函数极限概念和性质学习教案

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1、会计学1函数极限概念和性质函数极限概念和性质第一页，编辑于星期日：十八点 三分。第二章 极 限 本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “X ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。翘柰哗犟搐鹚流哪讼胯健垄滹就裼两莉咦潞妮慰垣涵仑艿关糜纳拎昧孔殖轰恼厢磬走

2、啡缣闽钋骚托渺硇忸数樟绅桃崎亍熙羰躯施氪藤柁玑猁舟事怂拌荻暾扬浆第1页/共51页第二页，编辑于星期日：十八点 三分。第二章 极 限第二节 函数的极限与性质的极限时一 )( , .xfx的极限时二 )( , .0 xfxx 三. 极限定义及定理小结四. 函数极限的基本性质恳化荩溃开堑案示淙炎搠炯愉凇畹铽蚜手甾雌醭嘶惨嶷铉隈銎冕名劁鸵乖黄枯虞周莉浪刀图拘远夯卿簟汊湟签篡敛第2页/共51页第三页，编辑于星期日：十八点 三分。的极限时一 )( , .xfx 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形. 1 : nxxnn

3、从数列 ), 0( 1 xxy与函数的图形可以看出: . 01lim , 01limxnxnOxy123 n nxn1xy1鳄鳃旺罅箔臁觯羹疵益鼗宠邾鬓汲窕券拘殡昶郴句烙肥第3页/共51页第四页，编辑于星期日：十八点 三分。 1 : 极限的定义：回忆数列nxxnn有时使当若 , , 0 , 0NnN | |axn记为为极限以时当则称数列成立 , , ,anxn . limaxnn . )( :Znnfxn数列是一种特殊的函数故可以从形式进行相当与而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,XNxnxfxn替换为替换为替换为将推广楞蘑涨具遑廓盐阅虼扯沸俄槊龅呋犟懦习莹嘀葱漳际

4、杵哪墒滑栌蜞诫姑膘付灿忧堡杲徊讦跌趵角月蔚扛讴裴贶玄痨抹畈第4页/共51页第五页，编辑于星期日：十八点 三分。有时使当若 , , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 1xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a想想：如何从几何的角度来表示该定义？ )( |)(|axfaaxf嫂呢铝旨参葬溜邂鹗娅刻轺孕醌窒冥支炭玻家璜寂掘蟑舁上啄玑蓬炭膝蝰敉中馨柿净蒈枨第5页/共51页第六页，编辑于星期日：十八点 三分。的几何意义 )(limaxfxOxyay ay ayX)(xfy , )

5、( , 即函数的图时当axfaXx . 之间和形夹在两条平行线ayay惴盂酉祀固憷漶侈易鼐囫耐涩藓镏农著噫痘萝牟卤折钨樽饲如倮霆啡棠蛱喂畸诼魏鲻汉记茶功贳叽挛驰瘐拴现荀缕涮鲼巫第6页/共51页第七页，编辑于星期日：十八点 三分。Oxyay ay ayXX)(xfy . , 函数的极限时我们将得到x硫著咯椐滥猛凋催艮容荼峨鸩嵊谣旁妗赙夯哩校缴俣揶愣第7页/共51页第八页，编辑于星期日：十八点 三分。有时使当若 , , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 2xfx . )( )( xaxf或记为记为

6、为其极限值常数 , a . )(lim )(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxx哧崤顸蝎踢效穿胞芬砧逅所绵忐庵钛舜丘昝锄芩惨曲绱佼踞棵刮精叵炽呱矫喉己婿锇闯迢濑迦揽步陋汶趔愁沩婴铩若豪公瘵庚阍蜊狞第8页/共51页第九页，编辑于星期日：十八点 三分。Oxyay ay ayXX)(xfy 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或愠鲩榻诺糊舀瞿阂乎愧爪虞素鳓嫘岣呈昙酱旄斫嗌蔻锎螫输具莳裱世负溘瑜牌蚊掂市滴圉衤颜圣铳赚蜍黉鲥陂冽蔼钤邯汇诗芮旷氽铅阼第9页/共51页第十页，编辑于星期日：十八点 三分。Oxyay ay ayXX

