质点力学理论力学学习教案

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1、会计学1第一页，共85页。2ktzjtyitxr)()()( 极轴)()(titrr 第1页/共85页第二页，共85页。3)(trr )()()(tzztyytxx )()(ttrr )(xyy )( rr 直角坐标(zh jio zu bio)极坐标n轨道方程轨道方程第2页/共85页第三页，共85页。4ABrrrrdtrdtrtvtlim0)(vdtdstrtvtlim0)(注意：位移(wiy)与路程的区别n速度速度注意注意：(1)速度矢量(2)速率第3页/共85页第四页，共85页。5rvdtvdtvtat lim0)(第4页/共85页第五页，共85页。6kzj yi xrkzj yi xd

2、trdvkzj yi xdtvda rvtaavtr,)(,)(已知 初始条件第5页/共85页第六页，共85页。7)(i rrjri rvjrrirra )2()(2推导(tudo)第6页/共85页第七页，共85页。8rvrvr rrarrar22idtj djdti didj djdi dn 2. 单位(dnwi)矢量求导第7页/共85页第八页，共85页。9cAAA以 转动(zhun dng)AdtAd第8页/共85页第九页，共85页。10)( i)( jn)(kb)(tss i vidtdsvjvidtdva2从轨道上选取一个原点o，用沿轨道曲线的弧长 s描述质点(zhdin)的位置推导第

3、9页/共85页第十页，共85页。11 i j k第10页/共85页第十一页，共85页。12求：规尺上求：规尺上M点的点的 轨道方程轨道方程(fngchng)， 速度，加速度。速度，加速度。第11页/共85页第十二页，共85页。13bterctb、c是常数求：速度求：速度(sd)、加速度、加速度(sd)例题例题3已知：质点的轨道方程已知：质点的轨道方程sin4as 为切线与水平线夹角，为切线与水平线夹角，s弧长弧长. 圆滚线方程圆滚线方程证明：若证明：若为常数，加速度也为一常数为常数，加速度也为一常数.第12页/共85页第十三页，共85页。14dtdv 曲率曲率(ql)半径，半径， 为速度与水平

4、线夹角为速度与水平线夹角第13页/共85页第十四页，共85页。15一质点沿抛物线一质点沿抛物线 运动运动(yndng)，速率为常量，速率为常量c. 运动运动(yndng)过程过程pxy22中质点中质点(zhdin)的纵坐标的纵坐标y不断变小不断变小. 试求出质点试求出质点(zhdin)的速度和加的速度和加速度速度.第14页/共85页第十五页，共85页。16orrrovvvorrroaaaaaS系：oxy 静系S系：oxy 动系 任一质点(zhdin) P：绝对速度相对速度牵连速度绝对速度相对速度牵连速度绝对加速度相对加速度牵连加速度绝对加速度相对加速度牵连加速度特别：特别：S相对S作匀速直线运

5、动第15页/共85页第十六页，共85页。17第16页/共85页第十七页，共85页。18amF12FF3.牛顿第三(d sn)定律第17页/共85页第十八页，共85页。19第18页/共85页第十九页，共85页。20amFFFmm aaamFS系与系与S系中牛顿第二定律形式相同系中牛顿第二定律形式相同(xin tn)，符合相对性原理，符合相对性原理S系：作匀速直线运动，惯性系系：作匀速直线运动，惯性系.第19页/共85页第二十页，共85页。21)(trF),(22tdtrdrFdtrdm 解微分方程： （1）受力分析(fnx) 万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等.一、建立运

6、动微分方程一、建立运动微分方程 1. 自由质点自由质点第20页/共85页第二十一页，共85页。22),(),(),(tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx ),()2(),()(trrFrrmtrrFrrmr bnFFvmFdtdvm02平面平面(pngmin)极坐标极坐标自然坐标自然坐标第21页/共85页第二十二页，共85页。23000vvrrt，)(trr )()()(tzztyytxx（4）求解(qi ji) 运动方程非线性非线性 混沌混沌(hndn)第22页/共85页第二十三页，共85页。24RtdtrdrFdtrdm),(22R 运动(yndng)微分方程

