福建省长汀、连城一中等六校2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）

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1、福建省长汀、连城一中等六校2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为（）A. 45B. 60C. 50D. 542. 设m、n表示不同的直线，、表示不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 命题“x0（0，+），lnx0x02-1”的否定为（）A. ,B. ,C. ,D. ,4. 从装有3个红球和2

2、个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是（）A. 恰有一个红球与恰有两个红球B. 至少一个红球与至少一个白球C. 至少一个红球与都是白球D. 至少一个红球与都是红球5. 已知椭圆，则以点M（-1，1）为中点的弦所在直线方程为（）A. B. C. D.6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7. 一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是（）A. B. C. D.8. 甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图

3、表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是，标准差分别是s1，s2，则下列说法正确的是（）甲乙 988 5 68821093 A. ,B. ,C. ,D. ,9. 已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A. B. 1C. D.10. 双曲线的左焦点为，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线右支上的动点，且APF1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2D.11. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动

4、点若GDEF，则线段DF长度的最小值是（）A. B. 1C. D. 12. 已知椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13. 已知向量，若，则实数=_14. 与双曲线有共同的渐近线，且过点（3，2）的双曲线方程为_15. 若命题：x0，3，使x2-2x-a0为真命题，则实数a的取值范围是_16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中17. 设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线；18. 曲线表示焦点在y轴上的椭圆，则；19

5、. 方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；20. 双曲线与椭圆有相同的焦点21. 其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题）22. 已知集合A=x|1-ax1+a（a0），B=x|x2-5x+4023. （1）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；24. （2）对任意xB，不等式x2-mx+40都成立，求实数m的取值范围25.26.27.28.29.30.31.32. 已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为433. （1）求抛物线C的方程；34. （2）过抛物线C的焦点F

6、且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|35.36.37.38.39.40.41.42. 某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：单价x（元）66.26.46.66.87销量y（万件）807473706558数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系（1）求销量y（件）关于单价x（元）的线性回归方程=x+；（2）根据销量y关于单价x的线性回归方程，要使加工后收益P最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）参考公式：=，=-43. 如图，在三棱柱ABC-A1B

7、1C1中，侧面AA1C1C是矩形，平面ABC平面AA1C1C，AB=2，AC=1，44. （1）求证：AA1平面ABC；45. （2）在线段BC1上是否存在一点D，使得ADA1B？若存在求出的值，若不存在请说明理由46.47.48.49.50. 某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照40，50），50，60），60，70），90，100分成6组，制成如图所示频率分布直方图51. （1）求图中x的值；52. （2）求这组数据的中位数；53. （3）现从被调查的问卷满意度评分值在60

8、，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率54. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为55. （1）求椭圆C的方程；56. （2）过点P（0，2）的直线l（不过原点O）与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB的中点57. （）证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；58. （）求OAB面积的最大值及此时l的斜率59.60.61.62.63.64.65.答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意可得=，求得n=54，故选：D由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题2.

9、【答案】A【解析】解：m、n表示不同的直线，、表示不同的平面，且m，n，则“”“m且n”，反之不成立“”是“m且n”的充分不必要条件故选：A利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“x0（0，+），lnx0x02-1”的否定为：x（0，+），lnxx2-1故选：C直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4.【答案】A【解析】解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任

10、取2个球，在A中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生，恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确；在B中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，但能同时不发生，故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C错误；在D中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误故选：A利用互斥事件与对立事件的定义直接求解本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.【答案】B【解析】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2）

11、，两式相减得，=-，又M（-1，1）为AB的中点，x1+x2=-2，y1+y2=2代入式得=，即kAB=，直线AB方程为y-1=（x+1），即4x-5y+9=0故选：B因为是一个选择题，可采用“点差法”，即先设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程本题还可采用常规法，先设弦所在直线方程为y-1=k（x+1），代入椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到x1+x2的值，又AB中点为（-1，1），则有x1+x2=-2，可解出k的值注意验证斜率不存在的情况，中档题6.【答案】C【解析】解：正方体ABCD

12、-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），M（0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），=（-1，1），=，所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为，故选：C以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题7.【答案】B【解析】解：一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件现随机抽出两件产品，基本事件总数n=15，抽到都是正品包含的基本事件个数m=6，则抽到都是正品的概率是p=故选：B先求出基本事件总数n=1

13、5，抽到都是正品包含的基本事件个数m=6，由此能求出抽到都是正品的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】A【解析】解：由茎叶图中数据，计算平均数为=（88+89+90+91+92）=90，=（85+86+88+88+93）=88，标准差为s1=，s2=，s1s2故选：A由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可本题考查了平均数与标准差的计算问题，是基础题9.【答案】C【解析】解：抛物线x2=y的焦点F（0，）准线方程y=-，设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|=y1+y2+=3解得y1+y2=，线段AB的中点纵坐标为，线段A

14、B的中点到x轴的距离为，故选：C根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离10.【答案】B【解析】解：由|AF1|=2，三角形APF1的周长的最小值为6，可得|PA|+|PF1|的最小值为4，又F2为双曲线的右焦点，可得|PF1|=|PF2|+2a，当A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF2|取得最小值，且为|AF2|=2，即有2+2a=4，即a=1，c=，可得e=故选：B由题意可得AF1|=2，

