高中物理 第五章 万有引力与航天 5.2 万有引力定律是怎样发现的素材2 沪科版必修2（通用）

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1、5.2 万有引力定律是怎样发现的 课堂互动三点剖析一、太阳与行星间引力的推导1太阳对行星的引力设行星的质量为m，绕行速度为v，行星到太阳的距离为r，行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为F=再由线速度和周期的关系v=，得F=不同行星的公转周期是不同的，但它们绕太阳的公转轨道半径的三次方和周期的平方的比值是相同的，即=k,代入上式得F=42由此式可以看出，太阳对行星的引力F与成正比，也就是F2行星对太阳的引力如图5-2-1，太阳对行星的引力与行星的质量成正比，即与受力物体的质量成正比，根据牛顿第三定律，太阳吸引行星，行星必吸引太阳，而且吸引力应该跟受力星体太阳的质量M成正比，与行星、太阳距离的二次方

2、成反比，即F与成正比图5-2-13太阳与行星间的引力F与成正比，F与成正比，由牛顿第三定律F与F大小相等、方向相反，则太阳与行星间引力的大小与太阳的质量成正比，与行星的质量成正比，与两者的距离的平方成反比，即FG，比例系数G与太阳、行星无关太阳与行星间的引力方向沿着二者连线【例1】 类似于太阳与行星间的引力，地球和月球有相当大的万有引力，为什么它们不靠在一起，其原因是（ ）A不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相平衡B地球对月球的引力还不算大C不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零D万有引力不断改变月球

3、的运动方向，使得月球绕地球运动解析：地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，故不会落向地球答案：D二、对万有引力定律的正确理解及其适用条件1对万有引力定律的正确理解（1）万有引力的普遍性：万有引力不仅存在于星球之间，宇宙中任意客观存在的有质量的物体之间都存在这种相互吸引的力（2）万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两个物体上（3）万有引力的宏观性：在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球之间或天体与天体附近的物体之间，万有引力的存在才有实际的物理意义，因此，在对物体进行受力分析时，只分析地球对物

4、体的万有引力，不分析另一个“靠得很近”的物体对它的万有引力2公式的适用条件（1）万有引力公式适用于两质点间引力大小的计算.（2）对于可视为质点的物体间的引力求解可以使用万有引力公式，比如两物体间距远大于物体本身大小时，物体可看作质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点，此时公式中的r指的是两球心之间的直线段距离（3）一个均匀球体和一个质点之间的相互作用也可以使用万有引力定律计算，此时公式中的r指的是质点到球体球心之间的直线段距离如图5-2-2所示，两球间的吸引力为F=.图5-2-2【例2】 如图5-2-3所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为的球形空穴后，剩余的

5、阴影部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大?图5-2-3思路分析：挖去空穴后剩余部分已不再是质量均匀分布的球体，无法求r，不能直接应用万有引力公式计算引力如果将挖去的部分填补上成为匀质球后，由万有引力公式可求解，再据力的合成与分解求剩余部分对m的引力解析：把整个球体对质点的引力F看成是挖去的小球体对质点的引力F1和剩余部分对质点的引力F2之和，即FF1+F2填补上空穴的完整球体对质点m的引力为F=挖去的半径为的小球体的质量为M，则M=()3=R3=MF1=G=G挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力F2F-F1GMm.答案：GMm三、引力常量的测定引力常量测定的物理意

6、义：1.卡文迪许通过实验改变物体的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性2.第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实验价值3.标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱引力的新时代4.卡文迪许实验是物理学上非常著名和重要的实验，学习时要注意了解和体会前人是如何巧妙地将物体间的非常微小的力显现和测量出来的；引力常量G的测定有重要的意义，如果没有G的测定，则万有引力定律只有其理论意义，而无更多的实际意义正是由于卡文迪许测定了引力常量G，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用此实验不仅用实验证明了万有引力定律的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用

7、价值例如，可以用测定地球表面物体重力加速度的方法，测定地球的质量，也正是由于这一应用，使卡文迪许被人们称为是“能称出地球质量的人”【例3】 某实心均匀球半径为R，质量为M，在球外壳离球面h高处有一质量为m的质点，则其万有引力大小为（ ）A.G B.GC.G D.G解析：依据万有引力公式F=G可知，如果m1、m2分别是一个球体和一个质点，则r是质点到球体球心的距离，本题所考查的是万有引力定律的说明此时公式中的r指的是质点到球体球心之间的直线段距离，即r=R+h，所以M和m之间的万有引力为G，所以正确选项为B.四、万有引力和重力的关系1地面上物体与地球的万有引力为：F=G，方向指向地心2在地球表面

8、上的物体受到的万有引力产生了两个作用效果，一是产生让物体随地球一起自转的自转向心力，自转向心力的方向指向地轴与纬度平面的交点，即所在纬线圈的圆心另一个就是物体的重力，重力的方向竖直向下（不一定指向地心）如图5-2-4所示图5-2-43重力的大小随地理位置的变化而变化：物体因所处的地理位置不同，自转半径不同，所以线速度大小不同，需要的向心力不同物体在赤道上的轨道半径最大，所需要的向心力最大；在两极轨道半径最小，所需要的向心力最小，为零因此，物体的重力在赤道上最小，在两极最大且等于万有引力，即重力随着纬度的增大而增大它们的关系式为：在赤道上，物体的重力、自转向心力方向相同且都指向地心，即F=mg+

