复变函数与积分变换第2章学习教案

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1、会计学1复变函数与积分变换第复变函数与积分变换第2章章第一页，编辑于星期一：十一点 二十分。& 1. 复变函数的定义复变函数的定义& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射第1页/共100页第二页，编辑于星期一：十一点 二十分。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy A.L.Cauchy （1789-1866)1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-K.Weierstrass(1815-1897)1897)分别应用积分和级数研究复变函数，分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riema

2、nn (1826-1866)G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也

3、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。日益密切。第2页/共100页第三页，编辑于星期一：十一点 二十分。,fzEwuiv 使使得得就就有有一一个个或或几几个个与与之之对对应应1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义( ).wf z 记记作作,Ezxiy设设 是是一一个个复复数数的的非非空空集集合合 存存在在法法则则wz则则称称复复变变数数 是是复复变变数数 的的函函数数（简简称称复复变变函函数数）区区域域的的定定义义域域，常常常常是是平平面面)(zfE值值域域,)(EzzfwwG 第3页/共100页第四页，编辑于星期一：十一点 二

4、十分。( ,);( , )zxiyx ywuivu v ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw A分类：分类： ( )zwf z个个称称单单数数若若一一值值，是是值值函函; ;。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨 ( )zwf z个个称称数数多多值值，是是多多值值函函. .( )()wf zf xiy复复变变函函数数w=f(z)w=f(z)与与实实函函数数的的关关系系： ( , )( , )u x yiv x y第4页/共100页第五页，编辑于星期一：十一点 二十分。xyiyxiyxivuwivuwiyxzz

5、w2)()(2222 则则令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的函数的函数表示成表示成将将zzf1( )f zzz（拼拼凑凑法法）11,(),()22zxiyxzzyzzi（共共轭轭法法）设设则则第5页/共100页第六页，编辑于星期一：十一点 二十分。oxy(z)ouv(w)EGw=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() ()(变变换换平平面面）的的映映射射平平面面wGwzEzzfw 的的原原象象。称称为为的的象象，而而为为称称wzzw 定义域定义域 值域值域 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几

6、何意义复变函数的几何意义zw=f(z)w第6页/共100页第七页，编辑于星期一：十一点 二十分。A 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中在复变函数中, ,用两个复平面上点集之间的用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 x，y与与 u，v 之间的对应关系。以便在研究和理解复变之间的对应关系。以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）第7页/共100页第八页，编辑于星期一：十一点 二十分。.所构成的映射所构成的

7、映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos设设解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例4222,2wzuxyvxy 2| | ,arg()2arg( )wzwz乘法的模与辐角定理乘法的模与辐角定理第8页/共100页第九页，编辑于星期一：十一点 二十分。oxy(z)x、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2uv(w)o第9页/共100页第十页，编辑于星期一：十一点 二十分。.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例4oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 4

8、22 yx2zw 2zw 2zw 2zw 第10页/共100页第十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。229xy（1 1）22(1)1xy（2 2）zw1例例5 5、 求下列曲线在映射求下列曲线在映射下的象下的象22221,xywuvzxyxy 消消 x, y 建立建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入后，代入原象曲线方程即得象曲线方程原象曲线方程即得象曲线方程. .2222119uvxy 第11页/共100页第十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。22111uivwzxiy

9、zwuivuv （2 2）2222uxuvvyuv 2222221()(1)12uvvuvuv 代入原象曲线方程，得代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。平面内的一条直线。第12页/共100页第十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w =f (z) 的定义域为的定义域为E, 值域为值域为GEz Gwzfw )(Gw ()()zwzE 若若一一个个 或或几几个个则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函

10、数或的反函数或逆映射逆映射,1 ( )zff zzE 当当反反函函数数单单值值时时，)(1zffz 一般一般1( )zfw 记记作作。第13页/共100页第十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。是是一一一一对对应应的的。映映射射都都是是单单值值的的，则则称称函函数数逆逆映映射射和和其其反反函函数数映映射射当当函函数数)()()()()()(zfwwzzfw 1. 已知映射已知映射w= z3 ，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。3 第14页/共100页第十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。& 1. 函数的极限函数的极限& 2. 运算性质运算性质& 3.函数的连续性函数的

11、连续性第15页/共100页第十六页，编辑于星期一：十一点 二十分。1. 函数的极限函数的极限00( )lim( )zzAf zzzf zA 则则称称 为为当当时时的的极极限限，记记作作定义定义uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中0 ( ),(,),0,wf zzUzA设设若若存存在在数数 ， 00),0,( ),zzf zA （ ） 当当时时 有有0( )zzf zA或或当当时时，第16页/共100页第十七页，

