自动控制原理 第9章PPT学习教案

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1、会计学1自动控制原理自动控制原理 第第9章章9.1 线性定常系统的响应线性定常系统的响应 9.1.1 利用传递函数求解输出响应利用传递函数求解输出响应 已知系统的传递函数G(s), 如果给定输入信号r(t)的拉氏变换R(s)也是有理函数, 那么输出响应的拉氏变换为 piniissQsRsGsY1)()()()()(9.1) 式中, i是G(s)R(s)的相异极点, 可以为实数和复数, 如为复数极点必然共轭成对; ni为重极点数。 第1页/共118页对Y(s)用部分分式展开, 可得 piniiniiiiiisksksksY1221)()()(9.2) 式中ki在复变函数中称为留数, 并由下面的表

2、达式确定: iiiiiiiiiisninniisninisniinssRsGdsdnkssRsGdsdkssRsGk)()()!1(1)()()()(111)1(第2页/共118页 注意, 与复数共轭极点相对应的系数也互为共轭复数。对式(9.2)取拉氏反变换, 即可得输出响应y(t): pitniintitiiiiiietnktekekty1121)!1()(由式(9.3)可以看出, 输出响应y(t)是tni-1e-it(i=1, 2, , p; ni=1, 2, )各项的线性组合, 各项性质由G(s)R(s)的极点决定, 而其大小还与G(s)R(s)的零点有关。 第3页/共118页例例 9-

3、1 已知系统闭环传递函数为 222)(2sssG求其在单位阶跃信号输入下的输出响应。 解解 由已知条件得系统输出响应的拉氏变换为 )22(2)()()(2ssssRsGsY经部分分式展开有 1) 1(11) 1(111) 1(21)(222ssssssssY第4页/共118页采用拉氏反变换后则得输出响应为 tetetyttsincos1)( 将一个有理分式进行部分分式展开, MATLAB提供了一个函数residue( )。读者可以通过查询MATLAB帮助获取有关函数的使用方法。另外, 由于系统的传递函数是在零初始条件下定义的, 因此, 根据它求出的输出响应只是系统的零状态响应。 第5页/共11

4、8页9.1.2 状态方程的解状态方程的解 通过求解系统的状态方程, 可以获取系统中状态变量随时间的变化情况, 即系统的状态响应。 已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为 0)0(),()()(xxtButAxtx(9.4) 状态变量的初始值为x0, 控制作用为u(t)。 状态方程是一阶微分方程组, 它的求解方法和解的形式都与标量一阶微分方程相似。标量一阶微分方程的齐次方程为 x(t)=ax(t), x(0)=x0 第6页/共118页其解为 x(t)=eatx(0) 其中, 指数函数eat可以展成如下无穷级数形式: 022!1!1! 211kkkkkattaktaktaate与此类似, 一阶向

5、量微分方程的齐次方程 的解也具有如下形式: Axx )0()(xetxAt第7页/共118页其中, kkkkkAttAktAktAAtIe022!1!1! 21(9.5) 式(9.5)无穷矩阵级数的收敛式eAt叫做矩阵指数, I为单位矩阵。 下面讨论非齐次状态方程(9.4)的求解。用x(t)左乘e-At之后求导得 )()()()(tBuetAxtxetxedtdAtAtAt(9.6) 第8页/共118页对上式两边进行积分, 积分限从0到t, 即 dBuedxeddAtAt)()(00可得 dBuextxeAtAt)()0()(0所以 dBuexetxtAtAt)()0()()(0 从式(9.7

6、)可以看出, 系统的动态响应由两部分组成: 一部分由状态初始值x(0)引起, 叫做零输入响应; 另一部分由输入信号u(t)引起, 叫做零状态响应。 第9页/共118页9.2 状态转移矩阵状态转移矩阵 一般情况下, 线性系统(包括定常和时变)的状态响应方程可以写为 dButxttxt)()()0()()(0(9.8) 式(9.8)又称状态转移方程, 并称(t)为状态转移矩阵, 它表征系统从t=0的初始状态x(0)转移到t0的任意状态x(t)的转移特性。 显然, 状态的转移性能完全取决于系统的A阵。对于线性定常系统有(t)=eAt。 第10页/共118页9.2.1 矩阵指数和状态转移矩阵的性质矩阵

7、指数和状态转移矩阵的性质 数学上可以证明, 矩阵指数eAt和状态转移矩阵(t)具有下述性质, 它们与指数函数eat的性质相似。 );()()(,)4();()(,)3(;)0()(,)2(;)()()(,) 1 (2121)(11002121tttteeetteeItIeAttAtdtdAeAeedtdAtAtttAAtAtttAtAtAtAt）（第11页/共118页 (5) 对于正实数n, (eAt)n=enAt, n(t)=(nt); (6) 若AB=BA(即矩阵A、B乘法可交换), 则e(A+B)t=eAteBt; (7) 若P为非奇异矩阵, 则 PePeAtAPtp11第12页/共11

