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1、厦门市湖滨中学2020届高三年5月适应性考试理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则A. B. C. D. 2的值为（ ）A. B. C. D. 13下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A. B. C. D. 4的展开式中的系数为（ ）A. B. 84 C. D. 2805设满足约束条件则的最大值为（ ）A. B. 3 C. 9 D. 126已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. 2 D. 7执行如图所示的程序框图，若输出的值为
2、，则判断框内应填入( )A. B. C. D. 8日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.通常由铜制的指针和石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游客在故宫中拍到的一个日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日晷的侧(左）视图可能为（ ） A. B. C. D. 9在中， ， ，则角（ ）A. B. C. 或 D. 10如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容
3、器，其中侧棱长为，底面边长为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A. B. C. D. 11已知过抛物线： 的焦点的直线交抛物线于， 两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12已知函数，则（ ）A. 有个零点 B. 在上为减函数C. 的图象关于点对称 D. 有个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若复数满足是虚数单位，则的虚部为_14已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_15已知函数，函数，则不等式的解集为_16将函数的图像向左平移个单位长度
4、后得到的图像.若在上单调递减，则的取值范围为_三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(6+6=12)已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值。18(6+6=12)如图，已知四边形是直角梯形，且，是等边三角形，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19(4+8=12)已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.（1）求椭圆的方程和点的坐标；（2）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.20(5+5+2=12)2020年5月，“一带
5、一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2020年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.（1）求获得台历是三人中至少有一人的红包超过5元的概率；（2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数与商家每天的净利润元，得到7组数据，如表所示，并作出了散点图.（i）直接根据散点图判断，与 哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.（的值取整数）（ii）根据（i）的判断，建立关于的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35
6、时，商家当天的净利润.参考数据：22.86194.29268.863484.29附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.21(5+7=12)设函数，其中为实常数，其图像与轴交于两点，且.（1） 求的取值范围；（2）设，证明：.22(5+5=10)【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）直线与曲线分别交于第一象限内的，两点，求.厦门市湖滨中学2020届高三年5月适应性考试理科数学参考答案选择题答案：CABCCA DADBDB
7、1C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，求出集合的补集，解方程化简集合，利用集合交集的定义进行计算即可.详解：因为或，所以又因为，所以 ，故选C.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2A【解析】分析：逆用二倍角正弦公式即可得到结果.详解：sin75cos75=sin75cos75=故选：A点睛：本题考查了二倍角正弦公式，属于基础题.3B【解析】原函数的定义域为，单调递增，奇函数，所以A、C、D错误，B正确。故选B。4C【解析】由
8、题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.5C【解析】可行域如图所示，当动直线过时， 有最大值，又，所以的最大值为,选C.6A【解析】设，则，所以， ，所以，得，所以，所以。故选A。7A【解析】,判断是,判断是,判断是,判断是,判断是,判断否,输出,故选A.8
9、D【解析】根据照片可知，左视图应为D.9D【解析】分析：在中，利用，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即， ，所以，所以，所以，故选D.点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.10B【解析】 由题意得，设求和三棱柱的上底面的三个焦点分别为,设截面圆的半径为，因为上底面是边长为的正三角形，则，设求的半径为，根据球的性质可得，所以球的表面积为，故选B。11D【解析】由题意知， 的焦点的坐标为（2,0）。直线的斜率
10、存在且不为0，设直线方程为。由消去y整理得，设， ，则，故 ，所以，直线的方程为，代入抛物线方程，解得，由条件知。所以。选D。 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围12B【解析