9、m2R.在两极上，自转向心力为零，则F=mg.4因为物体的自转向心力比物体所受到的万有引力、重力小得多，因此一般近似地认为物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg=G，故物体在地球表面上的重力加速度为g=G，此公式还可以变形为GM=gR2，这是一个常用的变换公式，称为黄金代换式，式中的g是地球表面处的重力加速度5重力加速度随高度的变化规律：在离地面高为h处，根据万有引力定律得：mg=G ，故g=G，可见，随着离地面高度的增大，重力加速度减小【例4】 地球表面的重力加速度g0=9.8 m/s2，忽略地球自转的影响，在距离地面高度为h=1.0103 m的空中重力加速度g与g0的差值是多大？取

10、地球半径R=6.37106 m.解析：不计地球自转的影响，物体的重力等于物体受到的地球的引力，有：mg=G,mg0=G两式相比得=0.999 69g=g0g=3.0410-3 m/s2.答案：3.0410-3 m/s2温馨提示由结果可以看到,重力加速度的变化是非常小的,可以忽略不计.因此在地球表面附近距离地面的高度远小于地球半径范围内，我们可以认为重力加速度是不变的，与地球表面上的重力加速度是相等的各个击破类题演练 1经天文学家观测，太阳在绕着以银河系中心为圆心的圆形轨道上运动，这个轨道的半径约为3104光年（约等于2.81020 m），运动周期约为2亿年（约等于6.3105 s），太阳做圆周

11、运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心（G6.6710-11 Nm2kg2）（1）由所给的数据计算太阳轨道内侧这些星体的总质量；（2）试求太阳在圆轨道上的加速度解析：（1）设太阳轨道内侧星体的总质量为M，太阳的质量为m，轨道半径为r，周期为T由于太阳做圆周运动的向心力来自万有引力，则有G=mr()2，M代入数据可求得M3.31041 kg（2）太阳在轨道上的加速度a2r=()2r=2.810-10 m/s2.答案：（1）3.31041 kg（2）2.810-10 m/s2变式提升 1已知地球的质量为5.891024 kg，太阳的质量为2.

12、01030 kg，地球绕太阳公转的轨道半径是1.51011 m则太阳对地球的吸引力为_N，地球绕太阳运转的向心加速度为_ms2（已知G6.6710-11 Nm2kg2）解析：由于太阳对地球的万有引力使地球绕太阳运转，这种引力提供地球公转所需要的向心力天体之间由于它们的质量巨大，使它们之间产生巨大的引力，正是这种引力支配天体的运动太阳对地球的引力大小为F=N=3.491022 N地球公转的向心加速度a=m/s2=610-3 m/s2答案：3.491022 610-3类题演练 2对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F=,下列说法正确的是( )A.公式中的G是引力常量，它是由实验

13、得出的，而不是人为规定的B.当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C.m1和m2所受引力大小总是相等的D.两个物体间的引力总是大小相等,方向相反的，是一对平衡力解析：引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，而不是像牛顿第二定律表达式中的k那样人为规定出来的，所以选项A正确.当两物体间的距离r趋近于零时,物体不能再视为质点,万有引力定律就不再适用,所以不能得出此时万有引力趋于无穷大的结论,选项B错.两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力,它们总是大小相等,方向相反,分别作用在两个物体上,所以选项C正确.答案：AC变式提升 2质量为M的均质

14、球体，半径为R，从中心挖去一个半径为的圆球后，剩余的部分对与球心相距d的小球m的引力是多大?解析：解析一：挖去的半径为的小球体的质量为M则M()3=剩余的部分对与球心相距d的小球m的引力F=G-G=G-G=G.解析二：挖去的半径为的小球体的质量为M，剩余部分的质量为M，由于剩余部分为质量均匀分布的球壳，可认为是质量集中在球心的质点，则根据万有引力定律F=G.答案：类题演练 3两个质量均为5 kg的铅球，相距1 m时，它们之间的万有引力为多大?解析：根据万有引力定律FG得F=6.6710-11N=1.6710-9 N.答案：1.6710-9 N变式提升 3两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之

15、间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）A.2F B.4F C.8F D.16F解析：小铁球之间的万有引力F=G，大铁球的半径是小铁球半径的2倍，其质量分别为：小铁球m=r3，大铁球M=(2r)3=8r3=8m，所以两个大铁球之间的万有引力为F=16F.答案：D类题演练 4假设火星和地球都是均匀球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比为p，火星的半径R火和地球的半径R地之比为q，求它们表面处的重力加速度之比解析：物体在火星和地球的表面所受到的重力可以看作等于火星或地球对物体的万有引力，即mg=G，则g=，即g所以火星和地球表面的重力加速度之比

16、为=.答案：类题演练 4已知月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8.（1）在月球和地球表面附近,以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时,上升的最大高度之比是多少?（2）在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？解析：（1）物体在月球和地球表面附近做竖直上抛运动，上升的最大高度可由运动学公式h=求得，由公式可知上升的最大高度与当地的重力加速度成反比，根据万有引力定律得，g月=，g地=，所以上升的最大高度之比为=81（)2=5.6.（2）设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近的平抛物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用时间分别为：t月=，t地=在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为：=2.37.答案：（1）=5.6 (2)=2.37