8、8页9.2.2 矩阵指数和状态转移矩阵的计算矩阵指数和状态转移矩阵的计算 1. 拉氏变换法拉氏变换法设有线性定常齐次状态方程 0)0(),()(xxtAxtx(9.9)对上式进行拉氏变换, 则有 )()0()(sAXxssX从而有 )0()()(1xAsIsX(9.10) 第13页/共118页对式(9.10)求拉氏反变换, 得 )0()0()()0()()()(11111xexAsILxAsILsXLtxAt因此有 )()(11AsILetAt这种方法实际上是用拉氏变换在频域中求解状态方程。矩阵(sI-A)-1称为预解矩阵。 第14页/共118页例例 9-2 已知系统的系数矩阵为 3210A求

9、矩阵指数eAt。 第15页/共118页2111211221112112213)2)(1(1|)()(1ssssssssssssAsIAsIadjAsI解解 由矩阵求逆的公式可知: 第16页/共118页由式(9.12)得 ttttttttAteeeeeeeessLssLssLssLAsILe22221111112222111211221112112)(求解过程中的adj(sI-A)表示矩阵(sI-A)的伴随矩阵。 第17页/共118页2. 化矩阵化矩阵A为对角线矩阵和约当矩阵法为对角线矩阵和约当矩阵法如果状态方程的系数矩阵A为对角线矩阵, 即 nnaaaA0000002211第18页/共118页

10、可以证明, 相应于矩阵A的矩阵指数eAt为 tatataAtnneeee0000002211也就是说，如果系数矩阵A具有对角线形式, 则其对应的矩阵指数是很容易计算的, 并且也为对角线矩阵。 第19页/共118页 根据矩阵指数的性质(7)和矩阵相似理论, 如果矩阵A通过相似变换A=P-1AP可以转化为对角线矩阵A, 则有 111PPePPeetAAPtPAt(9.13) 这样, 如果已知非奇异变换矩阵P, 则矩阵指数的计算就迎刃而解了。 从线性代数的结论可知, 计算将矩阵A对角化的非奇异变换矩阵P需要先求出矩阵A的特征值和每个特征值对应的特征向量。 第20页/共118页 矩阵(sI-A)称为系

11、数矩阵A的特征矩阵, 它的行列式|sI-A|则称为系数矩阵A的特征多项式, 方程|sI-A|=0称为系统的特征方程, 特征方程的根就是系统的特征值。如果由一个n阶系统的特征方程 0)(|1niisAsI可以解得系统的n个两两相异的特征值1, 2, , n, 则此系统的系数矩阵可以对角化, 并且非奇异变换矩阵P可以由下式确定: (iI-A)pi=0, (i=1, 2, , n) (9.14) 第21页/共118页其中pi称为对应特征值i的特征向量。由线性代数知识可知, 如果n阶矩阵的n个特征值两两互异,则这n个特征值对应的n个特征向量是独立的。因此如下构成的矩阵P是非奇异的: P=p1 p2 p

12、n 并且可以证明, 用这样构造的变换矩阵P对A进行相似变换, 可以得到一个对角线矩阵A。若系统矩阵A具有如下友矩阵形式: 第22页/共118页121100001000010aaaaAnnn第23页/共118页并且具有互异的实特征根1, 2, , n, 则选取如下范德蒙矩阵P可使A对角化: 113121122322213211111nnnnnnnnnnnP第24页/共118页 需要注意的是, 如果A存在重特征值, 且线性无关的特征向量少于n个时, 矩阵A不可以对角化, 只能化为约当矩阵, 约当矩阵的一般形式为 nnkAAAA21000000第25页/共118页式中, 111111001001mm

13、A222222001001mmA第26页/共118页kkmmkkkkA001001第27页/共118页称为约当块。 kiinm1,mi为i的重特征数。约当块 iA的矩阵指数有如下形式: tttmtttmttttAiiiiiiiiiieteetmteeetmetteee00)!2(10)!1(1! 21212(9.15) 第28页/共118页 为了方便讨论变换矩阵P的确定, 假设A矩阵只有一个m重特征根1, 其余为互异的实根。变换矩阵P的求取可以由系统矩阵A的特征向量确定。对于n-m个彼此不相等的特征值对应的特征向量pm+1, pm+2, , pn, 可根据式 Api=ipi (i=m+1, m