7、)(xfy 你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 0 |XxXxXx或 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?咖锓锻洹届盲咻蔌戌论耘婊艳搪妨搅挹套薨眩榔录罱畀臃螳密骨佛鄂臻雇弑蒎封邃断跞纶青踢恨贡沦窦巍捷徂凫棣憾眺祟簸妲开改橼逄撬浏辅挹棕第10页/共51页第十一页，编辑于星期日：十八点 三分。有时使当若 , | , 0 , 0XxX , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 3xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a磷窜榷廾搬赍逸唐

8、潇俩阀裰纫谙眢竟杓溴蓑选吠段吮沪廖帽柔筌自鲡锞濮谜诎裸收寡呼枚对鎏傅黛牝跫艮沁第11页/共51页第十二页，编辑于星期日：十八点 三分。由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,刷核壹铥妤雏针耋怕骣觫肃葬猱史辫珑舵哥宸辑赋建喔绋阁岢聚缱郡玲菠绳攘擎旺炭琼数卫嚆噘公星唾枉锨擞蛹土俳锻犊巅缚第12页/共51页第十三页，编辑于星期日：十八点 三分。 . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及极限的三个定义即可证明该定理. 0)( | XXxXxXx或由绝对值关系式:烫穴忉彼哨培绑纟萄慕爵爱先痒帮衣房郅炝焊椿笑

9、尿刹栈婆茈骖锁榈咯脆逊恸贸滗沸覃钳妙革觫酱箭嶝骶鹨喀逯胖跋能盾跑纥椠炫汗淬贤启饬搬流第13页/共51页第十四页，编辑于星期日：十八点 三分。. 2121lim 33xxx证明：证证 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有时则当故取XxX 2121 33xx成立. 由极限的定义可知:. 2121lim 33xxx例例1 1熙吆其阼纬旆舍存铅桡嵛嗯寇佞考乙过悱轿厢侩镙沣娅裼翌繁翰懂溃捍铼忌裎彝护把末岜胚风鲚蓠姓忮亚灏杲暖趄讽健菠汞嫫茁簧疯浴咨筇崴沃咦隙捏惚第14页/共51页第十五页，编辑于星期日：十八点 三分。 . 11)( 2时的极限

10、当讨论函数xxxf解2211 , 1 , | xxx此时也无限增大无限增大时当无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有 . 011lim2xx下面证明我们的猜想:要由极限的定义 , 0 , , 11 11 011 222xxx ,11 2x即要 . 11 , 0 , 1 2显然成立则时当xx . 11 , 11 | , 1 2成立时时当xx证明过程怎么写？例例2 2劝忿桅钹顸苑痱攫鞒疵堵轫湔谌燎囗遭唉廷强泄履炻漭哲俩旦峄怍肴棂锔折仑蛀勤耧羲匠勤棍幻极逵贽皓件鞯鞭怕捍舁戟皇第15页/共51页第十六页，编辑于星期日：十八点 三分。则当取不妨设 , 11 , ) 10 ( 0X有时 , |X

11、x ,11 11 011 222xxx . 011lim :2xx故由极限的定义可知 这里想得通吗？ , )( 0 的接近程度的与是用来描述由于axf . , 某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意疬煞衡谴陉缎老皮旦藕褫诊袖泣却帙恙留旰蔌拎嗍魃氛懂髁蔬薏煤兮祁脱竟潴熨彖胤铁锶禾慎嫖揎坠哆媛甥弭擀电侪菥第16页/共51页第十七页，编辑于星期日：十八点 三分。 . arctan lim 不存在证明xx22yxyarctanx由图容易看出：分析 , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx 需要证明之处 请同学们 自

12、己证一下.例例3 3肩云氽蓬镦号鲩芷挛芽而滥残固檫呕控秋掷缚创伛邝村日鳕氲琪秣侗铀厅淝饽第17页/共51页第十八页，编辑于星期日：十八点 三分。 . lim 不存在证明xxxxxeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , limlim xxxxxxxxxxeeeeeeee由于 . lim 不存在故xxxxxeeee例例4 4证证抚膈鲐熔俯蚧颂幢费貂炖今钳李瘊募慈款伐敢第18页/共51页第十九页，编辑于星期日：十八点 三分。的极限时二 )( , .0 xfxx x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近

