振动学基础课件

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1、 振动学基础23秒 32年 振动学基础1(Vibration)第4章 振 动学基础 振动学基础2振动振动具有时间周期性的运动。（狭义）具有时间周期性的运动。（狭义）任何复杂的非周期运动，都可以分解为频率连续分布的无任何复杂的非周期运动，都可以分解为频率连续分布的无限多简谐振动的叠加。（广义）限多简谐振动的叠加。（广义） 例如例如: 机械振动机械振动 微观振动微观振动 电磁振动电磁振动 振动分类振动分类受迫振动：受迫振动： 在外来策动力作用下的振动在外来策动力作用下的振动自由振动自由振动: : 阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动

2、简谐振动) )无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动 振动学基础34.1 4.1 简谐振动简谐振动 ( (S Simple imple H Harmonic armonic M Motion)otion) 机械振动：物体在一定位置所做来回往复运动。机械振动：物体在一定位置所做来回往复运动。一一. . 简谐振动的定义简谐振动的定义物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，称按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，称为简谐振动，简称谐振动。为简谐振动，简称谐振动。最简单、最基本的振动，一切复杂的振动都可以由若干

3、个简谐振动合成。弹簧振子小幅无阻振动；单摆忽略阻力小角振动弹簧振子小幅无阻振动；单摆忽略阻力小角振动 振动学基础4 振动学基础txo振动曲线 振动学基础6（一）动力学部分：（一）动力学部分：1. 受力特点受力特点: : 线性恢复力线性恢复力 (F= -kx)2. 动力学方程动力学方程 (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)有有及及由由kxFtdxdmmaF 22xmktdxda 22xmoxmk 2 令令 振动学基础7)(0222简谐振动的运动方程xtdxd（二）运动学部分：（二）运动学部分：解上式微分方程，解上式微分方程，x应为正弦或余弦函数。应为正弦或余弦函数。)cos()( tAtx设

4、设)cos()cos(22 tAtA)cos()( tAtx，可可见见 特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T ) 振动学基础8二二. 描述描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A(amplitude)：最大位移的绝对值最大位移的绝对值。 2. 周期周期(period) T：振动一次所需时间：振动一次所需时间 频率频率(frequency) v：单位时间内的振动次数：单位时间内的振动次数 = 1/T (Hz)圆频率圆频率(角频率角频率) ： 2 时间内物体所做的时间内物体所做的完全振动次数。完全振动次数。(单位：单位：rad/s 或或1/

5、s) 2 T = 2 = 振动学基础9固有频率决定于系统内在性质固有频率决定于系统内在性质lg 单单 摆摆 : 固有固有( (圆圆) )频率频率弹簧振子弹簧振子:mk 固有周期固有周期glT 2 单单 摆摆 :弹簧振子弹簧振子:kmT 2 振动学基础103. 相位相位(phase) (1) ( t + + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位- 初相初相(initial phase)tdttddtd(3) 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1) 1212tt同频率：同频率：初相差初相差相位变化的速率，描述谐振动状态变化快慢 振动学基础11当

6、当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相 同相和反相同相和反相当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相 振动学基础12x2xoA1-A1- A2x1tA2T 超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。 振动学基础13三三. .简谐振动简谐振动的速度、加速度的速度、加速度1.1.速度

7、速度)sin( tAtddx)2cos( tA 速度也是简谐振动速度也是简谐振动 比比x领先领先 /2)cos()( tAt 振动学基础14oTtx、 、ax 2A 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A a2. 加速度加速度)cos(222 tAtdxda)cos()(aatAta 也是简谐振动也是简谐振动)cos()( tAt)cos()( tAtx 振动学基础153. 3. 振幅和初相与初始条件的关系振幅和初相与初始条件的关系始条件时的速度和位移称为初0tcos0Ax sin0Av22020vxA00arctanxv所以： 振动学基础16)(02

8、22简谐振动的运动方程xtdxdlg 单单 摆摆 :弹簧振子弹簧振子:mk 是是 t 时刻的时刻的相位相位 是是t =0时刻的相位时刻的相位- 初相初相tdttddtd)cos()( tAtx 振动学基础17x2xoA1-A1- A2x1tA2T 超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。 振动学基础18( (1) )振动函数振动函数)cos( tAx)2 cos(dd tAtxvxtAtxa2222 ) cos(dd)( i tAex)cos(Re tAxx（复数形式复数形式） 只要给

9、定振幅只要给定振幅A、角频率、角频率 和初位相和初位相 ，就等就等于给定了一个简谐振动。于给定了一个简谐振动。 四四. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法 振动学基础19习题1. 某质点按余弦规律振动，其x-t曲线如图所示，则该质点振动初相位为（） T=2(A) 0;(B) /2;(C) /2;(D).2 振动学基础20（2）振动曲线振动曲线xot 0 = /2 T=2A-A = 0omx0 = AxA(伸长量伸长量)om0 x0 AxAomx0 = 0 xA 振动学基础21振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的运动的运动规律规律： 的长

10、度的长度A 旋转的角速度旋转的角速度A旋转的方向旋转的方向A与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角AXOM P xA振幅振幅A振动圆频率振动圆频率（3）旋转矢量）旋转矢量0t)cos( tAx 振动学基础22（3）旋转矢量）旋转矢量确确定定 和研究振动合成很方便和研究振动合成很方便xv0 00 x0A/220Ax 00 v3 例如，已知例如，已知x 参考圆参考圆(circle of reference) AA t+ ox tt = 0 x = A cos( t + ) 3 则由左图给出则由左图给出 振动学基础23 3x = 4cos( t + ) cmt= 1s t = 0 xA时矢量位置时矢量

