24.4.1弧长和扇形的面积

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1、2021/6/3012021/6/3022021/6/3032021/6/30王村中学 王亮4 1 1、半径为、半径为R R的圆的圆, ,周长是周长是_C=2RC=2RA AB BOOn n2 2、圆的周长可以看作是、圆的周长可以看作是_度的度的圆心角所对的弧长圆心角所对的弧长3603602021/6/30王村中学 王亮5探索新知探索新知设圆的半径为设圆的半径为R R，则：，则： 1 1圆的周长可以看作圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧度的圆心角所对的弧 2 21 1的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是_ 3 32 2的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是_ 3 33 3的圆心角所对的

2、弧长是的圆心角所对的弧长是_ _ 4 4n n的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是_l lABOn2021/6/30王村中学 王亮6在半径为在半径为R R 的圆中的圆中, ,n n的圆心角所的圆心角所对的弧长的计算公式为对的弧长的计算公式为180Rnl 在应用弧长公式在应用弧长公式 进行计算时，进行计算时，要注意公式中要注意公式中n n的意义的意义n n表示表示1 1圆心角的倍数，它是不带单位的。圆心角的倍数，它是不带单位的。温馨提示温馨提示：l lA AB BOOn n2021/6/30王村中学 王亮71、在半径为24的圆中，60的圆心角所对的l= ；2、75的圆心角所对的弧长是2.5，

3、则此弧所在圆的半经为 ； 3、已知一条弧的半径为9，弧长为 8 ，那么这条弧所对的圆周角为 ； 8 8 6 68 08 00 02021/6/30王村中学 王亮8解决实际问题：解决实际问题：制造弯形管道时，要先按中心线制造弯形管道时，要先按中心线计算计算“展直长度展直长度”，再下料，试计算图所示管道，再下料，试计算图所示管道的展直长度的展直长度L L( (单位：单位：mmmm，精确到，精确到1mm)1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧ABAB的长的长因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm2970mm 180n Rl2970

4、5007002L100 9005001802021/6/30王村中学 王亮9什什 么么 是是 扇扇 形形 ？ 如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和和圆心角所对的圆心角所对的弧弧围成的图形是围成的图形是扇形扇形。半径半径半径半径OOB BA A圆心角圆心角弧弧OOB BA A扇形扇形2021/6/30王村中学 王亮102021/6/30王村中学 王亮11那么：那么： 在半径为在半径为R R 的圆中的圆中, ,n n的圆心角的圆心角所对的扇形面积的计算公式为所对的扇形面积的计算公式为360Rn2扇 形扇 形S 如果圆的半径为如果圆的半径为R，则圆的面积为，则圆的面积为 ，

5、l的圆心角对应的扇形面积为的圆心角对应的扇形面积为 ， 的圆心角对应的扇形面积为的圆心角对应的扇形面积为 2R3602Rn36036022RnRn2021/6/30王村中学 王亮123、（、（2007，四川内江）如图，这是中央电视台，四川内江）如图，这是中央电视台“曲苑杂谈曲苑杂谈”中中的一副图案，它是一扇形图形，其中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB为为 ，OC长长为为8cm，CA长为长为12cm，则贴纸部分的面积为，则贴纸部分的面积为_ 4、某运动场投掷铅球安全区的面积是、某运动场投掷铅球安全区的面积是192平方米的平方米的 扇形，安全区半径为扇形，安全区半径为24米米,安全区圆心角度

6、数为安全区圆心角度数为_ 112cm2120012002021/6/30王村中学 王亮135 5、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为3 3cm,cm,扇形的弧长扇形的弧长为为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,180Rnl2336036036022RnS扇形1803n60n,3lR 代入232021/6/30王村中学 王亮14问题问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？ lRS21扇形3602RnS扇形180RnlRRnRRnS180212180扇形

7、lR21ahS212021/6/30王村中学 王亮15已知扇形的半径为已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,lRS21扇形解：23321232021/6/30王村中学 王亮16已知圆弧的半径为已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为，所对的圆心角为60，它的弧长为，它的弧长为 .已知一弧长为已知一弧长为12cm，此弧所对的圆心，此弧所对的圆心角为角为240，则此弧所在圆的半径为，则此弧所在圆的半径为.已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120，弧长为，弧长为20，扇形的面积为扇形的面积为 .一个弧长与面积都是一个