14、+2, , n) 确定。对于m重特征根1, 可以基于其对应的约当块A1, 根据下式构造m个线性无关向量p1, p2, , pm: 第29页/共118页0010012111121mmpppAppp即 mmmApppApppApp112211111(9.16) 并称p2, , pm为广义特征值向量。 第30页/共118页例例 9-3 试用化对角线的方法计算例9-2所给矩阵的矩阵指数。 解解 系统的特征方程为 0)2)(1(23321|2ssssssAsI所以系统的特征值为1=-1, 2=-2。因为12, 所以必存在变换矩阵P能使系数矩阵A对角化。将1 =-1, 2=-2分别代入方程(9.14),

15、结合线性代数关于线性齐次方程的解法, 可以得到如下两个特征向量: TTpp21 11 21第31页/共118页显然p1, p2是线性无关的, 由它们组成的非奇异矩阵P为 2111P其逆矩阵为 11121P所以有 2111321011121APPA第32页/共118页利用式(9.13)可求得矩阵指数为 tttttttttttAAteeeeeeeeeePPee22222122221112002111第33页/共118页9.3 线性离散系统的响应线性离散系统的响应 对于单变量系统, 从离散系统的差分方程和脉冲传递函数的一般形式： y(k+n)+a1y(k+n-1)+an-1y(k+1)+any(k)

16、=b1u(k+n-1)+bn-1u(k+1)+bnu(k) 和 nnnnnnnazazazbzbzbzW111111)(9.18) (9.17) 第34页/共118页 可按照第二章建立线性连续系统状态方程的方法建立如下的单变量离散系统状态空间描述: )()()()()() 1(kDukCxkykHukGxkx推广到多变量系统, 有 )()()()()() 1(kDukCxkykHukGxkx(9.20) (9.21) 第35页/共118页图 9-1 线性离散系统状态空间表达式框图 z1x(k1)HDGCu(k)y(k)x(k)第36页/共118页9.3.1 线性连续系统的离散化线性连续系统的离

17、散化 由线性连续系统离散化得到的线性离散系统是一类常见的、 十分重要的离散系统。在一定的假设条件下, 我们可以由线性系统的连续状态空间描述离散化得到离散系统的状态空间描述。 1. 离散化条件离散化条件 这里将在如下三个假设的前提下, 讨论线性连续系统的离散化问题: (1) 离散方式是普通的周期性采样。采样是等间隔的,采样周期为T; 采样脉冲宽度远小于采样周期, 因而忽略不计; 在采样间隔内函数值为零值。 第37页/共118页 (2) 采样周期T的选择满足香农采样定理, 即离散函数可以完全复原为连续函数的条件为: s2c或T/ c, 其中s=2/T为采样频率, c为连续函数频谱的上限频率。 (3

18、) 保持器为零阶保持器, 即当kTt(k+1)T时, u(t)=u(kT) 。 第38页/共118页2. 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述已知线性连续系统的状态方程为 )(),()()(0txtButAxtx给定(9.21) 由式(9.8)可得以t0为初始时刻的状态转移方程为 duBttxtttxtt)()()()()(000(9.22) 令 t0=kT, t=(k+1)T, =kT+t 第39页/共118页使式(9.22)离散化, 则有 tdtkTuBtTkTxTTkxTt)()()()() 1(0(9.23) 由零阶保持器假设, 得 )()()()()()() 1(0k

19、THukTGxkTuBdttTkTxTTkxT(9.24) 其中, BdteBdttTHnTAeTGTtTATnnnAT0)(00)(!)(9.25) (9.26) 第40页/共118页要注意的是, 离散状态方程中矩阵G、H都与采样周期T有关。 另外, 如果采用其他形式的保持器, 则方程中的积分项是不同的。 线性连续系统的输出方程y(t)=Cx(t)+Du(t)离散化后的方程为 )()()(kTDukTCxkTy(9.27) 式(9.24)和式(9.27)就是线性定常离散系统的状态方程, 且通常将采样周期T省略, 写成式(9.20)的形式。 第41页/共118页例例 9-4 采样离散控制系统中

20、, 如果被控对象的传递函数为 ) 1(1)(sssG保持器是零阶的, 采样周期T1 s, 试求其离散状态方程。 解解 由传递函数可得连续系统的状态方程为 )(10)(1010)(tutxtx第42页/共118页所以有 37. 0063. 01011| )(11TTTtATeeAsILeG63. 037. 01110011)()(0)(0TTtTtTTtTATeeTdteeBdteH因此, 所求的离散状态方程为 )(63. 037. 0)(37. 0063. 01)()() 1(kukxkHukGxkx第43页/共118页9.3.2 离散时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解 线性离散