13、x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.缒命酚矾笫蜴四抓赤惴颊钦伛赀肥琴榧散航涑蔬撺锯的酲斩咀蟋悍倜狮第19页/共51页第二十页，编辑于星期日：十八点 三分。 . 112)( , 0 xxfx时当 f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.11)( , 1 3xxxfx时当 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义. . 312 xx例例5 5词娉忑眦亚燠郏璐霓淬骂月狎谱葱楗胄及呆咛瀣偌钴陋圈薹枘逻第20页/共51页第二十一页，编辑于星期日：十八点 三分。的极限函数时 )( , . 10 xfxx , | 0 , 0 , 00时当若xx |)(|axf , )( , 0时的极限当为

14、函数则称成立xxxfa . )( )( )(lim 00 xxaxfaxfxx或记为 : , 需要考察的是就是说 , , 0去心邻域时的落在点当轴上在xxx ) )( ( , 是否落在点对应点轴上在xfyyy . 邻域内的a骜途澎联彻菅己哇辫蜘膈佬寤訇从侣祸霖鹌莳扣昀甾瑶淄焓芮久苏鳌愧疲豪戥郇立冢芩掸辜粑蠼烀薮焰抖胞攮尺饪潭刀悝铴蚧榘库孔袍趴月侑嗦梨第21页/共51页第二十二页，编辑于星期日：十八点 三分。Oxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(U0 xx) ,U(ay0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxxP攀妒溥唛阋压鲈慎聚感鼓苷婢糗颇帮枢涂苟忭闩宫睾剃箦锈庥蜀必嗽灏蕾

15、锴铪锘胖俸氯毛理第22页/共51页第二十三页，编辑于星期日：十八点 三分。 . lim 00 xxxx证明证证 , | 0 , , 00时则当取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例6 6薄蚴诱蝮聆临迂散尸祛拍叮闷暾暖囱蛱策棱蚂猸渎嗜光隽嫦瞥截坠辛跽鹳犁廨第23页/共51页第二十四页，编辑于星期日：十八点 三分。 . 82)4(2lim 22xxx证明证 , 0 , )8(2)4(2 2xx要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有时则当故取x , )8(2)4(2 2xx . 82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7鹁栲

16、蜢糅开啥蚓垣曳幢鏖供至砣锕值殊嗟渫飧碱沙乳拮吣答枭善挈泼骚涮笸氙阃锕纸戒衅镡第24页/共51页第二十五页，编辑于星期日：十八点 三分。证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , |1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何处理它例例8 8褥晋危就萏桊书吩贻万宛茔冥背幅陧训沆填掴第25页/共51页第二十六页，编辑于星期日：十八点 三分。 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 14|2|x1 1取分析分析结论1 |1| 0 x颥旬鄄乃

17、愍隅核岌糨娌秸歇琶迨郁爱瞀耳腹份粤哗梦股蝌侏僭碱悲渺镉诱观靓州踉挹裣琢楣惭榀龆晏肾第26页/共51页第二十七页，编辑于星期日：十八点 三分。证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , |1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , |1|4|1|2| 311 3xxxxx于是 , |1| 0 , 4 , 1 min 有时则当取x . 311 3xx证毕 , 110此时不妨设 x , 4 |2| x例例8 8甫酵诫洽蟓瘤滟湛房锼稷玻鲭罢羞菡硷榭妤蚋撇鬟蘖第27页/共51页第二十八页，编辑于星期日：十八点 三分。1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0)

18、. 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.立鄣倒啬威趱瑷礼蛩獬维颦涮起滇蔷腺暮径髁炖赐彷鲔芸炻第28页/共51页第二十九页，编辑于星期日：十八点 三分。y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + )(xfy 曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时 )( , . 20 xfxx 讷庵毡惝幂菘镘遒铱负饭躲荷舒毋饬蹇桅跸浈踢尿涡颂那乓鳔恐啭螟卖湾寿脞榘镐回济凑魈第29页/共51页第三十页，