8、弧长与面积都是 的扇形，它的的扇形，它的半径为半径为 .34练练 习习2021/6/30王村中学 王亮171.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径的半径为为1010，AOB=60AOB=60，求弧求弧ABAB的长和扇形的长和扇形AOBAOB的面积的面积（写详细过程）（写详细过程）当堂测验当堂测验2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_813 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的积是则该扇形的积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角为扇形的

9、圆心角为_. .2021/6/30王村中学 王亮181.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径为的半径为10cm10cm，AOB=60AOB=60，求弧，求弧ABAB的长的长和扇形和扇形AOBAOB的面积的面积( (写过程）写过程）当堂测验当堂测验2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_813 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为6cm,6cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角扇形的圆心角为为_. .cm3102350cm4545

10、330302021/6/30王村中学 王亮19如图，两个同心圆中，大圆的半径如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cmOA=4cm，AOB=BOC=60AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积，则图中阴影部分的面积是是_cm_cm2 2。2021/6/30王村中学 王亮20 6、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是径是6cm，其中水面高，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面，求截面上有水部分的面积。积。0BACD223623602Rn360612022)3912(cm有水部分的面积有水部分的面积 = S扇形扇形AOB- SAOBS扇形扇形AOB1

11、20AOBAB=2AD272cm36SAOB=ODAB2133621239cm有水部分的面积有水部分的面积 = S扇形扇形AOB- SAOB分析：63360AOD212 cm2021/6/30王村中学 王亮21 7、 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是是6cm，其中水面高，其中水面高9cm，求截面上有水部分的面积。，求截面上有水部分的面积。0ABDCE有水部分的面积有水部分的面积 = S扇扇+ S633S扇扇3602Rn60AOD22362AB=2AE272cm36SAOB=33621239cm有水部分的面积有水部分的面积 = S扇扇+ S2)3

12、924(cm120AOB36062402224 cmOEAB212021/6/30王村中学 王亮22 S弓形弓形=S扇形扇形-S三角形三角形 S弓形弓形=S扇形扇形+S三角形三角形00 0弓形的面积是扇形的面积与三角形弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差面积的和或差2021/6/30王村中学 王亮23方法方法2 2、利用、利用平移平移来计算重叠部分的面积来计算重叠部分的面积组合图形组合图形例例1 1：己知直经：己知直经AB=10AB=10，点，点C C、D D是圆是圆的三等分点，求阴影部分的面积。的三等分点，求阴影部分的面积。ABCDO解题解题思路：思路：根据平行线之间距离相等，转根据平

13、行线之间距离相等，转化求化求S S扇形扇形计算结果：计算结果：625例例2 2、如图，、如图，P P内含于内含于O O，O O的弦的弦ABAB切切P P于于点点C C，且，且ABOPABOP若阴影部分的面积为若阴影部分的面积为 ，则，则弦弦ABAB的长为的长为_BACPO9ABCO P62021/6/30王村中学 王亮24 A是半径为是半径为1的圆的圆O外一点，且外一点，且OA=2，AB是是 O的切线，的切线，BC/OA，连结，连结AC，则阴影部，则阴影部分面积等于分面积等于 。OABC2021/6/30王村中学 王亮25 BCAA A, , B B, , C C两两不相交两两不相交, ,且半

14、径都且半径都是是1 1cmcm, ,则图中的三个扇形的面积之和则图中的三个扇形的面积之和为多少为多少? ?弧长的和为多少弧长的和为多少? ? （0707年北京）年北京）2021/6/30王村中学 王亮26如图如图,A,A、B B、C C、D D相互外离相互外离, ,它们的它们的半径都是半径都是1,1,顺次连接四个圆心得到四边形顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (阴影部分阴影部分) )的面积之的面积之和是和是_._.2021/6/30王村中学 王亮27如图，如图， A、 B、 C、 D两两不相交，两两不相交，且半径都是且半径都是2cm，求图中阴影部

15、分的面积，求图中阴影部分的面积。 （07年山东）年山东）ABCD2021/6/30王村中学 王亮284.4.一块等边三角形的木板一块等边三角形的木板, ,边长为边长为1,1,现将木现将木板沿水平线翻滚板沿水平线翻滚( (如图如图),),那么那么B B点从开始至点从开始至B B2 2结束所走过的路径长度结束所走过的路径长度_._.( (0707年湖北年湖北) )BB1B2UFB1BAB CD EF B22021/6/30王村中学 王亮29NoImagelA AB BC C l32021/6/30王村中学 王亮30如图，如图， 矩形矩形ABCDABCD是一厚土墙截面，墙长是一厚土墙截面，墙长151