15、可得|PA|+|PF1|的最小值为4，设F2为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4，当A，P，F2三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题11.【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，2，1），G（1，0，2），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GDEF，所以 x+2y-2=0DF=当y=时，线段DF长度的最小值是故选：C建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GDEF

16、求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，空间直角坐标系，数量积等知识，是中档题12.【答案】D【解析】解：取特殊点P（0，2），则PA方程为y=x+2与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=-2或-，所以Q（-，），kPB=-1，kQF=-，=同理取P（0，-2），=-根据选项，排除A，B，C，故选：D取特殊点P（0，2），P（0，-2），求出，利用排除法，可得结论本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题13.【答案】-10【解析】解：向量，=+6+4=0，解得实数=-10故答案为：-10利用向量垂直的性质直

17、接求解本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】-=1【解析】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m0，且m1，则由题意可得，3-1=m，故m=2，故双曲线方程为-=1故答案为：-=1由题意，设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m0，且m1，代入点解出m即可本题考查了双曲线的性质应用，双曲线方程的求法，属于基础题15.【答案】a3【解析】解：命题x0，3，使x2-2x-a0为真命题，即ax2-2x在x0，3成立；设f（x）=x2-2x，其中x0，3；则f（x）=（x-1）2-1，且当x=3时，f（x）取得最大值为f（3）=3，所

18、以实数a的取值范围是a3故选：a3根据命题x0，3，使x2-2x-a0为真命题，得出不等式ax2-2x在x0，3成立；求出f（x）=x2-2x在x0，3内的最大值，即可求得实数a的取值范围本题考查了命题真假的应用问题，是基础题16.【答案】【解析】解：对于，根据双曲线的定义知，当k的范围满足|k|AB|时方程表示双曲线的一支，错误；对于，令，解得t4，此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于，解方程2x2-5x+2=0，得x=或x=2；可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，正确；对于，双曲线中，c=，焦点坐标为F1（-，0）、F2（，0）；椭圆中，c=，焦点坐标为F1（-，0）、F2（

19、，0），它们的焦点相同，正确；综上知，其中真命题的序号是故答案为：根据双曲线的定义知|k|AB|时方程表示双曲线的一支；根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可；求出方程2x2-5x+2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；分别求出双曲线和椭圆的焦点坐标，判断是否相同即可本题考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题，是基础题17.【答案】解：（1）A=x|1-ax1+a（a0），B=x|x2-5x+40=x|1x4因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，即BA，所以，或，所以，或，所以a3所以，实数a的取值范围是3，+）（2）要使任意xB，不等式x2-mx

20、+40都成立，又B=x|x2-5x+40=x|1x4由x2-mx+40，得，则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立实数m的取值范围（-，4【解析】（1）根据“xA”是“xB”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件（2）要使任意xB，不等式x2-mx+40都成立，又B=x|x2-5x+40=x|1x4由x2-mx+40，得，只要，即可得出本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18.【答案】解：（1）抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，|MF|=4，由抛物线的定义可得，p=2故所求抛物线方程为y2=4x；（2）由（

21、1）得p=2，焦点F（1，0），所以直线l的方程为y=x-1，并设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，得x2-6x+1=0，所以x1+x2=6，可得x1+x2+p=8，所以|AB|=8【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；（2）求得直线l的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题19.【答案】解：（1）由题意得，=

22、（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5，=（80+74+73+70+65+58）=70；则，；所以，所以所求回归直线方程为（2）由题意可得，整理得P=-20（x-6.5）2+245，当x=6.5时，P取得最大值为245；所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元【解析】（1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；（2）由题意写出收益函数P的解析式，求出P取最大值时对应的x值即可本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题20.【答案】解：（1）因为侧面AA1C1C是矩形，所以AA1AC，因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面

23、的交线AC，所以AA1平面ABC（2）由（1）知AA1AC，AA1AB由题意知AB=2，AC=1，所以ABAC，如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（0，2，0），假设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，其中，设（0，1），即（x1，y1-2，z1），解得x1=，y1=2-2，所以若在线段BC1上存在一点D，使得ADA1B，则，即，得4-6=0，解得，因为，所以在线段BC1上存在一点D，使得ADA1B，此时【解析】（1）由已知先证明AA1AC，利用面面垂直的性质可证AA1平面ABC（2）假设存在设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，且（0，1）

24、，求出，解得的值，即可求解本题主要考查了面面垂直的性质，空间向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题21.【答案】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）10=1，解得x=0.02（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）0.03=0.5，解得m=75（3）可得满意度评分值在60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 满意度评分值在70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，

25、b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4【解析】（1）由面积和为1，可解得x的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题22.【答案】解：（1）由题意得，解得，a2=2，b2=a2-c2=1，椭圆C的方程为；（2）（）设直线l为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），由题意得，（1+2k2）x2+8kx+6=0，=8（2k2-3）0，即，由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=，直线OM与l的斜率乘积为定值（）由（）可知：，令=t，则t0，SAOB=，当且仅当t=2时等号成立，此时k=，且满足0，AOB面积的最大值是，此时l的斜率为【解析】（1）由题意得，解得即可求出方程，（2）（i）设直线l为：y=kx+2，根据韦达定理和斜率公式即可求出，（ii）先根据弦长公式求出|AB|，再令=t，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求出本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，基本不等式，属于中档题