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1、北师大贵阳附中2020学年第一学期期中考试高一数学第I卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则集合真子集的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题可得,结合可求出集合,进而可求出集合真子集的个数.【详解】由题意,解得,又因为,所以或,故,则集合的真子集的个数为.故选:C.【点睛】集合有个元素,其子集有个,真子集有个.2.下列四个函数中，在区间上单调递增的函数是 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分别画出各个函数的图象,由单调函数图象特征可知,选项B正确.故选B.
2、A B. C. D.本题主要考查函数的单调性的判断和证明,增函数的图象特征,属于基础题3.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，则，所以，故选B.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的定义域求出的定义域，再根据的定义域求出的定义域【详解】解：函数的定义域为，即，即的定义域为，解得，故选C【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，是基础题5.定义在上的奇函数满足，且当时，则（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等式可得函数的周期，得到，再由奇函数的性质得，根据解析式求出，从而得到的值.【
3、详解】因为，所以的周期，所以，故选D.【点睛】由等式得函数的周期，其理由是：为函数自变量的一个取值，为函数自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.6.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.【详解】令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.故选B【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.7.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
4、】函数 ，可得 ， 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除B，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项8.已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数的单调性,然后利用单调性可得到关于的不等式,求解即可.【详解】幂函数的定义域为,且是定义域上的减函数,因为,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于基础题
5、.9.三个数的大小顺序是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由指数函数和对数函数的图象与性质得，即可求解【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，所以，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题10.已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用分段函数在上为递减函数,列式解不等式组可得.【详解】因为是上的减函数,所以,即,解得,故选C.【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题.第II卷二、填空题（
6、本题共5小题，每小题4分，共20分）11.集合x|x1用区间表示为 【答案】【解析】试题分析：集合x|x1表示小于等于1的实数，用区间表示为考点：集合的表示法12.设：是集合到集合的映射，若，则_【答案】或【解析】【分析】结合映射的概念,先求出集合中可能有的元素,然后与集合取交集即可.【详解】由题意得,或,解得或.若,则,若,则.即或.故答案为:或.【点睛】本题考查了映射概念的应用,考查了集合的交集的运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.13.函数f(x)loga(x2)必过定点_【答案】(3，0)【解析】【分析】利用函数图像的变换分析得解.【详解】由题意得，函数ylogax恒过点(1，0)
7、，函数ylogax向右平移2个单位，可得yloga(x2)的图象，所以函数yloga(x2)图象必经过定点(3，0)故答案为(3，0)【点睛】本题主要考查对数函数图像的定点问题和图像的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.已知函数，则的解析式为_.【答案】【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令，则 故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点15.已知函数若方程恰有三个不同的实数解.，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】通过作出函数图像，将三个实数解问题转化为三个交点问题，可得m的取值范围，于是再解出c的取值范围可
8、得最后结果.【详解】作出函数图像，由图可知，恰有三个不同的实数解，于是，而，解得，故，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数图像的运用，分段函数的交点问题，意在考查学生的转化能力，图像识别能力，对学生的数形结合思想要求较高.三、解答题（本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算下列各式：（1）若，求的值；（2）【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）先求出,再结合,代入原式可求出答案;（2）结合对数的运算性质,化简即可.【详解】（1）因为,所以,又,则.（2）.【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了有理数的指数幂的化简求值,考查了学生的计算求解能力,
9、属于基础题.17.已知全集，集合，（1）求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）分别求出集合与,然后将和集合取交集即可;（2）先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围.【详解】（1）由题意,解得,即集合,则或,又,所以;（2）,若,则,解得;若,则,解得.故的取值范围是或.【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.18.近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化
10、器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【答案】（） ;（）12 .【解析】试题分析：（1）先求得，再由，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（
11、1）由题意得 . （2）当时， 函数递减，万元 当时，函数当时，有最大值60万元 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 . 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).19.已知函数（1）探究的单调性，并证明你的结论；（2）求满足的的范围【答案】
12、（1）函数是上的增函数,证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）函数是上的增函数,用定义法证明单调性即可;（2）由函数的单调性,并结合,可得到关于的不等式,求解即可.【详解】（1）函数是上的增函数.证明:函数的定义域为,任取,且,则,因为,所以,又,故,即,所以函数是上的增函数.（2）函数是上的增函数,又,所以,解得.故满足不等式的的范围是.【点睛】本题考查了函数单调性的证明,考查了函数单调性的应用,考查了学生的推理能力,属于中档题.20.已知函数（1）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】
13、（1）函数没有交点,即方程没有解,可得到方程无解,构造函数,求其值域,进而可求出的取值范围;（2）两函数只有一个公共点,即方程只有一个解,结合对数的运算性质及二次函数的性质,分类讨论可求出的取值范围.详解】（1）由题意,方程无解,即方程无解,令,则函数与的图象无交点.,令,因为,所以,因为函数是上的增函数,所以的值域是,即函数的值域为.故只需,可使函数与的图象无交点.即的取值范围是.（2）由题意,方程只有一个解,即方程为,则方程只有一个解,令,则,整理得,该方程有且仅有一个正解.当时,则,解得,不符合题意,舍去;当时,则为开口向上的二次函数,当时,显然,二次函数存在唯一正零点,即方程有且仅有一个正解,符合题意;当时,则为开口向下的二次函数.若一元二次方程有两个相同正解,则,解得或.时,解得,不合题意,舍去;时,解得,符合题意;若一元二次方程有两个不同的解,且只有一个正解,则,解得或,且,即,不符合,舍去.综上,的取值范围是或.【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了两函数图象交点与方程解的关系,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.
贵州省北京师范大学贵阳附中2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）