21、系统状态响应可以通过求解系统状态方程得到。 离散时间系统状态方程的求解方法主要有两类: 基于矩阵差分方程的迭代法和基于Z变换的求解方法。 1. 迭代法求解离散系统状态方程迭代法求解离散系统状态方程 迭代法求解离散状态方程对离散时变和离散定常系统都适用。设状态方程为 x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u (9.28) 第44页/共118页给定k=0的初始状态x(0), 以及k=0, 1, 2, 时的控制作用u(k), 对任意k0, 方程(9.28)的解均可由迭代法求出, 即 x(1)=G(0)x(0)+H(0)u(0)x(2)=G(1)x(1)+H(1)u(1)x(3)=G(2)x(2)+

22、H(2)u(2) 对于时变系统只能采用这种方法求解系统的响应。对于定常系统由于G、H是定常矩阵, 则迭代方程可以简化。 x(1)=Gx(0)+Hu(0)x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2u(0)+GHu(0)+Hu(1)x(3)=Gx(2)+Hu(2)=G3 x(0)+ G2Hu(0)+GHu(1)+Hu(2) 第45页/共118页因此有 101)()0()(kiikkiHuGxGkx(9.29) 由式(9.29)可以看出, 线性离散定常系统的状态响应由两部分组成: 第一项只与系统的初始状态有关, 称为由初始状态引起的自由运动分量; 第二项是由输入的各次采样信号引起的强迫运动分量, 其值与

23、控制输入作用有关。并且可以看出, 第k时刻的状态只取决于所有此时刻前的输入采样值, 与第k个时刻的输入采样无关, 这说明惯性是一切物理系统的基本特性。如果从状态转移角度来讲的话, 定常离散系统的状态转移矩阵为(k)=Gk。 第46页/共118页 2. Z变换求解离散系统状态方程变换求解离散系统状态方程 线性定常离散系统的状态方程可采用Z变换方法求解。设线性定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 对上式两侧进行Z变换, 得 zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z) 所以有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z) 对上式两边取Z反变换, 可得

24、 x(k)=Z-1(zI-G)-1zx(0)+Z-1(zI-G)-1HU(z) (9.31) 第47页/共118页比较式(9.29)和式(9.31)可得 1011111)()()()(kiikkzHUGzIZiHuGzGzIZG(9.33) (9.32) 第48页/共118页例例 9-5 已知定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 式中, 11,116. 010HG给定初始状态x(0)=1 -1T, 以及控制作用u(k)=1(k=0,1,2,), 试用迭代法求解状态响应x(k)。 第49页/共118页解解 利用式(9.29)得 386. 116. 01184. 084.

25、 2116. 010)2()2() 3(84. 084. 21184. 10116. 010) 1 () 1 ()2(84. 101111116. 010)0()0() 1 (HuGxxHuGxxHuGxx反复迭代将得到一个序列解, 而不是一个封闭解。 第50页/共118页 例例 9-6 对例9-5用Z变换法求解系统的状态方程。 解解 由矩阵求逆公式可知 8 . 042 . 018 . 08 . 02 . 08 . 08 . 052 . 058 . 012 . 043116. 011)8 . 0)(2 . 0(1|)()(1zzzzzzzzzzzzGzIGzIadjGzI第51页/共118页因

26、为, u(k)=1, 所以 , 则 1)(zzzU12111)()0(22zzzzzzzzzzzzHUzx第52页/共118页于是 11878 . 096 .172 . 064 . 3118258 . 09222 . 0617) 1)(8 . 0)(2 . 0()84. 1() 1)(8 . 0)(2 . 0()2()()0()()(221zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzHUzxGzIzX第53页/共118页根据Z变换公式可知 , 所以上式取Z反变换得 kaazzZ)(1187)8 . 0(96 .17)2 . 0(64 . 31825)8 . 0(922)2 . 0(617)

27、(kkkkkx如果将k=0, 1, 2, 代入上式将得到与例9-5相同的结果。 第54页/共118页9.4 可控性和可观可控性和可观性性 经典控制理论中用传递函数描述系统输入、输出特性, 通常被控量就是输出量, 只要系统是稳定的, 输出量就可以被控制, 而且输出量总是可以被测量的, 因此没有所谓的可控性和可观测性问题。现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统, 系统输入量和输出量构成系统的外部变量, 而状态为系统的内部变量, 这就存在系统内部的所有状态是否可由系统输入量控制和是否可由系统输出量反映的问题, 这就是系统可控性和可观性问题。 第55页/共118页 可控性和可观性(又称能控性和能观

28、性)的概念是卡尔曼于20世纪60年代首先提出来的, 是用状态空间描述系统引申出来的新概念, 在现代控制理论中起着重要作用。下面通过一个简单的例子来直观说明可控性和可观性的物理概念。 已知某系统的状态空间描述为 21212103023102xxyuxxxx第56页/共118页将其表示为标量形式为 1212113,3,22xyxxxuxx 从上述方程组可以直观地看出, 控制作用u直接施加于状态x1, 并且输出y能够反映该状态的变化, 所以状态x1,是可控可观的; 对于状态x2, 由于输出没有反映该状态变化的任何信息, 因此是不可观测的, 由于x2,可以受到间接控制(u x1x2), 对于其可控性,