7、 解方程与自由质点一样解方程与自由质点一样 注意（注意（1） 一般未知，加约束方程一般未知，加约束方程 （2）用自然坐标系很方便）用自然坐标系很方便第23页/共85页第二十四页，共85页。25)cos(0tEEx)cos(0teEeEFxx电子电子(dinz)受力：受力：第24页/共85页第二十五页，共85页。26)(vR若若 求抛射体的轨道方程求抛射体的轨道方程 vmbvR)(第25页/共85页第二十六页，共85页。27kzkj yki xkzyxFzyx),(第26页/共85页第二十七页，共85页。28第27页/共85页第二十八页，共85页。29)(tFkxxbxm )(1tEqCqRqL

8、 第28页/共85页第二十九页，共85页。30第29页/共85页第三十页，共85页。31ayx42第30页/共85页第三十一页，共85页。32第31页/共85页第三十二页，共85页。33oaaaamFoamamF)(oamFam物理物理(wl)意义意义S系：系：oxy 动系动系第32页/共85页第三十三页，共85页。34第33页/共85页第三十四页，共85页。35BArdFWkzj yi xrkFjFiFFzyxdzFdyFdxFWzyBAx功：功：元功：元功：第34页/共85页第三十五页，共85页。36nFFFF21BAnBABArdFrdFrdFW21vFdtrdFdtdwp第35页/共8

9、5页第三十六页，共85页。37势能动能221mvT 物体物体(wt)相对位置发生变化相对位置发生变化 V机械能机械能第36页/共85页第三十七页，共85页。38)(kzVjyVixVVFdzzVdyyVdxxVrdFdW力仅是坐标力仅是坐标(zubio)的函数的函数 保守力和非保守力保守力和非保守力耗散力耗散力)(rF做功做功(zugng)与路径无关保守力与路径无关保守力第37页/共85页第三十八页，共85页。39dzFdyFdxFWzyBAxBAdzzVdyyVdxxVBAABVVdV)(处的势能),(zyxV),(zyxBA质点由势能的减少等于保守力所做的功是质点在第38页/共85页第三十

10、九页，共85页。400FF0zyxFFFzyxkji000 xFyFxFzFzFyFyxzxyz则为保守力即第39页/共85页第四十页，共85页。416252zyxFzyxFzyxFzyx7sincoszyx20求此质点沿螺旋线求此质点沿螺旋线运行自运行自时，力对质点所做的功时，力对质点所做的功.第40页/共85页第四十一页，共85页。421285432zyxFxzFzyxFzyx0FdzFdyFdxFWzyBAx226982可以可以(ky)证明证明做功做功(zugng)与路径有关与路径有关不存在势函数不存在势函数第41页/共85页第四十二页，共85页。43vmpdtpddtvmdF)(适用范

11、围更广，相对论中仍是此形式适用范围更广，相对论中仍是此形式(xngsh).2. 动量定理动量定理第42页/共85页第四十三页，共85页。44211212ttdtFvmvmpp21ttdtFI0Fcvmp0F0 xFcxmpx则但分量分量(fn ling)形式：若形式：若意义：质点不受外力作用时，动量保持不变意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.则若若意义：质点动量的变化等于外力在这段时间内给予该质意义：质点动量的变化等于外力在这段时间内给予该质 点的冲量点的冲量. 动量定理的积分形式动量定理的积分形式.4. 动量守恒定律动量守恒定律第43页/共85页第四十四页，共85页。45FFrMMMrF

12、sinrFM kFjFiFFzyxkzj yi xr对轴的力矩对轴的力矩(l j)：对点的力矩：对点的力矩(l j)再投影到轴上再投影到轴上的大小右手螺旋的方向对A点的力矩1.力矩力矩第44页/共85页第四十五页，共85页。46zyxFFFzyxkjiFrMkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(kMjMiMzyx对对y轴的力矩轴的力矩(l j)对对z轴的力矩轴的力矩第45页/共85页第四十六页，共85页。47zmymxmzyxkjivmrJkxyyxmjzxxzmiyzzym)()()(kJjJiJzyx第46页/共85页第四十七页，共85页。48MdtJdxyzxyzyFxF

13、xyyxmdtdxFzFzxxzmdtdzFyFyzzymdtd)()()(2112ttdtMJJ意义：质点动量矩的变化等于外力意义：质点动量矩的变化等于外力(wil)在该时间内在该时间内给予给予 该质点的冲量矩该质点的冲量矩.积分形式积分形式 证明第47页/共85页第四十八页，共85页。490M0FvmrJ0M0zMzJ常量(chngling)恒矢量(shling)Fr/第48页/共85页第四十九页，共85页。500Fr321)()()(cxyyxmJczxxzmJcyzzymJzyx) 3 () 2 () 1 (zyx)3()2() 1 (0321zcycxc得平面(pngmin)运动方程

