从Logistic模型走向混沌

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1、从 Logistic 模型走向混沌为进一步了解混沌的意义，我们考虑 离散动力系统Xn . 1二 f (Xn ), n=0,12 -这是一个差分方程微分方程通过差分化可化为差分方程种群(昆虫)模型中按代计算其种群数(虫口数)而两代之间不重迭时便可用差分方程表示，此时其模 型又称为 虫口模型最简单的虫口模型是 Logistic 方程Xn 1 =心(LxJ(*)这是一个单参数离散动力系统，如图1090.8W0.70 60.50.40 30 20.1-1.1 0 Q 0.10.20.30.4D.5Q.6070.8D.91函数有两个不动点如有X1=x0，称x0为不动点，当xn二x0而x0, x1，xn4

2、互不相等时称x0为周期n点.易证明当0二：3时不 管初值X0(0,1)如何方程的_i解即n宀 时的点xn均收敛于不 动点x= 1而当3 “6时初值Sr 2X0 E (0,1)的方程(6.60)的解收敛于两个周期2点咅飞1 XT X)因此=3为方程(6.60)的分支点随着：的逐渐增大，方程(6.60)从两个周期2点变为四个周期 4点，再八个周期8点，等等这种逐步加倍的分支称为倍分支用计算机可绘 出方程(6.60)的参数与周期点关系的倍分支图，如图(6.35).当,一.3.569945673时方程(6.60)出现混沌解 Xn (n二0丄)可能不收敛于任何点，到处游荡，是一个奇异吸引子且存在对初值的

3、敏感性。泾日晶庵经力c資筛几I酉逻|酉锚卸Jg程| st血J 凶1*=4；23-rdx；4for i-2：2；10M50y(ij-a*K (i t；K (1)7ey fit! )=y(i 1;9J-&.end10-=plot Gc; y)；iihold Ch;12w=0：0.01：l;13z=a.# (Hw J14-M -plot:15pli*t & 2)；16hold off;I M1f切刚二朗翹gmD a? H S T A Z Z 妙 Q Ca=3.3a=3.58 QA Z / 妙 Q Cooooooooooo oo8a7 oa4on|D Q 昌 ITV A 7 z 釦*a=3.8350

4、-LJL丄XU.J-J00.1 0J 0304050607 0S 0.91H(x)图（6.34） 虫口模型33.449 3.544 3.649图（635）倍分支图d Ha a b c且I中有一个不含周期点的不可列集S,满足(A)对S中的每两个p, q有imn ()0, lim1 n厂fn ( p)_fn(q)f n(p)(B)对S中的每一个p及I中的周期点q有lim-后来人们就把满足Li-York定理Li-York定理给出了混沌的严格数学定义对线段上的连续映象，李天岩和York曾给出著名的“周期3蕴涵混沌”的 定理(Li-York混沌定理) 设I是一个区间,f : 1,1连续如I中有一点 a

5、,使 b f (a), c f (b), d 二f (c)满足d 上 a ： b ： ： c(6.61)则对每一个k二1,2,，在I中有f的一个周期k的周期点.结论的集合称为Li-York混沌集.后来发现,可以将相空间中Lorenz方程的轨线 通 过Pocincare映射 映射为z二c斗平面上的F ( u, v),而进一步 可分 解为 图(6.36)所示 , 从而说明 Lorenz 方程存在混沌 28,31图(6 . 36) Lorenz 方程的 Poincare 映射李天岩和 York 首先给出了混沌的数学定义，但仅对线段映射而言 . 后来又 出现各种混沌的定义，而且发现了多种满足混沌性态的

6、系统，如 Henon 映射、强 迫 Duffing 方程等 . 同时进一步探讨通向混沌的道路，研究判断混沌的各种方 法，以及发现在物理、力学、化学、气象、股票市场等自然科学、社会科学中的 混沌 .由 Lorenz 方程引发的混沌的概念出现后，人们发现已在早期研究过的 KAM定理、Smale马蹄、Melnikov定理中亦存在混沌，这是与Li-York混沌不同的另 一类型的混沌 . 后面将接着进行介绍 ( 见 6.6).C.典故(8) Lorenz 吸引子 E.N.Lorenz 毕业于麻省理工学院 (M.I.T.) 气象系，1948 年起在 M.I.T. 做博士后工作，主要兴趣在全球和大陆尺度的大

7、气结构动力学.1955年得到了 M.Thomas辞职而空缺的位置和科研项目项目是用计算机统计 天气预报，当时用的是线性统计方法 . 他接手后提出用不是线性类型的方程组进 行检验选择了大大简化被滤波的数值天气预报方程式，并购买了内存为4k32bi 字长的小型计算机，一次乘法约17ms,打印一行数字约10s.开始时选择14个变量的方程组， 经压缩又压缩， 最后变成 12个. 参数中包含驱动模式天气所需要的 外热源的强度和分布，这样可以改变参数进行试验 . 但总是出现毫无用处的稳定 状态 . 经多次试验后，最后发现了一个解，它明显地模拟出在用水模拟地球空气的 转盘实验中所观察到的振荡 .这时，他认识