29、 还需进一步判断。 第57页/共118页9.4.1 线性定常系统的可控性线性定常系统的可控性 1. 线性系统可控性的定义线性系统可控性的定义 线性系统的状态方程为 )()(tBuxtAx如果存在一个控制作用u(t), 能在有限时间T内, 把系统从任意初始状态x(t0)0转移到终了状态x(T)=0, 则称系统状态完全可控, 简称系统可控。若系统中哪怕只有一个状态变量不可控, 则称系统状态不完全可控, 简称系统不可控。所以, 系统的可控性指的是控制作用u(t)对状态变量x(t)的影响程度。 第58页/共118页 2. 线性定常系统可控性的基本判据线性定常系统可控性的基本判据 对于简单系统, 可以根

30、据可控性的定义,从系统状态方程的解来判断系统的可控性。但是对于比较复杂的系统, 求解往往比较困难, 因此, 需借助可控性的判据来判别。 定理定理 9-1(可控性的代数判据可控性的代数判据) 设n阶线性定常连续系统的状态方程为 BuAxx(9.34) 式中, x、u分别为n维、p维向量, A、B分别为nn维和np维实数矩阵。 则系统完全可控的充要条件是, 系统的可控性矩阵 Qk=B AB A2B An-1B=n(9.35) 第59页/共118页的秩为n, 即 rankQk=rankB AB A2B An-1B=n (9.35) 此时称(A, B)为可控矩阵对。 一般情况下, 可控阵Qk是一个np

31、维的矩阵, 在计算其秩是否为n时, 并非一定要将可控性矩阵全部算完, 只要中间某一步矩阵的秩为n, 就可以确定系统是可控的。对于单输入系统p=1, Qk为nn的方阵, rankQk=n说明Qk是非奇异的, 其逆矩阵存在。 第60页/共118页例例 9-7 线性定常连续系统的状态方程为 uxx213214试判断系统状态的可控性。 解解 系统可控性矩阵Qk为 4221ABBQk由于 214221nrankrankQk所以系统的状态不是完全可控的。 第61页/共118页例例 9-8 一个单输入线性定常连续系统的状态方程为 uxx11103012试判断系统的状态可控性。 解解 系统可控性矩阵Qk为 3

32、3113110ABBQk233113110nrankrankQk所以系统的状态是完全可控的。 第62页/共118页 定理定理 9-2(可控性的代数判据可控性的代数判据) 设n阶线性定常离散系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) (9.36) 状态完全可控的充要条件是, 系统的可控性矩阵Qk的秩为n, 即 rankQk=rankH GH G2H Gn-1H=n (9.37) 第63页/共118页例例 9-9 已知一单输入线性离散系统的状态方程为 )(121)(011220001) 1(kukxkx试判断系统状态的可控性。 解解 系统的可控性矩阵为 1112221112HGGHHQ

33、k第64页/共118页由于 nrankrankQk31111222111所以, 系统是不可控的。 可控性的代数判据使用很方便, 但是当rankQkn, 状态不完全可控时, 具体不知道哪个状态失控, 这个问题可由下面的判据回答。 第65页/共118页 定理定理9-3(特征值规范型判据特征值规范型判据) 设线性定常连续系统 具有互异的特征值1, 2, , n, 则系统状态完全可控的充要条件是系统经非奇异变换后的对角规范形式 BuAxxuBxx0011中B不包含元素全为0的行。 这种方法可以根据变换后输入矩阵B是否存在全为零的行来判断每行对应状态的可控性。 但是这种方法的不足之处是变换复杂。 第66

34、页/共118页 定理定理9-4(特征值规范型判据特征值规范型判据) 设线性定常连续系统 具有重特征值1(m1重), 2(m2重), , k(mk重), 则系统状态完全可控的充要条件是: 经非奇异变换后的约当规范形式 )(,1jinmjikiiuBxAAxk001中 与每一个约当块 (i=1, 2, , k)的最后一行相应的那些行的所有元素不完全为0。 BiA第67页/共118页例例 9-10 试分析如下系统的可控性: xyuxxxxxxxyuxxxxxx320210230012100050007)2( 321 752100050007) 1 (321321321321第68页/共118页xyu