12、编辑于星期一：十一点 二十分。A (1)(1) 定义中定义中, , 的方式是任意的的方式是任意的. .与一与一 元实变函数相比较要求更高元实变函数相比较要求更高. .0zz (2) A是复数是复数. . 2. 运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000( )( , )( , ) f zu x yiv x yzxiy zxiy设设，定理定理2.1(3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyx

13、yxzz 则则第17页/共100页第十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则则若若定理定理2.2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !第18页/共100页第十九页，编辑于星期一：十一点 二十分。例例1.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例例2.0)(时时的的极极限

14、限在在求求 zzzzzzf在在平平面面上上处处处处有有极极限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222处处极极限限不不存存在在在在yxyxzf 第19页/共100页第二十页，编辑于星期一：十一点 二十分。证证 (一一), iyxz 令令,)( 22yxxzf 则则, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 例例3.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf第20页/共100页第二十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。)1(lim220

15、kxxx ,112k , 值的变化而变化值的变化而变化随随k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根据定理根据定理2.1可知可知, . )(lim0不存在不存在zfz证证 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 则则,cos 第21页/共100页第二十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。 , arg 趋于零时趋于零时沿不同的射线沿不同的射线当当 zz .)(趋于不同的值趋于不同的值zf , 0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趋于零时趋于零时沿沿 z, 0)(zf .

16、 )(lim 0不存在不存在故故zfz第22页/共100页第二十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。000,lim( )()( )zzzzCf zf zf z若若 、且且，则则称称000lim( )()( );zzf zf zf zz 若若，则则称称在在 处处连连续续3.函数的连续性函数的连续性定义定义2.3000000(, )(,)00(, )(,)lim( , )(,).lim( , )(,)x yxyx yxyu x yu xyv x yv xy 定理定理2.5( );Df zD若若在在区区域域 内内每每一一点点连连续续，则则称称在在 内内连连续续0.Cz在在曲曲线线 上上点点 处处连连

17、续续000( )( , )( , )f zu x yiv x yzxiy设设在在处处连连续续，第23页/共100页第二十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu , ),(22在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyxv . ),( 处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处故故yxf第24页/共100页第二十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。 定理定理2.3,2.4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续

18、函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。01( )nnP zaa za z 由由以以上上讨讨论论在在整整个个复复平平面面内内是是连连续续的的；C设设曲曲线线 为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在内内的的曲曲线线段段，有界性：有界闭区域上连续函数的最大（小）模原理有界性：有界闭区域上连续函数的最大（小）模原理( )( )0.( )P zR zQ z 在在复复平平面面内内除除分分母母为为 点点外外处处处处连连续续( )0,( )f zCMf zM 若若在在 上上连连续续在在曲曲线线上上恒恒有有第25页/共100页第二十六页，编辑于星期一：十一点 二十

19、分。第26页/共100页第二十七页，编辑于星期一：十一点 二十分。& 1. 复变函数的导数定义复变函数的导数定义& 2. 解析函数的概念解析函数的概念第27页/共100页第二十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。 一一. 复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义2.4 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导处可导, 称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000

20、如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导。第28页/共100页第二十九页，编辑于星期一：十一点 二十分。例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 A (1) (1) z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2) (2) z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) x+iy, f=f(z+z)-f(z) 第29页/共100页第三十页，编辑于星期一：十一

21、点 二十分。.Re)(:可可导导在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例例2zzzzzf )Re()Re(:证证明明yixxxx yixx .lim0不不存存在在zfz 0,z 当当取取实实数数趋趋于于 时时1;fz 0,z 当当取取纯纯虚虚数数趋趋于于 时时0;fz 第30页/共100页第三十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (

22、z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf第31页/共100页第三十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。.0)()()()(10处处可可导导点点外外）处处在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z=h

23、(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且h (w) 0。)( 1)( whzf 第32页/共100页第三十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。例例4 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？!0, 020, 012lim0不存在不存在时时当当时时当当 yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例3解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(处处不可导处处不可导故函数故函数yixzf 第33页/共100页第三十四页，编辑于星期一：十一点 二十分

24、。A (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的缘故。以任意方式趋于零的缘故。 (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。第34页/共100页第三十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导

25、在在实实函函数数中中zzhxxf &思考题思考题2 ( ) 0 , . h zzz仅仅在在处处可可导导 而而在在其其他他点点都都不不可可导导第35页/共100页第三十六页，编辑于星期一：十一点 二十分。zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趋于趋于沿直线沿直线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 11zzhzzh )()(00zzzz 2020第36页/共100页第三十七页，编辑于星期一：十一点 二十分。 , 的任意性的任意性由于由于k .11不趋于一个确定的