11、位置 方法一：由图，方法一：由图， = /3，解：由题意，解：由题意，T = 2 s例例1：已知：已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz， t =1s时时x =-2cm且向且向x正向运动，写出振动表达式。正向运动，写出振动表达式。方法二：由方法二：由 = /30)sin(4 2)cos(4, 1 xt = /3 振动学基础24 例例4-3 4-3 一物体沿一物体沿X 轴作简谐振动轴作简谐振动，振幅振幅A=0.12m, ,周期周期T=2s。当当t=0t=0时时, ,物体的位移物体的位移x= =0.06m, ,且向且向 X 轴正向运动轴正向运动。求求:(1):(1)简谐振动表达式简谐振动表

12、达式;(2) ;(2) t = =T/4时物体的位置、速度和加速时物体的位置、速度和加速度度;(3);(3)物体从物体从x =-0.06=-0.06m向向 X 轴负方向运动，轴负方向运动，第一次回到平衡第一次回到平衡位置所需时间。位置所需时间。3cos12. 0tx解：（1）mx104. 01188. 0smv203. 1sma（2）3sin12. 0tv3cos12. 02ta32X06. 01轴负方向运动时，向x232第一次回平衡位置，s653223t所需时间为：（3） 振动学基础25四四. .简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)简谐振动系统的能量特点简谐振

13、动系统的能量特点(1) 动能动能221 mEk )(sin2122 tkA0,21min2max kkEkAE2411kAdtETETttkk 振动学基础26(2) 势能势能221kxEp )(cos2122 tkA情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax(3) 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒，与简谐振动系统机械能守恒，与振幅平方成正比。振幅平方成正比。 振动学基础27xtTEEpo(1/2)kA2EkkpEE tkAtkAEtkAtkAEkp2cos141sin212cos141cos21222222 振动学基础28习题9 一个质量为0.20kg的质点做简

14、谐振动，振动方程为25sin60. 0tx求振动动能和势能相等时，质点的位置。2221412kxkAEEp2)25(sin2222AtAx2225sintmmx23 . 02260. 0解： 振动学基础29JAmkAE22232221016. 31 . 0)8(1010212121 解：解：JEEEPk21058. 121 例例2： 质量为质量为10克的小球与轻弹簧组成系统，按克的小球与轻弹簧组成系统，按 的规律振动，式中的规律振动，式中t 以秒计，以秒计，x 以米计。求：以米计。求：（1）振动的能量、平均动能和平均势能；）振动的能量、平均动能和平均势能；（2）振动势能和振动动能相等时小球所处

15、的位置；）振动势能和振动动能相等时小球所处的位置；（3）小球在正向最大位移一半处、且向）小球在正向最大位移一半处、且向x 轴正向运轴正向运动时，它所受的力、加速度、速度。动时，它所受的力、加速度、速度。)328cos(1 . 0 tx 振动学基础30)()(tEtEpk 1)328( ttg)432(),42(328 kkt要求要求 )(0707. 0)42cos(1 . 042328mkxkt 时时，)(0707. 0)432cos(1 . 0432328mkxkt 时时，)328(cos2121)(2222 tAmkxtEp)328(sin2121)(2222 tAmmvtEk(2) 振动

16、学基础31,2)(Atx 0)( tv32328 kt(3)当当时，由旋转矢量法可知：时，由旋转矢量法可知： t = 0 xA 振动学基础3232328 kt)/(18. 2)3sin()(smAtv )/(6 .31)()(22smtxta NtmatF316. 0)6 .31(1010)()(3 振动学基础334.2 简谐振动的合成简谐振动的合成一一. 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2) 2.合振动合振动 : x = x1+ x2 x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振

17、动, 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA 振动学基础34合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA 1A2AAOxx2x1x 1 2 M1M2 振动学基础353.两种特殊情况两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 2 1= 2k (k=0,1,2,) (2)若两分振动反相若两分振动反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)如如 A1=A2 , 则则 A=0则则A=A1+A2 , 两分振动

18、相互加强两分振动相互加强则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱)cos(212212221 AAAAA)cos(212212221 AAAAA 振动学基础36习题10 一轻弹簧倔强系数为k，下端悬有质量为m的盘子，现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中，并和盘子粘到一起，于是盘子开始振动。求:(1)此时振动周期与空盘时振动周期有何不同？（2）此时振动振幅；（3）以平衡位置为原点，位移向下为正，以弹簧开始振动为计时起点，求初相位，并写出振动方程kmTmk220020kMmTMmk222解：（1） 振动学基础37（2）弹簧的平衡位置为静止时的位置，距离弹簧自然长度处k

19、gmMl时为计时起点，则以物体与盘子相碰时刻0tkMgx0221MVMgh 物体下落速度为：物体下落速度为：0vMmMV碰撞过程动量守恒：MmghMv20gMmkhkMgmMkghMkMgvxA212222020Mmghkxv2tan000(3)MmgkhtMmkgMmkhkMgx2arctancos21 振动学基础38习题11 已知两个谐振子的v-t曲线如图所示，它们是同方向同频率的谐振动。求（1）求两个谐振动的振动方程；（2）它们的合振动方程。1vo2t2 -202 振动学基础39习题12 两个同方向的简谐振动为cmtxcmtx4110cos0 . 6;4310cos0 . 521（1）求合振动的振幅和初位相；（2）另有一同方向的的简谐振动