35、xxxxxxxyuxxxxxx301320021100030003)2( 132750100030013) 3(321321321321第69页/共118页 解解 根据特征值规范型判据可知, (1) 状态完全可控; (2) 状态不完全可控, 且状态x2不可控; (3) 状态完全可控; (4) 状态不完全可控, 且状态x2不可控。 第70页/共118页9.4.2 线性定常系统的可观性线性定常系统的可观性 与线性系统可控性相对应的一个重要概念是系统的可观性, 也称能观性。本小节将介绍可观性的定义和两个判断系统可观性的基本判据。 1. 线性系统可观性的定义线性系统可观性的定义 线性系统的动态方程为

36、CxtytBuxtAx)()()(第71页/共118页系统在给定控制输入u(t)作用下, 对于任意初始时刻t0, 若能在有限时间T t0内, 根据t0到T的系统输出y(t)的量测值, 唯一地确定系统在t0时刻的状态x(t0), 则称系统是状态完全可观的, 简称系统可观。若系统哪怕有一个状态变量初始时刻的值不能由系统输出唯一确定, 则称系统状态不完全可观, 简称系统不可观。 所以系统的可观性指的是系统的输出量y(t)对状态变量x(t)的反映能力。 第72页/共118页 2. 线性定常系统可观性基本判据线性定常系统可观性基本判据 定理定理9-5(可观性代数判据可观性代数判据) 设线性定常连续系统和

37、线性定常离散系统的状态空间表达式分别为 CxyBuAxx和 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k) 第73页/共118页构造系统的可观性矩阵 1211,ngngCGCGCQCACACQ则线性定常连续和离散系统状态完全可观的充分必要条件是其可观性矩阵满秩, 即 rankQg1=n， rankQg2=n 并称矩阵对A C或G C为可观的。 第74页/共118页 定理定理9-6(特征值规范型判据特征值规范型判据) 设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵分别为A和C, 如果系统具有两两互异的特征值, 则其为状态完全可观的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范型 xCyuBx

38、xn001的输出矩阵C中不包含元素全为0的列。 对于系统存在重特征根的情况, 也有类似可控性判据的结论。 第75页/共118页 定理定理9-7(特征值规范型判据特征值规范型判据) 设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵分别为A和C, 如果系统具有重特征值1(m1重), 2(m2重), , k(mk重), ,则系统状态完全可观的充要条件是: 系统经非奇异变换后的约当规范形式 )(,1jinmjkiiixCyuBxAAxk001第76页/共118页 例例 9-11 试分析例9-10所给系统的可观性。 解解 由可观性特征值规范型判据可知, 系统(1)是状态完全可观的; 系统(2)是状态不完全可观的,

39、 且状态x1不可观; 系统(3)是状态完全可观的; 系统(4)是状态完全可观的。 第77页/共118页9.5 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换 1. 线性系统的非奇异变换及不变性线性系统的非奇异变换及不变性 考虑下列方程描述的系统: DuCxyBuAxx (9.38) 线性变换指的是对线性空间的向量作如下变换: xPxPxx1或第78页/共118页其中P是nn的非奇异变换矩阵, 则用 x 描述的系统状态空间表达式为 uDxCyuBxAx (9.39) 并且可以推出, 变换前后系统的系数矩阵之间的关系为 DDCPCPBBPAPA,11第79页/共118页可以证明, 系统(9.38)经

40、过非奇异变换后存在一些不变量, 即)()()()(|11sGDBAsICDBAsICsGQrankrankQQrankrankQAIAIggkk(特征值不变) (可控性不变); (可观性不变); (传递函数不变)。 第80页/共118页2. 化系统为可控标准型化系统为可控标准型对于具有如下状态方程形式的单变量控制系统: uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn1000100001000010121121121(9.40) 第81页/共118页其中ai(i=1, 2, , n)为常数。可以验证该系统的可控矩阵Qk=B AB An-1B是一个副对角线全1的下三角形矩阵, 其行列式总为1, 因此ra

41、nkQk=n, 即系统状态完全可控。称式(9.40)表示的矩阵对A B为单输入线性定常系统的可控标准型。 单输入线性定常系统的状态若完全可控, 则可以通过线性非奇异变换将其系统矩阵和输入矩阵变换为可控标准型。 第82页/共118页定理定理9-8 设单输入线性定常系统的状态方程为 BuAxx若其状态完全可控, 则必存在线性非奇异变换 xPxPxx1或将状态方程(9.41)变换成式(9.40)的可控标准型形式。并且非奇异变换矩阵P由 1111nApAppP(9.42) (9.41) 第83页/共118页确定, 其中1n的矩阵p1为 p1=0 0 1B AB An-1B-1 即行向量p1为系统可控性