26、值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , 0 )( 2不可导不可导而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh第37页/共100页第三十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。?(3)可导与连续可导与连续若若 w=f (z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.反过来不成立，反过来不成立，例如：函数例如：函数f (z)=x+2yi在整个平面上处在整个平面上处处连续但处处不可导。处连续但处处不可导。证证明明过过程程类类似似于于一一元元函函数数。(4) 微分的概念微分的概念 复变函数微分的概念在形式

27、上与一元实变函数复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致的微分概念完全一致.第38页/共100页第三十九页，编辑于星期一：十一点 二十分。. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定义定义. )( , 00可可微微在在则则称称函函数数的的微微分分存存在在如如果果函函数数在在zz

28、fz .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf第39页/共100页第四十页，编辑于星期一：十一点 二十分。特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即可微可微 可导可导 连续连续 有定义有定义极限存在极限存在 “同生死，共存亡同生死，共存亡”。第40页/共100页第四十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。二二. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果

29、函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。A (1) w=f (z) 在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。 (2) 函数函数f (z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。如果如果f (z)在点在点z0不解析，但在不解析，但在 的任一邻域内总有的任一邻域内总有f(z)的解析点，就称的解析点，

30、就称z0是是f (z)的的奇点奇点。0z第41页/共100页第四十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。例例5 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。 时时不不存存在在时时0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明不存在！不存在！时时当当时时当当 0, 010, 00lim0yxxyyixxz第42页/共100页第四十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。例如例如(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数

31、；上的解析函数；定理定理2.6（1）设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，则内的解析函数，则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D内内的解析函数。的解析函数。(2) w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函点外，是整个复平面上的解析函数数, z=0为它的奇点为它的奇点 ；(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见见例例5)。第43页/共100页第四十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。.)0()()()()(10的的解解析析函函数数点点外外除除分分母母为为是是复

32、复平平面面上上函函数数；是是整整个个复复平平面面上上的的解解析析由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 定理定理 2.6(2) 设设 w=f (h) 在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析, h=g(z) 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析, h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。 第44页/共100页第四十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。& 1. 函数解析的充要条件函数解析的充要条件& 2. 举例举例第45页/共100页第四十六页，编辑于星期一：十一点 二十分。 如果复变函

33、数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域在定义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w = f (z) 在在 D内解析。内解析。 本节从函数本节从函数 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何从函数的实部与虚部判断的解析性呢？如何从函数的实部与虚部判断的解析性呢？第46页/共100页第四十七页，编辑于星期一：十一点 二十分。

34、称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).定义定义2.6 对于二元实函数对于二元实函数u(x,y)，v(x,y),方程方程yuxvyvxu 一一. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件第47页/共100页第四十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(第48页/共100页第四十九页，编辑于星期一：十一点 二十分。xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz

35、),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu 第49页/共100页第五十页，编辑于星期一：十一点 二十分。yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 第50页/共100页第五十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。( ) fz存存在在A 记忆记忆yvxv

36、yuxu uvixx,uvvuxyxy vuiyy第51页/共100页第五十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。定理定理2.7 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 内有定义，内有定义， 则则 f (z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 (1)u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微，可微， (2) u(x, y) 和和 v(x, y)满足满足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 当上述条件满足时当上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 第52页/共100页

37、第五十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。证明证明（由由f (z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须方程满足上面已证！只须证证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函数函数 w =f (z)点点 z可导，即可导，即)( )()()(zfzzfzzfz 设设则则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz 第53页/共100页第五十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x

38、 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx1200lim0,xyxyz 0lim1200 zyxyx 第54页/共100页第五十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。所以所以u(x, y)，v(x, y)在点在点(x, y)处可微处可微. （由函数（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f

39、 (z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx 第55页/共100页第五十六页，编辑于星期一：十一点 二十分。yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixvixuzzfzzf )()()()(4231 第56页/共100页第五十七页

40、，编辑于星期一：十一点 二十分。定理定理2.8 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以求仅由其实部或虚部就可以求出导数来出导数来. .A 利用该定理同样可以判断哪些函数是不可导的利用该定理同样可以判断哪些函数是不可导的. . 其中其中C-RC-R方程是复变函数

41、可导的主要条件。方程是复变函数可导的主要条件。第57页/共100页第五十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。可导或解析的充分条件可导或解析的充分条件 2.1 ( )( , )( , ),f zu x yiv x yx yD推推论论函函数数在在点点可可导导（区区域域 内内解解析析）的的充充分分条条件件是是1,xyxyuuvvD、偏偏导导数数在在点点（x,yx,y）( (区区域域 内内) )连连续续; ;2( , )( , )-u x yv x yD、和和在在点点（x,yx,y）( (区区域域 内内) )满满足足柯柯西西 黎黎曼曼方方程程. . , uvuvxyyx ( )uvvvuuvuxxyx

42、xyyyfziiii且且第58页/共100页第五十九页，编辑于星期一：十一点 二十分。使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个实并不是两个实函数分别关于函数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .第59页/共100页第六十页，编辑于星期一：十一点 二十分。二二.

