参数方程的导数学习教案

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1、会计学1参数参数(cnsh)方程的导数方程的导数第一页，共27页。1. 由参数方程(fngchng)确定的曲线( )( )xtyt t 是参数(cnsh) ( , )( ( ),( )x ytt当 t 变动(bindng)时，点( , )( ( ),( )x ytt描绘出曲线 （运动轨迹）。第1页/共27页第二页，共27页。( ):( )xtyt当 t 变动(bindng)时，点( , )( ( ),( )x ytt描绘出曲线(qxin) （运动轨迹）。( , )( ( ),( )x ytt第2页/共27页第三页，共27页。一些参数方程表示(biosh)的曲线圆：222xyacos(02 )s

2、inxattyat 第3页/共27页第四页，共27页。a( , )x ywith(plots):f(t):=1*cos(t):g(t):=1*sin(t):plot(f(t),g(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=3);cossinxaya圆第4页/共27页第五页，共27页。with(plots):f(t):=1.5*cos(t):g(t):=1*sin(t): p1:=plot(f(t),g(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=3,colo

3、r=red): p2:=plot(cos(t),sin(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=1,color=blue): p3:=plot(1.5*cos(t),1.5*sin(t),t=0.2*Pi,numpoints=500,scaling=constrained,thickness=1,color=blue): display(p1,p2,p3);( , )x yabcossinxayb椭圆(tuyun)第5页/共27页第六页，共27页。cossinxaybparametric_ellipse第6页/共27页第七

4、页，共27页。(sin )(1 cos )xaya( , )x y旋轮线（The cycloid）例 9第7页/共27页第八页，共27页。2. 由参数方程(fngchng)确定的函数( )( )xtyt( )yy x( )xt1( )tx( )yt1( )x ( )y x不管能否由 x = (t) 解出 t，参数方程在一定条件(tiojin)下确定了一个函数 y = y(x)。第8页/共27页第九页，共27页。( )( )xtyt( )yy x参数(cnsh)方程在一定条件下确定了一个函数 y = y(x) （可能是局部地，而不是整体地） 。第9页/共27页第十页，共27页。( )( )xty

5、t( )yy x有时我们需要求由参数(cnsh)方程所表示的曲线的切线和法线（运动的方向）。这就需要(xyo)求函数 y = y(x) 的导数 dy/dx。第10页/共27页第十一页，共27页。( )( )xtyt( )yy x如何(rh)求函数 y = y(x) 的导数 dy/dx？( )xt1( )tx( )yt1( )x ( )y x所以(suy)用链式法则和反函数的求导法则dydx1 ( )x 1( )x 1( )xx( ) t1( ) t( )( )tt这个(zh ge)导数并不难求！第11页/共27页第十二页，共27页。( )( )xtyt( )yy x或者将参数 t 视为中间(z

6、hngjin)变量：dydxdy dtdt dx1dydxdtdtdydtdxdt第12页/共27页第十三页，共27页。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt( )( )dyy tdxx tdydy dtdxdx dt注意(zh y)：( )( )dxx tdyy t道理是一样的，在参数方程中，x, y 的地位平等(pngdng)，它们都是 t 的函数。dx dtdy dt第13页/共27页第十四页，共27页。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt二阶导数(do sh)22d ydx()ddydx dx()ddydt dxdtdx将参数 t 视为中间(z

7、hngjin)变量()dydddtxtdxd( )( )tttt这就是(jish)求二阶导数的方法第14页/共27页第十五页，共27页。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt二阶导数(do sh)22d ydx( )( )tttt3( )( )( )( )( )ttttt223( )( )( )( )( )d yttttdxt这个公式好看，不好记。我们一般(ybn)记方法。第15页/共27页第十六页，共27页。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt223( )( )( )( )( )d yttttdxt这个公式好看，不好记。我们(w men)一般记方法。

8、223( ) ( )( )( )( )d yy t x ty t x tdxxt3( )( )( )( )( )x ty tx ty txt好记一些(yxi)了。还是不好用。第16页/共27页第十七页，共27页。( )( )xtyt( )yy x( )( )dytdxt三阶(sn ji)导数33d ydx22)(td ydxt.22( )( )( )tttdxtyd二阶导数(do sh)学习(xux)指导问2.14第17页/共27页第十八页，共27页。例 7cos(02 )sinxattybt 解0()4xcos4a2a0()4ysin4b2b切点(qidin):(,)22ab第18页/共27

9、页第十九页，共27页。cos(02 )sinxattybt 切点(qidin):(,)22ab( )( )dyy tdxx t( sin )( cos )btatcossinbtatcotbta 斜率(xil):4|tdydxcot4ba ba 切线(qixin):()22bbayxa 第19页/共27页第二十页，共27页。cossinxatybt4ab(,)22ab()22bbayxa ()22bbayxa 第20页/共27页第二十一页，共27页。例 9(sin )(1 cos )xa ttyat解( )( )dyy tdxx t (1 cos ) (sin )ata ttsin(1 cos

10、 )atatsin1 costt22sin1 cos()(ttxydxtd2cos (1 cos )sin (sin )(1 cos )(1 cos )tttattt第21页/共27页第二十二页，共27页。例 9(sin )(1 cos )xa ttyat22sin1 cos()(ttxydxtd2cos (1 cos )sin (sin )(1 cos )(1 cos )tttattt2cos1(1 cos(1 c)osattt21(1 cos )at 第22页/共27页第二十三页，共27页。( ) ( ), ( )tx ty tr位矢( )dtdtrv速度(sd)( ) ( ),( )dt

11、x ty tdtrv加速度22( )ddtdtdtvra22( )( ),( )dtx ty tdtra第23页/共27页第二十四页，共27页。( , )x y( ) tr( ) tv( ) trr第24页/共27页第二十五页，共27页。例 82121( ),2tvt v tgtrwith(plots):v1:=2:v2:=3:g:=9.8:x(t):=v1*t:y(t):=v2*t-g*t2/2:plot(x(t),y(t),t=0.2*v2/g,scaling=constrained,thickness=3); v1=2, v2=3第25页/共27页第二十六页，共27页。例 82121( ),2tvt v tgtr( ) ( ),( )dtx ty tdtrv12 ,v vgt速度(sd)速率(sl)( )( )v ttv2212()vvgt( ) tv( ) trxvyvtanyxvv21vgtv0yv 令2vtg此时质点(zhdin)达到最高点第26页/共27页第二十七页，共27页。