(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)

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1、余弦定理的证明方法大全（共十法）一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍，即在AABC中，已知AB=c,BC=a,CA=b，则有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在AABC中，已知AB=c,AC=b，及角A,求证：a2二b2+c2-2bccosA.C图1证法一：如图1,在AABC中，由CB二AB-AC可得:CB-CB=(AB-AC)-(AB-AC)=AB2+AC2-2AB-AC=b2+c2-2bccosA即，a2二

2、b2+c2-2bccosA.证法二:本方法要注意对ZA进行讨论.(1)当ZA是直角时，由b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos900=b2+c2=a2知结论成立.当ZA是锐角时，如图2-1,过点C作CD丄AB，交AB于点D,则在RtAACD中，AD=bcosA,CD=bsinA.从而，BD=AB-AD=c-bcosA.C在RtABCD中，由勾股定理可得：BC2=BD2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA+b2即，a2=b2+c2-2bccosA.说明：图2-1中只对ZB是锐角时符合，而ZB还可以是直角或钝角若ZB是直角，图中的点D就与点B重合；若

3、ZB是钝角，图中的点D就在AB的延长线上.当ZA是钝角时，如图2-2,过点C作CD丄AB，交BA延长线于点D,则在RtAACD中，AD=bcos（兀-A）=_bcosA,CD=bsin（兀-A）=bsinA.从而，BD二AB+AD二c-bcosA.在RtABCD中,由勾股定理可得：BC2=BD2+CD2=(c一bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA+b2即，a2=b2+c2-2bccosA.综上，（2）,（3）可知，均有a2=b2+c2-2bccosA成立.证法三:过点A作AD丄BC,交BC于点D,则BDAD在RtAABD中，sina=,cosa=ccCDAD在RtAACD中，

4、sinP=,cosp=bb由cosA=cos(a+P)=cosacosP-sinasinP可得:C图2-2图3人ADADBDCDAD2-BD-CDcosA=-=cbcbbc2AD2-2BD-CD=c2-BD2+b2-CD2-2BD-CD2bc2bcb2+c2-(BD+CD)2b2+c2-a22bc2bc证法四:在AABC中,由正弦定理可得asinAbsinBccsinCsin(A+B)从而有bsinA=asinB,csinA=asin(A+B)=asinAcosB+acosAsinB.整理可得a2=b2+c2-2bccosA.将带入，整理可得acosB=c-bcosA将，平方相加可得a2=(c

5、一bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2一2bccosA.即，a2=b2+c2一2bccosA.证法五:建立平面直角坐标系（如图4）,则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2=(c一bcosA)2+(bsinA)2=c2一2cbcosA+b2.即，a2=b2+c2一2bccosA.证法六:在AABC中，由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于是，a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)=4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B

6、+sin2C一2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)=4R2(sin2B+sin2C一2sinBsinCcosA)=(2RsinB)2+(2RsinC)2一2(2RsinB)(2RsinB)cosA=b2+c2一2bccosA即,结论成立.证法七:在AABC中，由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于是，a2=b2+c2-2bccosAo4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C一8R2sinBsinCcosAo2sin2A=2sin2B+2sin2C一4sinBs

7、inCcosAo2sin2A=2一cos2B+cos2C一4sinBsinCcosAo2一2cos2A=2一2cos(B+C)cos(B一C)一4sinBsinCcosA由于cos(B+C)=cos(x-A)=-cosA,因此ocos2A=cos(B+C)cos(B一C)+2sinBsinCcosAocosA=-cos(B一C)+2sinBsinCocosA=-cosBcosC+sinBsinC=-cos(B+C).这，显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C为圆心，以CA=b为半径作OC,直线BC与OC交于点D,E，延长AB交OC于F，延长AC交OC于G则由作图过程知AF=2bcosA

8、,故BF=2bcosA-c.由相交弦定理可得：BA-BF=BD-BE,即，c-(2bcosA-c)=(b+a)-(b-a),整理可得：a2=b2+c2-2bccosA证法九:如图6,过C作CDAB，交AABC的外接圆于D,则AD=BC=a,BD=AC=b.分别过C,D作AB的垂线，垂足分别为E,F，则AE=BF=bcosA，故CD=c-2bcosA由托勒密定理可得AD-BC=AB-CD+AC-BD,即，a-a=c-(c-2bcosA)+b-b.整理可得：a2=b2+c2-2bccosA证法十：由图7-1和图7-2可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2,图6图7-1图7-2整理可得：a2=b2+c2-2bccosA余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询第5页共4页