平稳随机过程的概念学习教案

《平稳随机过程的概念学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平稳随机过程的概念学习教案（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、平稳随机平稳随机(su j)过程的概念过程的概念第一页，共20页。 在实际中在实际中, 有相当多的随机过程有相当多的随机过程, 不仅不仅(bjn)它现它现在的状态在的状态, 而且它过去的状态而且它过去的状态, 都对未来状态的都对未来状态的发生有着很强的影响发生有着很强的影响.如果过程如果过程(guchng)的统计特性不随时间的推移而变的统计特性不随时间的推移而变化化, 则称之为平稳随机过程则称之为平稳随机过程.第1页/共20页第二页，共20页。1. 定义定义(dngy)和和如如果果对对于于任任意意的的Ttttnn ,), 2 , 1(21维维随随机机时时当当任任意意实实数数nThthththn

2、,21 )(,),(),(21ntXtXtX变变量量)(,),(),(21htXhtXhtXn 和和具有相同具有相同(xin tn)的分布函数的分布函数, 则称随机过程则称随机过程 ),(TttX 具有平稳具有平稳(pngwn)性性, 并同时称此过程为平稳并同时称此过程为平稳(pngwn)随机过程随机过程,或简称或简称平稳过程平稳过程 (严平稳过程严平稳过程或或狭义平稳过程狭义平稳过程).第2页/共20页第三页，共20页。平稳过程的参数平稳过程的参数(cnsh)集集T, 一般为一般为:., 2 , 1 , 0, 2, 1, 0), 0),( 或或 为平稳随为平稳随称平稳过程称平稳过程为离散情况

3、为离散情况当当nXT,机序列机序列(xli), 或平稳时间序列或平稳时间序列(xli).说明说明(shumng)(1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重要的实际意义要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤过程若是平稳的可使问题的分析尤为简化为简化.(2) 平稳过程的数字特征有很好的性质平稳过程的数字特征有很好的性质.第3页/共20页第四页，共20页。 平稳平稳(pngwn)过程数字特征的特点过程数字特征的特点:)()(存存在在的的均均值值函函数数设设平平稳稳过过程程tXEtX线都在水平直线线都在水平直线平稳过程的所有样本曲平稳过程的所有样本

4、曲)1(.,X 平均偏离度为平均偏离度为上下波动上下波动Xtx )(的自相关函数的自相关函数设平稳过程设平稳过程)()2(tX.)()(),(2121存存在在tXtXEttRx 的单的单函数仅是函数仅是那么平稳过程的自相关那么平稳过程的自相关 12tt.变变函函数数(即不随时间即不随时间(shjin)的推移而变化的推移而变化).第4页/共20页第五页，共20页。协方差函数可以协方差函数可以(ky)表示为表示为 )()()(XXXtXtXEC .)(2XXR ,0 若令若令.)0()0(22XXXXRC 则则说明说明(shumng) 要确定一个随机过程的分布要确定一个随机过程的分布(fnb)函数

5、函数, 并进而并进而判定其平稳性在实际中不易办到判定其平稳性在实际中不易办到.第5页/共20页第六页，共20页。2. 广义平稳广义平稳(pngwn)过程过程定义定义(dngy)1如如果果对对任任意意给给定定二二阶阶矩矩过过程程,),(TttX :,Ttt )()(常常数数XtXE )()()( XRtXtXE .,),(或或广广义义平平稳稳过过程程为为宽宽平平稳稳过过程程则则称称TttX 说明说明(shumng) (1) 严平稳过程只要二阶矩存在严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也则它必定也是宽平稳的是宽平稳的. 反之不成立反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的宽平稳的正态过

6、程必定也是严平稳的. 第6页/共20页第七页，共20页。定义定义(dngy)2同时考虑两个同时考虑两个(lin )平稳过程平稳过程: )()(tYtX和和如果它们的互相如果它们的互相(h xing)关函数也只是时间差的单关函数也只是时间差的单变量函数变量函数, 即即),()()(),( XYXYRtYtXEttR 或两过程是或两过程是是平稳相关的是平稳相关的和和称称那么那么,)()(,tYtX联合宽平稳的联合宽平稳的.第7页/共20页第八页，共20页。例例1是是互互不不相相关关的的随随机机变变量量设设, 2 , 1, kXk则则有有且且序序列列, 0,22 kkXEXE , 0,),(2lkl

7、kXXElkRlkx ,有有关关即即相相关关函函数数只只与与lk 所以它是宽平稳所以它是宽平稳(pngwn)的随机序列的随机序列. 则则序序列列是是是是独独立立同同分分布布的的如如果果,21kXXX严平稳严平稳(pngwn)的的.第8页/共20页第九页，共20页。例例2上服上服是在是在的函数的函数是一周期为是一周期为设设), 0(,)(tTts 为随机为随机称称从均匀分布的随机变量从均匀分布的随机变量)()(, tstX.试讨论它的平稳性试讨论它的平稳性相位周期过程相位周期过程解解的概率密度为的概率密度为 ., 0,0,/1)(其他其他TTf X(t) 的均值的均值(jn zh)函数为函数为