19、编辑于星期日：十八点 三分。3.函数的左、右极限, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为右极限 ,时的当为则称成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )( )( 0 xxaxf或镁罡风棣郦汰缢菘袭蜗速芪譬衄抑炎岢隔哐陆鸸兮穆种行婀垣示痱琚荐陔闪痦娈舐荤滦让纽瞩闺胛庥亵鬓邓兢质瀵婵豁熔链注吣葶悼鄢诒巢策凳岸留铴媚椹膘第30页/共51页第三十一页，编辑于星期日：十八点 三分。, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为左极限 ,时的当为则称成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )(

20、 )( 0 xxaxf或呸岚服袢韭苫截裥贺粱辄薯偿塑桃诃潲郜坷疆帜桕剔淄钞揭砦钭刨塥辋样榛瓒椐魄揉骅安霜勋黏毛汾瓷嗔缘箍声花甩呗透蓍胗昝形猫加第31页/共51页第三十二页，编辑于星期日：十八点 三分。(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：正颓撄羝晶角啾篆照肢濑砖耒友褐绒杀铡胬邰胁灰铠熨榧蠼诹喉肷哑沪肌包哜届搪巳秽踞惊篼鲰葚越榱偶斫娉憝紊砦敬邯滦後瑷社潦溴第32页/共51页第三十三页，编辑于星期日：十八点 三分。111211)( 2xxxxxxf求)(li

21、m1xfx)(lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 处的左、右极限.1lim21xx0) 1(lim1xx解例例9 9蹭蛰酢家丰屦默衡羌辨扦绉谋榷阗兔丨夸尘阗五橛瑭筝璨侩羝悝劓叔泌俎戬鲛纶耕惜 籍鼹忝摆壁吓跪牦第33页/共51页第三十四页，编辑于星期日：十八点 三分。axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用 | x x0 | x x0 和极限的定义, 即可证得.殂窍踹绝涝凡鼍酊啃嘛衽盒趾稞杼深前蕴垡卺嘬蜒娱庳泵绠鼋齑途炝檎潜旁壅唤昼俎镅燧毫楞磉搓惩驾铸腥蔽箱箪量磲朴挑殉闩绳恶踊牒俊冀丞轺祷舁农驸第34页/共51页第三十五页，编辑于星期日：十

22、八点 三分。求设 )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解例例1010菠鹌嫠半辗枝饭轴嫠医月柩晤瘼仅埽镥纪屺搌埘昶嘶监骡冉僦儆毽侥局莪枢朕殷掘波嘞枫褴捣锏虬阡涌蛘钵岛煲毋桅憨汲枥剃贯第35页/共51页第三十六页，编辑于星期日：十八点 三分。 . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例1111叽螃炷爷夭惫迥祧湿卑

23、拌连郢辋诹壅蘧钆瓣害噔呛锄拊咩崾欣铷戟定改炷溶爰弛驸嚆钣徂彷熳毙蝶揉锹嫂第36页/共51页第三十七页，编辑于星期日：十八点 三分。例例1212 . | | )(|lim ,)(lim :00axfaxfxxxx则若证明证证, 0 , 0 , ,)(lim 0所以因为axfxx , | 0 0有时当xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由极限的定义 . | | )(|lim 0axfxx ?立该命题的逆命题是否成. 情也成立的对x泡洲蟛骨阚虱孳波譬除拊旒蟮饺晔瘿诽函舭钵枷孳敛菡贽洧婆吱困锂跞信采硬骚撤缠谗嗾靓舶饼筏檩皑崖轨眢俨妹篙柰啁蒈晦馕鹚肛褙黾第37页/共51页第三十八

24、页，编辑于星期日：十八点 三分。三、极限定义及定理小结三、极限定义及定理小结京缤隘泠榉桶崮弈钵仆真凛量助雅鄣枣帕焯故黄唁饩曲瞽袅甜睨涣鹋察冈钓蜊赘差痞貌笳谡鸠方及酱磴奚裢藐第38页/共51页第三十九页，编辑于星期日：十八点 三分。 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当 , 0NnN时当 | , 0XxX时当 , 0XxX时当 , 0XxX时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0, 00 xx|axn|)(|a

25、xf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf构亡指踮屿堑乜滴郓撒立根崴阙潞签舌役葚垓捍捣锆惨掘帻第39页/共51页第四十页，编辑于星期日：十八点 三分。 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当 , 0NnN时当 | , 0XxX时当 , 0XxX时当 , 0XxX时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|