43、举例举例 2(1);(2) ( )(cossin )(3)xwzf zeyiywz；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001第60页/共100页第六十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuy

44、eyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx (2) ( )(cossin )xf zeyiy；第61页/共100页第六十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件，故条件，故。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw解解 (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu 2(3)wz 第62页/共100页第六十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内是解析的内是

45、解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzf(2) ( ) , ( , ) CR , ( ) .f zuivu vDu vf zD 如如果果复复变变函函数数中中在在内内的的各各一一阶阶偏偏导导数数都都存存在在、连连续续 因因而而可可微微并并满满足足方方程程 那那么么根根据据解解析析函函数数的的充充要要条条件件可可以以断断定定在在内内解解析析第63页/共100页第六十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例2

46、 复复常常数数）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明:第64页/共100页第六十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。 ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf(7) arg ( ). f z 常常数数 . , )( 则以下条件彼此等价则以下条件彼此等价内解析内解析在区域在区域如果如果Dzf ; (1)( )f z 恒恒数数; 0)()2( zf ;)( )3(常数常数 zf ;)( )4(解析解析zf第65页/共100页第六十六页，编辑于星期一：十一点 二十分。

47、练习练习 求证函数求证函数.0),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求处解析，并求在在 证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f (z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为第66页/共100页第六十七页，编辑于星期一：十一点 二十分。22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw ?)(,)()(2222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时

48、取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 练习练习: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2第67页/共100页第六十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1 、 C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一

49、条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全为为与与yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.第68页/共100页第六十九页，编辑于星期一：十一点 二十分。ii) uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=， k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的, 它们仍互相正交。它们仍互

50、相正交。第69页/共100页第七十页，编辑于星期一：十一点 二十分。第70页/共100页第七十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。& 1. 指数函数指数函数& 2.对数函数对数函数& 3.乘幂与幂函数乘幂与幂函数& 4. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数& 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数第71页/共100页第七十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。内内 容容 简简 介介第72页/共100页第七十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。(cossin ).zx iyxeeeyiy (exp )zez来来规规定定指指数数函函数数或或1.定义定义2.7 对任何复数对任何复数z=x

51、+iy,用关系式用关系式2.指数函数的基本性质指数函数的基本性质1 ( ),.zzxe 对对实实数数定定义义与与通通常常实实指指数数函函数数定定义义一一致致32012( )|;,;.zxzeeArgeykk ，一一. 指数函数指数函数20( ),cossin.()ziyzxeeyiy对对Re(Re(欧欧拉拉公公式式(4),0zz e)0exp,( xez事事实实上上第73页/共100页第七十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。(6):运运算算法法则则111222,zxiy zxiy设设，则则12zze e 111(cossin)xeyiy 222(cossin)xeyiy 121212cos(

52、)sin()xxeyyiyy 12zze 5( )zwe 指指数数函函数数在在整整个个复复平平面面是是解解析析，且且有有：zzee)(11212122zzzzzzzzee eeee ,=。加加法法定定理理：011 1(cos()sin()zzx xzze eeyyiyyeee ，第74页/共100页第七十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事实实上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 这个性质是实变指数函数所

53、没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。2zwei ( (7 7) )指指数数函函数数是是基基本本周周期期为为的的周周期期函函数数：第75页/共100页第七十六页，编辑于星期一：十一点 二十分。没有幂的意义.没有幂的意义.它的定义为它的定义为仅仅是个符号仅仅是个符号 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzA )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikzlimzze ( (8 8) )极极限限不不存存在在，即即e e 无无意意义义。2( )LHospital微微分分中中值值定定理理在在复复域域上上不不成

54、成立立，但但法法则则在在复复平平面面上上仍仍成成立立第76页/共100页第七十七页，编辑于星期一：十一点 二十分。二二. 对数函数对数函数定义定义2.8 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令201ln()(,)wLnzrikk ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 对数的定义对数的定义第77页/共100页第七十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。,()Lnz

55、Lnz为为的的一一单单值值函函数数 称称为为的的主主值值 主主值值支支.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数；它它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,0,lnargln(2)kLnzzizz 记记作作当当时时)(2lnZkkizLnz 故故.,2ziez求求设设 例例4, 1, 0222ln kikiz 第78页/共100页第七十九页，编辑于星期一：十一点