8、)()( tsEtXE TTiisTTts0.d)(1d1)( 第9页/共20页第十页，共20页。的周期性的周期性利用利用)( s.d)(1)(0常数常数知知 TsTtXE 而自相关而自相关(xinggun)函数函数)()(),( tstsEttRX d1)()(0TtstsT 具有具有(jyu)周期性周期性有关有关仅与仅与 )( XR 所以随机所以随机(su j)相位周期过程是平稳的相位周期过程是平稳的. 特别特别, 随机随机(su j)相位相位正弦波是平稳的正弦波是平稳的. d)()(1 ssTTii第10页/共20页第十一页，共20页。例例3考虑考虑(kol)随机电报信号随机电报信号 t

9、)(txIoI 2/1)()( ItXPItXP这这里里),(),( ttNtt内内变变化化的的次次数数而而正正负负号号在在区区间间由只由只信号信号)(tXII 或或取取.的电流给出的电流给出是随机是随机(su j)的的, .),(服服从从泊泊松松分分布布假假设设 ttN第11页/共20页第十二页，共20页。即事件即事件(shjin),(kttNAk 的概率的概率(gil)为为, 2 , 1 , 0,!)()( kekAPkk.0的数学期望的数学期望是单位时间内变号次数是单位时间内变号次数其中其中 .)(的平稳性的平稳性试讨论试讨论tX解解0)( tXE)()( tXtXE下下面面计计算算内内

10、变变号号偶偶数数次次如如果果电电流流在在), tt,)()(2ItXtX必同号且乘积为必同号且乘积为和和 第12页/共20页第十三页，共20页。内内变变号号奇奇数数次次如如果果电电流流在在), tt,)()(2ItXtX 乘积为乘积为和和 的概率为的概率为事件事件)()(2ItXtX .)()()(420 APAPAP的概率为的概率为事件事件)()(2ItXtX )()(31APAP 0012222)()()()(kkkkAPIAPItXtXE .!)(2202 eIkeIkk结果结果(ji gu)与与t 无关无关第13页/共20页第十四页，共20页。,0 tt令令时时而而 22)()( eI

11、tXtXE有关有关只与只与 则自相关则自相关(xinggun)函数函数:.)(是一平稳过程是一平稳过程所以随机电报信号所以随机电报信号tX其图形其图形(txng)为为:2I o)( XR第14页/共20页第十五页，共20页。其概率密度为其概率密度为变量变量是服从瑞利分布的随机是服从瑞利分布的随机其中其中设随机过程设随机过程, )cos()(AttAtX 0, 00,)(2222aaeaafa ?)(,)2 , 0(是不是平稳过程是不是平稳过程问问是一常数是一常数随机变量随机变量相互独立的相互独立的上服从均匀分布且与上服从均匀分布且与是在是在tXAn 解解2d)(022222 aeaAEa因因例

12、例4第15页/共20页第十六页，共20页。202022322d2d)(2222 aaeaeaAEaa故故 )cos( tAE )cos()cos(),(2121 tAtAEttRX.)(是平稳过程是平稳过程所以所以tX )cos( tEEA00 EA )cos()cos(212 ttEEA)(cos212122tt cos2 第16页/共20页第十七页，共20页。 ?),0()(:.,),(是否仍为平稳过程是否仍为平稳过程问问变量变量而且不恒等于一个随机而且不恒等于一个随机过程过程是一个零均值的平稳是一个零均值的平稳设设 tXtXttX解解 是一个零均值的平稳是一个零均值的平稳因因 ttX),

13、(,过程过程0)( tXE)(),( XXRttR 故有故有例例5第17页/共20页第十八页，共20页。),0()()(XtXtY 令令.)0()()(不是平稳过程不是平稳过程可见可见XtXtY )0()()(XEtXEtYE 则则)0(X )0()()0()(),(XtXXtXEttR )0()()()0()(2XtXEtXEXRX 第18页/共20页第十九页，共20页。平稳平稳(pngwn)随机过程、宽随机过程、宽(广义广义)平稳平稳(pngwn)随机过程的概念随机过程的概念 平稳过程数字平稳过程数字(shz)特征的特点特征的特点线都在水平直线线都在水平直线平稳过程的所有样本曲平稳过程的所有样本曲)1(.,X 平均偏离度为平均偏离度为上下波动上下波动Xtx )(的单的单仅是仅是平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数 12)2(tt.变变函函数数第19页/共20页第二十页，共20页。