14、：角动量守恒：J 为恒矢量第49页/共85页第五十页，共85页。51rdFmvd)21(2rrrdFmvmv02022121VF),(),(2121000202zyxVzyxVmvmv20000221),(),(21mvzyxVzyxVmv力是保守力2.机械能守恒机械能守恒(shu hn)积分形式证明意义：力对空间积累第50页/共85页第五十一页，共85页。52ctzyxzyxGx),(数学上：二阶微分方程降为一阶数学上：二阶微分方程降为一阶物理上：力学量物理上：力学量 G 是一个守恒是一个守恒(shu hn)量量 物理意义明显的初积分：物理意义明显的初积分： 动量守恒动量守恒(shu hn)

15、、动量矩守恒、动量矩守恒(shu hn)、能量守、能量守恒恒(shu hn)由初积分出发，问题的求解简化了一步由初积分出发，问题的求解简化了一步 优先使用守恒律优先使用守恒律第51页/共85页第五十二页，共85页。530t0第52页/共85页第五十三页，共85页。54势阱(sh jn)ExVxm)(212隧道(sudo)效应第53页/共85页第五十四页，共85页。55一质量为一质量为m的质点，在保守力作用下作直线运动，其的质点，在保守力作用下作直线运动，其势能势能(shnng)函数为：函数为：)()(22axcxxVa、c 为常数(chngsh)试求：试求：1）质点的稳定平衡点的位置）质点的稳

16、定平衡点的位置 2）质点在稳定平衡位置附近作微小振动时的）质点在稳定平衡位置附近作微小振动时的 振动周期振动周期 第54页/共85页第五十五页，共85页。56第55页/共85页第五十六页，共85页。57Fdtrdm22dtpddtvmdF)(MdtJdrdFmvd)21(20Fcvmp0McvmrJVFEVT运动运动(yndng)微分方程的初积分或第一积分微分方程的初积分或第一积分三个守恒三个守恒(shu hn)律律第56页/共85页第五十七页，共85页。58)(rF),(yx),(rrrrFrF)()( 用两个坐标(zubio)表示一、有心力的基本一、有心力的基本(jbn)性质性质2. 质点

17、始终在一平面内运动质点始终在一平面内运动1. 有心力定义有心力定义第57页/共85页第五十八页，共85页。59rrrFrm )(ryrFymrxrFxm)()( 0)2()()(FrrmrFrrm 分量分量(fn ling)形式形式)2() 1 (第58页/共85页第五十九页，共85页。600)(12rdtdrmmhmr2mhvmr动量矩守恒动量矩守恒(shu hn)（2）式：4.质点质点(zhdin)在有心力作用下，动量矩守恒在有心力作用下，动量矩守恒5. 有心力是保守力有心力是保守力0F证明 机械能守恒机械能守恒ErVrrm)()(21222第59页/共85页第六十页，共85页。61hrr

18、Frrm 22)()(Fududumh)(2222)()(rFrr”引力“”斥力“F已知可证明(zhngmng)：由方程(fngchng)第60页/共85页第六十一页，共85页。62cos2ar 5228rhmaFFududumh)(2222cos211aru2cossin21adducos1cos221322adud解：根据(gnj)的运动，则的运动，则第61页/共85页第六十二页，共85页。63rurF)(22222umkrmkrGMmF222222)(ukududuh220)cos(hkAu0、AGMk 2由初始条件定方程解方程解：由比耐公式由比耐公式(gngsh)：太阳（太阳（M）与行

19、星）与行星(m)间的万有引力间的万有引力：第62页/共85页第六十三页，共85页。64)cos(102222khAkhr00cos1cos12222epkhAkhr111eee双曲线抛物线椭圆(tuyun)讨论：圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程第63页/共85页第六十四页，共85页。65rmkdrrmkdrrFVr222)(Ermkrrm2222)(21hr2rkhrmEhrddr22222)cos(21104222mkEhkhr解：角动量守恒角动量守恒(shu hn)机械能守恒机械能守恒第64页/共85页第六十五页，共85页。6622)(21khmEe111eee000EEE022002