56、二十分。ln(1)ln 1(1)(21)iiLnki w 不不仅仅对对正正数数有有意意义义 对对一一切切非非零零复复数数都都有有意意义义负负数数对对数数1)Lnz,1)Lnz,.(也.(也有有) ) 0lnlnln2zaLnzzaLnzak ikZ 例例如如 当当的的主主值值(0)lnlnln(21)za aLnzzaiLnzaki 当当的的主主值值特别特别A .,这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致 2)2)第79页/共100页第八十页，编辑于星期一：十一点 二十分。(2) 对数函数的性质对数函数的性质21212121,)(

57、)1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主值主值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上都都不不而而z见见P21例例2.3.ln,在在复复平平面面内内处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z第80页/共100页第八十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平面内解析平

58、面内解析在除去原点与负实轴的在除去原点与负实轴的解析性解析性zzLnzLnz1)( 且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和第81页/共100页第八十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。q 幂函数幂函数zb当当b = n (正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数为正整数）为正整数）nnb(1 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn )12 , 1 , 0( nknz .解解析析除除原原点点与与负负实实轴轴外外处处处

59、处的的解解析析性性由由于于Lnz的的反反函函数数nwz 三三. 幂函数幂函数 0()bbLnzwzezz函函数数，b b为为复复常常数数称称为为 的的一一般般幂幂函函数数。第82页/共100页第八十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。)()( ,1单值分支单值分支且且解析解析除原点与负实轴外处处除原点与负实轴外处处 bbbbzzzwbzw ,一般而论一般而论 除去除去b为正整数外为正整数外,为多值函数，为多值函数，当当b为无理数或复数时，为无穷多值。为无理数或复数时，为无穷多值。 第83页/共100页第八十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。q 乘幂乘幂ab, 0, aba且且为为复复数数设设

60、.bLnabea 定定义义乘乘幂幂., 0,为实数为实数实变数情形实变数情形ba A kiaLna2ln 多值多值一般为多值一般为多值)2(ln kiabbLnabeea 第84页/共100页第八十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。.,它它是是单单值值函函数数为为整整数数时时bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 为为整整数数当当 b)0,( qqpqpb且且为为互互质质的的整整数数当当)2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2

61、(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具有具有一般而论一般而论ba,.无无穷穷多多支支第85页/共100页第八十六页，编辑于星期一：十一点 二十分。 (2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。LnaLnaLnaeee LnaLnaLnanLnaneea 个个naaaa nkannnniaikaiaLnaeeeea 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkainkaan )12 , 1 , 0

62、( nkna 第86页/共100页第八十七页，编辑于星期一：十一点 二十分。ikikLneee22)21(ln21221 )2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2 , 1 , 0( k)sin()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0( k)22sin(22cos( kik )2,1,0( k解解.1322的的值值和和、求求iii例例5第87页/共100页第八十八页，编辑于星期一：十一点 二十分。)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 从

63、从而而得得到到时时当当由由指指数数函函数数的的定定义义四四. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数称为称为zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定义定义2.10第88页/共100页第八十九页，编辑于星期一：十一点 二十分。周周期期函函数数是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质2)sin,cos.zz是是奇奇函函数数是是偶偶函函数数zzzieezizizcos)cos(;sin2)sin

64、( 同理同理第89页/共100页第九十页，编辑于星期一：十一点 二十分。4)Eulercossinizzeziz 公公式式对对一一切切 成成立立3),(sin )cos(cos )sinzzzz 在在复复平平面面上上处处处处解解析析 且且zeeeeizizizizizcos)(21)(21)(sin 5)各各种种三三角角恒恒等等式式仍仍然然成成立立（半半角角公公式式除除外外）第90页/共100页第九十一页，编辑于星期一：十一点 二十分。 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxi

65、yxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( )4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(第91页/共100页第九十二页，编辑于星期一：十一点 二十分。zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函数的定义其它三角函数的定义)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点Zkkzz 2cos 的零点为的零点为117122)cos,sin, cosyyeeieeyiys

66、hyiyi 模模可可以以大大于于1 1甚甚至至无无界界。当当第92页/共100页第九十三页，编辑于星期一：十一点 二十分。)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz,)2第93页/共100页第九十四页，编辑于星期一：十一点 二十分。.,一一定定是是多多值值函函数数反反函函数数且且是是周周期期函函数数，故故它它的的定定义义的的函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定义义析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3第94页/共100页第九十五页，编辑于星期一：十一点 二十分。1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记作记作的反余弦函数的反