11、】分析：该题考查的是有关函数的零点、单调性、极值点以及对称性的综合问题，在解题的过程中，需要结合函数解析式，对选项逐个分析，得出结果，从而求得最终答案.详解：因为 恒成立，所以函数没有零点，故A不正确，不是奇函数，所以的图像不关于原点对称，从而得到的图象也不关于点对称，故C不正确，方程只有一个解，所以函数不会有个极值点，故D不正确，而在上恒成立，故在上为减函数，所以B正确，故选B.点睛：该题需要时刻关注函数的定义域，会利用导数研究函数的单调性，以及应用图像的交点个数去分析函数零点个数，还有就是函数的中心对称性可以向奇函数转化.13. 【解析】分析：先求出复数z，再求复数z的虚部.详解：由题得所
12、以复数z的虚部为-1.故答案为：-1点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.(2)复数的虚部是b,不是bi,这一点要注意.14【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，所以向量与的夹角是120. 故填120. 点睛：本题主要考查平行四边形法则和向量的夹角，属于基础题.15【解析】函数f（x）=，当1x1时，f（x）=1x；当x1时，f（x）=x+3；当x1时，f（x）=（x1）2当x1，即x1，可得g（x）=（x1）2+3x=x23x+4，由g（x）2，解得1x2；当x1时，x1，则g（x）=x+3+（x+1）2=
13、x2+3x+4，由g（x）2，解得2x1；当1x1时，1x1，可得g（x）=1x+1+x=2，由g（x）2，解得1x1，综上可得，原不等式的解集为2，2故答案为：2，216【解析】因为，向左平移个单位得函数，当时，函数为减函数，所以 ，求得，又，所以当时，故填.点睛：此类函数单调性问题比较困难，一般要先根据所给的单调区间计算的取值范围，让其成为正弦函数的单调区间的子集即可，利用这一原理，即可得出的取值范围. 17（1）；（2）【解析】分析：第一问需要利用条件确定出项与和的关系，之后类比着往前写，之后两式相减，求得相邻两项的关系，确定出数列为等比数列，之后应用等比数列的通项公式求得结果；第二问利
14、用利用题中条件，求得，之后应用裂项相消法求和即可得结果.详解：（1）由题知，当时，；当时，即，所以数列为以2为公比的等比数列，所以数列的通项公式为；（2）由，得，所以，所以点睛：该题属于数列的综合题，题中考查了数列的通项公式以及求和问题，在解题的过程中，需要明确对数列的项的关系的转化，利用等比数列的定义得结果，在求和时，一定需要熟记裂项的规则，从而求得结果.18(1)见解析;(2).【解析】分析: (1)先证明平面,再证明平面.(2)利用空间向量法求二面角的余弦值详解：（1）证明：取的中点为，连接，由题意知 ，可得四边形为平行四边形，所以由题可知，且，平面，面，所以平面，又平面，为正三角形，又
15、，平面，平面，平面，又，平面（2）解：由（1）可知平面，又平面，则平面平面，为正三角形，因此取的中点为坐标原点，以为轴，在底面内过作的垂线为轴，为轴，建立空间坐标系，则，设平面的法向量为，则即可取，设二面角的大小为，则点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.19()椭圆的方程为， 点P的坐标为.().【解析】分析：（I）由题意计算可得， ， 则椭圆的方程为， 结合几何性质可得点P的坐标为. （II）
16、由题意可知直线l2的斜率存在，设l2的方程为，与椭圆方程联立可得， 由弦长公式可得； 结合几何关系和勾股定理可得， 则面积函数， 换元求解函数的值域可得ABC的面积的取值范围是详解：（I）设，可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，由题意知，得， 由，得， 所以椭圆的方程为， 点P的坐标为. （II）由过点P的直线l2与椭圆相交于两点，知直线l2的斜率存在，设l2的方程为，由题意可知，联立椭圆方程，得， 设，则，得，所以； 由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即圆心到l1的距离，又圆的半径，所以， 由即，得， ， 设，则，当且仅当即时，取“”，所以ABC的面积的取值范围是 点睛：(1)直线与抛物
17、线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式20（）（）（）见解析 （）见解析【解析】分析：（）名顾客中红包超过5元的两人分别记为，不足元的三人分别记为，列举出从这名顾客中随机抽取3人，所有基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式即可求解.（）（）根据散点图可判断，选择作为每天的净利润的回归方程类型比较适合. （）利用最小二乘法求得系数，求的回归系数，进而得到回归直线方程，即可作出预测.详解：（）记事件“获得台历
18、的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为，不足5元的三人分别记为，从这5名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下：，共10种. 其中至少有一人的红包超过5元的是前9种情况，所以. （）（）根据散点图可判断，选择作为每天的净利润的回归方程类型比较适合. （）由最小二乘法求得系数，所以 所以关于的回归方程为.当时，商家当天的净利润元，故使用支付宝付款的人数增加到35时，预计商家当天的净利润为352元.点睛：本题考查了统计知识的综合应用问题，其中解答涉及到古典概型及其概率的计算，回归直线方程的求解和应用，判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利
19、用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性21(1) 见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数导数后，通过分类讨论，分析函数单调性，结合函数零点个数，得出a的范围；（2）先计算，利用分析法证明结论.试题解析：(1) 若最多一个交点，与题意矛盾。若，所以 又函数图像与x轴有两个交点，则，又，当故 (2)由题可知所以要证，则只需要证，下面证明：，令则上式可化简为， 则所以，而，所以故，即.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数
20、大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22（1）（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程. 直接利用极坐标直角坐标互化公式将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程.（2）第（2）问，联立方程组求出A、B的极径，再求出|AB|.试题解析：（1）曲线，把， ，代入，得，化简得，曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为所以曲线的普通方程为. （2）依题意可设所以， 即，所以，因为点在一象限，所以，即， 所以.
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