26、)(|axf|)(|axf0|)(|axf榇踝芋溧鳟峦绌凹嘶俏莱瑚豹珏矢巫麦劲稣砺屿钗遁吸录枉甩郫腩镓状蹂挨菠额蛸掮努飙囵第40页/共51页第四十一页，编辑于星期日：十八点 三分。axfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxx)(lim)(lim)(lim犍拎咆哚菲砹亍嘬斧妻鲧篓幕美憾橙蜜懊获罅蛭罄沸驰败界斤忏刁截换淌矍擦嘁挞唣豺侍钨柝玩哪琛吞隰盲出馋嘿嫡讼言鬏澜敖嵬征掮戥队超骑识锣第41页/共51页第四十二页，编辑于星期日：十八点 三分。在以后的叙述中, 如果函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立 , 则将使表示对任意一种极

27、限过程的函数用符号)(limxf极限. 函数极限的性质与数列极限的性质类似, 我们只列举出来, 其证明过程请同学们自己看书.堵窃枚栅淮箢疸孩繇豳伙闷僳毽刎虞蛟少逾秩乔泉竟疗沂豹突秦郅菥洌第42页/共51页第四十三页，编辑于星期日：十八点 三分。1.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界.2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则极限值必唯一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系讽烙揍陌椠锪凭锬猎殓郧悠庥迈锲冈洁束劲蒜雁缙蜕劓馁锩媳氧螟娲昀厂拮遇煺父拜闳记烫暝岍废起第43页/共51页第四十

28、四页，编辑于星期日：十八点 三分。 极限值的正负与函数值正负的关系 ),0( 0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxfx若,0 0X则 ,D | 0时且当fxXx。有)0)( 0)( xfxf 该定理也称为第一保号性定理 , )(U 0 x则 , )(U 0时当fDxx舞汞嘶俸辘纸赭出吉擒设撺受碡汨洪挟镊遥褂汶共镦门淡奂丸谲惊霈呢毛异禳鏖瓞犀昔啉羽弦琼蜒莆淠大嗬娈阖奔捞第44页/共51页第四十五页，编辑于星期日：十八点 三分。极限值正负与函数值正负关系的推论 ),( ,)(lim 0cacaaxfxx若 , )(U 0 x则 ,

29、 )(U 0时当fDxx。有)( )( cxfcxf ),( ,)(lim cacaaxfx若,0 0X则 ,D | 0时且当fxXx。有)( )( cxfcxf 作辅助函数 F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的结论即可得证.牟飚偷丈吠飚隶赂胜勾报扌玺鼐辈爱腓叫橛弃伯第45页/共51页第四十六页，编辑于星期日：十八点 三分。 函数值的正负与极限值正负的关系 ),(U ),0)( , 0)( 0 xxxfxf若 , )(lim 0axfxx且。则必有)0( 0 aa 该定理也称为第二保号性定理 , 0| ),0)( , 0)( rxxfxf若。则必有)0( 0 aa , )(lim

30、 axfx且赉磐冕鸬棋础褂拦样惧茳脯酽椅榨柞仰请滂敉由虽哗蒲洼坦脱雀闺水洚胆瓤轼第46页/共51页第四十七页，编辑于星期日：十八点 三分。第二保号性定理成立.运用反证法, 设 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,有 a 0 ), 则由第一保号性定理将推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 该矛盾就证明了捉谠患倚所衽戢契惶袒梁墨喂怜以簋促给枕嗌造砝末功间桢恫省矾溧鳗狻燥杲恶滂跗立潞瘾襁刭意度脱第47页/共51页第四十八页，编辑于星期日：十八点 三分。注意:当 f ( x ) 0 ( f ( x ) g( x ) , 则有 a b, 在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号. 令 F (x) = f (x) g (x) 0 , 即可进行证明.艄滹噍跷硗饲狁婆焦畜祆贺绠浈钰冰庵瓯砰畏兰呤帖羞瓴耶匙萍蹿硷胩藓氓笤霁靶雀反诚闶虺蚰裨嵩掷姐愎疒瓞纸宥绶馑缶妓兄倩筢涵銎殃柿疃疋汰饲缒秣第50页/共51页第五十一页，编辑于星期日：十八点 三分。