8、到需要一个解是非周期的方程组才可能 否定线性预报 . 这是 1959年，他准备将这碰巧找到的一个合适的方程组及其试验 结果写成 “动力方程组解的统计预报” 报告参加在东京举行的数值天气预报 会议 . 在进一步进行试验时，数值方法是以 6 小时为增量计箅未来天气， 4 步即 1 天打印 1 次 12-14个变量值，约 1分钟模拟 1天. 为把打印出的数值排成 1行， 数值四舍五入到三位数字 . 有一次，为了更为详细地检查，决定重复某些计算 . 停机后重新输入再进行计算，他在走廊上喝了一杯咖啡，约 1 小时，计算机已模 拟了 1个月的天气 . 但打印出不同的数值，开始以为是真空管或其他计算机部件坏

9、 了 . 经检查才发现是输入时因舍入误差引起的 . 从而发现了方程组的解对初值敏感 这个混沌现象 .1961 年到 M.Thomas 建立的旅行者天气中心访问时， B.Seltzmann 告诉他用下面加热产生的对流流体运动的 7 个方程的方程组的数值 解中有一个解稳定不下来， 经查看其中 4个变量很快变得非常小 . 他回到 M.I.T. ，取 仅有3个变量的方程组，得到了他长期寻找的系统这便是Lorenz方程，它并不能 非常好地描述实际对流运动， 主要说明一个确定性的系统能以最简单的方式 表现出非周期的形态 当时是湍流研究的热潮 他以“确定性的湍流”为题投稿气 象科学杂志，编辑认为方程缺少湍流

10、的性质，改以“确定性的非周期流”发表 由 于Lorenz方程的解有界但是在两个不稳定状态中交替且不规则地振荡，与一 般的吸引子不同，是一个奇异吸引子 1963-1964 年 Lorenz 在气象科学杂志等 杂志上发表了 4 篇有关论文 但仅在气象学家中流传 1972 年 Lorenz 还为美国科学 发展协会会议准备一份报告和新闻公报，其题目为“可预报性： 在巴西一只蝴蝶翅 膀的拍打能够在美国得克萨斯州产生一个龙卷风吗？” .Lorenz被称为“蝴蝶效应” 提出者，混沌理论之父.Lore nz于2008年4月16日逝世，享年90岁.虽然Lorenz已发现了混沌现象但还需要靠数学家的努力才能得到科

11、学界的公认， 成为一门新学科，这是另一个故事了 (见后 ). 文 39(9) Li-Yorke混沌的故事 混沌的定义是首先由李天岩和在论文“周 期 3 蕴含混沌”中给出的， 这篇开创混沌新学科的文章的发表经过后来由李天岩作 了介绍 .1972年左右李天岩是美国马里兰大学的研究生，他的博士导师J.A.Yorke 在大学的“流体动力学与应用数学所”工作，所里有一个气象研究项 目，由 A.Felle 教授主持 .1972 年 A.Felle 教授将 Lorenz 所写的关于“气象预 测”模式所的 4 篇文章介绍给 Yorke 教授，认为文章过于理论化、数学化，也许 搞数学的会比较感兴趣 . 他们读了

12、那些文章，觉得很有意思 .1973 年 4 月， Yorke 在办公室中对李说“我给你一个好的思想” . 这即是 Li- Yorke 定理，其原始出发点在 Lorenz 的文章中，李当时即说“这太适合数 学月刊了! ”两个星期后， 李完全证明了这个定理 . 他们写好文章，真的投给数 学月刊 . 但给退了回来，认为过于偏向研究性，不宜发表，或转寄或修改 .因文 章内容与李的博士论文无关 . 李把它压了下来 .1974 年是马里兰大学数学系的生物数学“特别年” ，请了著名的普林斯顿大 学 R.May 教授来校讲学，最后一次介绍 Logistic 离散模型，提及当参数较大时迭 代值在整个区间中四处跑，他无法解释这现象，认为也许是计算误差所 致 .Yorke 在送 May 上飞机时，把那篇在桌上躺了近一年的文章给他看， May 看后 大吃一惊，认为文章很大程度上解释了他的疑问 .Yorke 回来后即找了李，尽快 修改文章发表 . 这文章最后发表在数学月刊 1975 年 12 月份那期上 （ 文 41）.May 是举世闻名的教授，暑假到欧州讲学时将 Li-Yorke 混沌和 Lorenz 吸 引子四处传播，从而掀起了混沌研究的热潮 . 文 42.