42、矩阵Qk逆矩阵的最后一行。 第84页/共118页例例 9-12 已知一线性定常系统的状态方程为 uxx111011试将其状态方程化为可控标准型。 解解 由于系统的可控性矩阵 1101ABBQk非奇异, 所以系统可以化为可控标准型。 第85页/共118页 11 1011kQp变换矩阵P为 011111AppP因此 10,01101PBBPAPA故原系统可化为如下可控标准型:uxuBxAx100110 第86页/共118页 3. 化系统为可观标准型化系统为可观标准型 单输出的控制系统, 如果其状态完全可观, 则可以经过一定的线性非奇异变换化为如下形式的可观标准型: xyBuxaaaxnn 1001

43、0010011(9.44) (9.45) 第87页/共118页定理定理 9-9 设单输出系统的状态空间表达式为 CxyBuAxx (9.46) 若系统状态完全可观, 则存在非奇异变换 xTxxTx1或可将由式(9.46)表示的系统化为式(9.44)和式(9.45)表示的可观标准型。 变换矩阵T为 T=t1 At1 An-1t1 (9.47) 第88页/共118页其中, n1矩阵t1由下式确定: 100111nCACACt(9.48) 即t1为系统可观性矩阵Qg逆矩阵的最后一列。 第89页/共118页例例 9-13 设系统的状态空间表达式为 xyuxx211112011试将其化为可观标准型。 解

44、解 由于系统的可观性矩阵 第90页/共118页01211CACQg非奇异, 由此可得 211011gQt变换矩阵为 123421,4231111TAttT第91页/共118页因此, 原系统经变换后的状态空间描述为 xCTyBuTxATTx11xyuxx 102/32/73120即 第92页/共118页9.6 对对 偶偶 原原 理理 考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1: CxyBuAxx式中,x为n维状态向量,u为r维控制向量, y为m维输出向量,矩阵A、B和C的维数分别为nn、nr和mn。 第93页/共118页 对偶系统S2由下述状态空间表达式定义： zBwvCzAzTTT式中,z为n维状

45、态向量,v为m维控制向量, w为r维输出向量, 矩阵AT、BT和CT的维数分别为nn、rn和nm。 第94页/共118页 定理定理9-10(9-10(对偶原理对偶原理) 当且仅当系统S2状态完全可观(状态完全可控)时,系统S1才是状态完全可控(状态完全可观)的。 为了验证这个原理,下面写出系统S1和S2的状态可控和可观的充要条件。 对于系统S1 : 状态完全可控的充要条件是nnr维可控性矩阵B AB An-1B的秩为n。 第95页/共118页状态完全可观的充要条件是nnm维可观性矩阵 CT ATCT (AT)n-1C 的秩为n。 对于系统S2: 状态完全可控的充要条件是nnm维可控性矩阵 CT

46、 ATCT (AT)n-1C的秩为n。 第96页/共118页状态完全可观的充要条件是nnr维可观性矩阵 B AB An-1B 的秩为n。 为了方便比较, 在表示系统的可观性条件时, 用到了以下线性代数知识: 矩阵的秩等于其转置矩阵的秩,以及分块矩阵的转置等于整个矩阵转置后,每个子矩阵再转置。因此,对比上述两系统的可控性和可观性条件,可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理,一个给定系统的状态可观性可用其对偶系统的状态可控性来检验和判断。 简单地说, 对偶性有如下关系: TTTBCCBAA,第97页/共118页9.7 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解 根据对系统可控性和可观性的讨

47、论可知,实际系统总是可以由以下四个子系统的部分或全部组成: 可控可观子系统、可控不可观子系统、不可控可观子系统和不可控不可观子系统。 对于任何系统,无论其动态方程为何种形式, 都可以通过线性非奇异变换使系统按上述四个部分实现分解, 称之为系统的结构分解。 第98页/共118页 定理定理9-119-11 若系统A,B,CA,B,C状态不完全可控,则必存在适当的线性非奇异变换, 使之化为按可控性分解的显表达式 : ,CBA212112212112100 xxCCyuBAAAxx其中, 为可控状态向量, 为不可控状态向量。 1x2x(9.49)(9.50)第99页/共118页 定理定理9-129-1

48、2 若系统A,B,CA,B,C状态不完全可观,则必存在适当的线性非奇异变换, 使之化为按可观性分解的显表达式 : ,CBA211212221112100 xxCyuBBAAAxx其中, 为可控状态向量, 为不可控状态向量。 1x2x(9.51)(9.52)第100页/共118页 定理定理9-139-13 若系统A,B,CA,B,C状态不完全可控且不完全可观, 则必存在适当的线性非奇异变换,使之化为按可控性和可观性分解的显表达式 : ,CBA432131214321444333242322211311432100000000000 xxxxCCyuBBxxxxAAAAAAAAAxxxx(9.53