20、1rmkmvEE初始(ch sh)能量决定说明：轨道的形状由总能量说明：轨道的形状由总能量E决定决定，而E守恒，所以双曲线抛物线椭圆第65页/共85页第六十六页，共85页。67从开普勒定律从开普勒定律(dngl)推出万有引力定律推出万有引力定律(dngl)第66页/共85页第六十七页，共85页。68常数dtdAdtdrtrtAdtdAtt22002121limlim22rA cA cr2mhmr2cJ 0M0Fr0F所以：所以：r必与必与F共线，行星共线，行星(xngxng)必受有心力作用，太阳是力心必受有心力作用，太阳是力心行星有加速度行星有加速度，第67页/共85页第六十八页，共85页。6

21、9cos1 eprcos1pepusinpedducos22pedud)(222ududmhuFpumh1222221rrphmGMk 2说明：行星受力是平方反比引力，但不能说就是说明：行星受力是平方反比引力，但不能说就是(jish)万有引力，因万有引力，因 h、p与行星有关，而万有引力中与行星有关，而万有引力中 与行星无关与行星无关.第68页/共85页第六十九页，共85页。70ph2hrdtdA21212tabAabh223222222244aabbaphca23cph2ph2与行星与行星(xngxng)无关无关.结论：结论：h、p虽与行星有关，但虽与行星有关，但开普勒第三定律开普勒第三定律

22、：有由设行星运行周期设行星运行周期第69页/共85页第七十页，共85页。7122rphmF222rmkphk222324aka232第70页/共85页第七十一页，共85页。72cos2114222mkEhkhr0220021rmkmvEEcos)2(1102204222rkvkhkhr)2(1022042rkvkhe第71页/共85页第七十二页，共85页。730e0EsmRgrGMrkv/109 . 730001e0E0210220rmkmvsmRgRGMrkv/102 .112223020第二第二(d r)宇宙速度宇宙速度沿抛物线轨道飞出，脱离(tul)地球第一宇宙速度第一宇宙速度圆形轨道圆

23、形轨道2.第72页/共85页第七十三页，共85页。741e0E双曲线双曲线脱离脱离(tul)太阳太阳smRGMvss/102 .4223地球地球(dqi)相对太阳的速度：相对太阳的速度：smve/10303行星脱离太阳的速度行星脱离太阳的速度：smvvve/10123还需克服地球引力还需克服地球引力：222222321212121mvmvRmkmvmv第三宇宙速度第三宇宙速度：smvvv/105 .1632223第73页/共85页第七十四页，共85页。75l新西兰科学家新西兰科学家 E.卢瑟福和他的学卢瑟福和他的学生生(xu sheng)进行的进行的原子核的发现原子核的发现第74页/共85页第

24、七十五页，共85页。761911理论计算与实验事实理论计算与实验事实(shsh)相符相符1909年，指导年，指导(zhdo)学生盖革等，用学生盖革等，用 粒子轰击原子，发现惊奇现象。粒子轰击原子，发现惊奇现象。1908年获诺贝尔化学奖年获诺贝尔化学奖用镭源所放出的用镭源所放出的 粒子，去轰击各种原粒子，去轰击各种原子，研究子，研究 粒子与物质的相互作用粒子与物质的相互作用第75页/共85页第七十六页，共85页。77)(fr：粒子粒子(lz)与核间距，与核间距，：散射角，：散射角，：瞄准距离：瞄准距离r第76页/共85页第七十七页，共85页。782222241ukrkrZeF0212rkmvE2

25、. 实验实验(shyn)结果：结果：， 与与Ze间是斥力间是斥力第77页/共85页第七十八页，共85页。79第78页/共85页第七十九页，共85页。802sincosmhkBAu)cos1 (sin12mhku由比耐公式由比耐公式(gngsh)：22222)(ukududumh222)(mhkudud通解通解：第79页/共85页第八十页，共85页。812222ctgEkctgmvk角动量守恒角动量守恒(shu hn)0,urkmhctg22第80页/共85页第八十一页，共85页。82散射截面散射截面ndNddndN2dd 2dddd)(2第81页/共85页第八十二页，共85页。83dmvkd)2(sinsin2)(4142第82页/共85页第八十三页，共85页。84第83页/共85页第八十四页，共85页。85第84页/共85页第八十五页，共85页。