都是是齐齐次次方方程程 的的特特解解，所所以以上上式式变变为为 )(2211xfuvuv 这这是是待待定定函函数数 )(11xvv 和和 )(22xvv 必必须须的的另另一一个个条条件件。 综综上上，两两个个待待定定函函数数 21 vv 和和 满满足足如如下下方方程程组组： )( 022112211xfvuvuvuvu要要求求记记住住这这个个方方程程组组。作作题题时时使使用用。33常微分方程的求解方法27因为因为 21 uu 和和 是线性无关的，即是线性无关的，即 21uu 不等于常数，不等于常数，并并且且上上面面方方程程组组的的系系数数行行列列式式 12212121u

26、uuuuuuu 2122uuu0 所所以以上上面面关关于于待待定定函函数数 21 vv 和和 的的线线性性方方程程组组有有惟惟一一解解。 解出解出 21 vv 和和 后，再分别积分，即求得后，再分别积分，即求得 21 vv 和和。从而。从而求求出出原原来来非非齐齐次次微微分分方方程程的的一一个个特特解解2211uvuvy 33常微分方程的求解方法28 【例例 2 2】 非非齐齐次次微微分分方方程程 xxeyyy 23 的的通通解解。 【解解】 相相应应齐齐次次微微分分方方程程的的特特征征方方程程为为0232 rr其其根根为为 11 r，22 r齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解为为xxece

27、cy221* 设设原原方方程程有有特特解解 xxexvexvy221)()( 其其中中待待定定函函数数 )(11xvv 和和 )(22xvv 满满足足 xxxxxxeveveveve2212212 0 约约去去 xe，得得 xxxxevevvev21212 0 33常微分方程的求解方法29解解得得 xv 1， xxev 2积积分分得得 2121 xxdxv dxxevx2 xxde xex 1于于是是得得到到非非齐齐次次方方程程的的特特解解为为xxexvexvy221)()( xxexex)1(21 2 xexx 1212最最后后得得到到非非齐齐次次方方程程的的通通解解为为*yyy xxxec

28、ecexx2212121 33常微分方程的求解方法30补充内容（掌握这个补充内容，才可能读懂参考书）（掌握这个补充内容，才可能读懂参考书） 求求解解非非齐齐次次方方程程)(xfqyypy 特特解解的的关关键键是是，正正确确地地写写出出特特解解形形式式。 下下面面，介介绍绍三三种种右右端端项项为为简简单单函函数数（常常数数、一一次次函函数数和和指指数数函函数数）的的非非齐齐次次方方程程的的特特解解形形式式。 第第一一形形式式 aqyypy （即即 axf )(） 0 时，时，当当 q 特解为特解为qay 0, 0 时时，当当 pq 特解为特解为xpay 第第二二形形式式 baxqyypy （即即

29、 baxxf )(） 第第三三形形式式 bxaeqyypy （即即 bxaexf )(）33常微分方程的求解方法31 第第二二形形式式 baxqyypy （即即 baxxf )(） 【结结论论】 （推推导导省省略略） 特征方程特征方程02 qprr 情情况况 件件条条 特解形式特解形式10 q 0不是特征方程的根）不是特征方程的根）（BAxy 2, 0 p0 q 0是是单单根根）（)(BAxxy 3, 0 p0 q 0是是重重根根）（)(2BAxxy 【补补充充例例题题 1 1】1432 xyyy 特解形式特解形式BAxy 【补补充充例例题题 2 2】142 xyy 特解形式特解形式)(BAx

30、xy 【补补充充例例题题 3 3】14 xy 特解形式特解形式)(2BAxxy 下下面面把把这这三三个个例例题题的的特特解解计计算算出出来来。33常微分方程的求解方法32【补补充充例例题题 1 1】1432 xyyy 特解形式特解形式BAxy 【解解】,Ay 0 y,BAxy 代入方程中代入方程中14)(320 xBAxA 或或1423 xBAAx比比较较等等号号两两边边 x的的系系数数，得得 43 A12 BA 解解得得,34 A35 B特特 解解 为为3534 xy33常微分方程的求解方法33【补补充充例例题题 2 2】142 xyy 特解形式特解形式)(BAxxy 【解解】,2BAxy

31、Ay2 ),(BAxxy 代入方程中代入方程中14)2(22 xBAxA 或或14224 xBAAx比比较较等等号号两两边边 x的的系系数数，得得 44 A122 BA 解解得得, 1 A21 B特特 解解 为为21 xy33常微分方程的求解方法34【补补充充例例题题 3 3】14 xy 特解形式特解形式)(2BAxxy 【解解】),(2BAxxy ,232BxAxy BAxy26 代入方程中代入方程中1426 xBAx比比较较等等号号两两边边 x的的系系数数，得得 , 46 A12 B,32 A21 B特特 解解 为为232132xxy 【解解二二】 本本题题通通过过两两次次积积分分，即即可

32、可以以得得到到通通解解。 dxxy)14(122cxx dxcxxy)2(12 21232132cxcxx 33常微分方程的求解方法35 【例例 1 1】 （3 38 88 8 页页） 求求非非齐齐次次方方程程 xyy5 的的通通解解。 【解解】对对应应齐齐次次方方程程 0 yy 的的特特征征方方程程为为012 r其根为其根为 12 , 1 r。由由此此得得到到齐齐次次方方程程通通解解 xxececy 21*。 因因为为 0 不不是是特特征征方方程程的的根根，所所以以其其特特解解形形式式为为BAxy 把把此此式式代代入入原原方方程程中中，得得xBAx5)( 比比较较等等式式两两边边 x同同幂幂

33、的的系系数数，得得, 5 A0 B因因此此得得到到特特解解为为xy5 所求通解为所求通解为 xececyyyxx5*21 注意 教教材材中中求求特特解解时时使使用用的的是是观观察察法法（严严格格说说来来这这不不是是方方法法） 。33常微分方程的求解方法36 第第三三形形式式 bxaeqyypy （即即 bxaexf )(） 【结结论论】 （推推导导省省略略） 特征方程特征方程02 qprr 情情况况 件件条条 特解形式特解形式1 不不是是特特征征方方程程的的根根b23 是特征方程的单根是特征方程的单根b 是是特特征征方方程程的的重重根根bbxAey bxAxey bxeAxy2 【1 11 1 题题（2 2） 】1432 xyyy 特解形式特解形式BAxy 【补补充充例例题题 5 5】142 xyy 特解形式特解形式)(BAxxy 【补补充充例例题题 6 6】14 xy 特解形式特解形式)(2BAxxy 下下面面把把这这三三个个例例题题的的特特解解计计算算出出来来。