49、)(9.54)第101页/共118页例例 9-14 已知一单输入单输出系统的状态空间描述如下: xyuxx 111 100341010121试分别按可控性和可观性将系统进行分解。 第102页/共118页解解 系统的可控性矩阵 328310004112nrankQBAABBQkk所以系统状态不完全可控。将系统按可控性分解, 由于可控性矩阵的秩为2,表明其存在两个线性无关的列向量。取Qk中的前两列(取其线性无关列)作为变换矩阵P的前两列,P的第三列(其余的列)在保证P矩阵非奇异的条件下可以任意选取。于是可得变换矩阵P： 第103页/共118页010001103,0311000101PP令x=Px,

50、 则变换后系统的状态空间描述为 第104页/共118页xxCPyuxxxuxBuPxAPPx 121 00110024124010001000110303110001034101012101000110332111第105页/共118页系统的可观性矩阵为 324742324112nrankQCACACQgg显然系统不可观,可将系统按可观性分解。取Qg的前两行(取其线性无关行)作为变换矩阵T的前两行, 并任意选取与此可观性矩阵前两行线性无关的行作为矩阵T的第三行。于是得到变换矩阵T为 第106页/共118页100012113,1002321111TT令, 代入原方程可得 Txx 32113211

51、001 121235032010 xxxxCPyuxxxTBuxTATx第107页/共118页9.8 矩阵处理的矩阵处理的MATLAB实现实现例例 9-15 已知系统矩阵 3210A用MATLAB求矩阵指数eAt。 第108页/共118页解解 可用如下MATLAB程序求解: %ex-9-15 a=0 1; -2 -3; t=sym(t); eat=expm(a*t)运行结果为 eat = -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)程序中sym( )是符号定义函数, exp

52、m( )是矩阵指数计算函数。 第109页/共118页例例 9-16 已知系统(A, B, C)为 011 ,101,400140002CBA试判断其可控性, 如果可控, 请将其化为可控标准型。 第110页/共118页解解 求解此例的MATLAB程序如下: %ex-9-15 A=2 0 0; 0 4 1; 0 0 4; ra, ca=size(A); B=1; 0; 1; C=1 1 0; D=0; sys1=ss(A, B, C, D); Qk=ctrb(A, B); rc=rank(Qk); if (rc=ra) iQk=inv(Qk); P(1, :)=iQk(ra, :); for i=

53、2: ra P(i, :)=P(1, :)*A(i-1); end 第111页/共118页 Ac=P*A*inv(P); Bc=P*B; Cc=C*inv(P); Dc=D; sysc=ss(Ac, Bc, Cc, Dc) else disp(can not be controlled); end运行结果为 a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 32 -32 10 第112页/共118页b = u1 x1 0 x2 0 x3 1c = x1 x2 x3 y1 14 -7 1d = u1 y1 0 第113页/共118页 本例中用到的有关MATLAB函数说明如下：

54、size( )获取矩阵的行和列的数目; ctrb(A, B)求取系统的可控性矩阵(可观性矩阵求取用函数obsv( )； rank( )求矩阵的秩; inv( )求矩阵的逆。 另外还有一个常用的函数是eig( ), 它可以用来获得相应矩阵的特征值和特征向量。具体参数输入输出参见MATLAB软件的联机帮助。 第114页/共118页小小 结结 本章所讨论的内容是现代控制理论的重要组成部分。以状态空间描述来分析系统的内部特性可以揭示许多传递函数不能反映的系统特征。本章基于线性系统的状态空间描述,具体研究了如下内容: (1) 线性定常系统的响应。线性系统的响应可以通过求解系统的状态方程来实现,在求解状态

55、方程时, 最重要的是确定系统的状态转移矩阵(对于定常系统就是矩阵指数)。线性定常离散系统的响应可以通过迭代法和Z变换法求出。 第115页/共118页 (2) 线性定常系统的可控性和可观性。系统的可控性指的是控制作用对状态变量的影响,可观性则指的是能否从输出量中获得状态变量的信息。这两个概念是现代控制理论的两个基本概念。在给出这两个基本概念的定义后, 重点讨论了线性定常连续和离散系统可控性和可观性的基本判据。 (3) 线性非奇异变换。状态空间描述是以矩阵理论为数学基础的, 线性非奇异变换是系统标准型的实现和结构分解的基础,为此本章简要介绍了线性非奇异变换的结论, 以及系统标准型的实现。 第116页/共118页 (4) 结构分解和对偶原理。对于状态不完全可控和不完全可观的系统,可以通过线性非奇异变换将其按照可控性和可观性分解,这就是线性系统的结构分解。这对直观地分析系统状态变量的可控性和可观性很有帮助。对偶原理揭示了系统可控性和可观性之间的相似关系,使对这两个问题的研究可以相互转换。 第117页/共118页