16、5米，米，宽宽1 1米。在距米。在距D D点点5 5米处有一木桩米处有一木桩E E，木桩上拴，木桩上拴一根绳子，绳子长一根绳子，绳子长7 7米，另一端拴着一只小狗，米，另一端拴着一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多少？请问小狗的活动范围最大是多少？ 2021/6/30王村中学 王亮31ADBC.E如图，如图， 矩形矩形ABCDABCD是一厚土墙截面，墙长是一厚土墙截面，墙长1515米，米，宽宽1 1米。在距米。在距D D点点5 5米处有一木桩米处有一木桩E E，木桩上拴，木桩上拴一根绳子，绳子长一根绳子，绳子长7 7米，另一端拴着一只小狗，米，另一端拴着一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多少？

17、请问小狗的活动范围最大是多少？ 2021/6/30王村中学 王亮32推荐作业推荐作业1.1.教材教材124-125124-125页，习题页，习题24.424.4第第3 3、7 7题题 2.2.变式练习变式练习：如图、水平放置的圆柱形排如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是水管道的截面半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm0.9cm，求截面上有水部分的面积。，求截面上有水部分的面积。02021/6/30王村中学 王亮33如图，两个同心圆中，大圆的半径如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cmOA=4cm，AOB=BOC=60AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是则

18、图中阴影部分的面积是_cm_cm2 2。2021/6/30王村中学 王亮34已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为a a，分别以，分别以A A、B B、C C为圆心，以为圆心，以0.5a0.5a为半径的圆相切于为半径的圆相切于点点D D、E E、F F，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积S.S.2021/6/30王村中学 王亮351.1.扇形的面积是它所在圆的面积的扇形的面积是它所在圆的面积的 , ,求这求这个扇形的圆心角的度数个扇形的圆心角的度数;(;(0505陕西陕西) )2.2.扇形的面积是扇形的面积是S S，它的半径是，它的半径是r r, ,求这个扇形求这个扇形的弧

19、长的弧长;(;(0505年太原年太原) )3.3.扇形所在圆的圆心角度数为扇形所在圆的圆心角度数为150150, ,L L=20cm,=20cm, 求求:(1).:(1).扇形所在圆的半径扇形所在圆的半径; ; (2). (2).扇形的面积扇形的面积; ; （0505年台州年台州） 32中考连接中考连接2021/6/30王村中学 王亮36钟表的轴心到分针针端的长为钟表的轴心到分针针端的长为5cm5cm，那么经过那么经过4040分钟，分针针端转过的弧长分钟，分针针端转过的弧长为为_。2021/6/30王村中学 王亮37如图，从如图，从P P点引点引O O的两切线的两切线PAPA、PAPA、PBP

20、B，A A、B B为切点，已知为切点，已知O O的半径为的半径为2 2，P P6060，则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为 。2021/6/30王村中学 王亮38R23如图水平放置的圆形油桶的截面半径为如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R R，油面高为油面高为 则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为 。（0505重庆重庆）R232)4332(R2021/6/30王村中学 王亮398 8、如图，在、如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=900 0，AC=2AC=2，AB=4AB=4，分别以，分别以ACAC，BCBC为直径作圆，则图中阴为直径作圆，则图中阴影部分面积为影部分面积为

21、 （0505武汉武汉）CAB3222021/6/30王村中学 王亮40内卷为400m,内两半圆长为200米,直线段共长200米,跑道宽1米,N2P2R2S21.1.内卷弯道的半径是多少米内卷弯道的半径是多少米? ?2.2.内卷弯道与外卷弯道的差是多少内卷弯道与外卷弯道的差是多少? ?2021/6/30王村中学 王亮41通过本节课的学习，通过本节课的学习，我知道了我知道了学到了学到了感受到了感受到了2021/6/30王村中学 王亮42 BCAA A, , B B, , C C两两不相交两两不相交, ,且半径都且半径都是是1 1cmcm, ,则图中的三个扇形的面积之和则图中的三个扇形的面积之和为多

22、少为多少? ?弧长的和为多少弧长的和为多少? ? （0707年北京）年北京）2021/6/30王村中学 王亮43如图，如图， A、 B、 C、 D两两不相交，两两不相交，且半径都是且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积。 （07年山东）年山东）ABCD2021/6/30王村中学 王亮44如图：如图：AB是半圆的直径，是半圆的直径，AB=2r, C、D是半圆的三等分点，则阴影是半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于部分的面积等于 2021/6/30王村中学 王亮45ABO2 2、一个小朋友荡秋千，当秋千向两边摆动时，摆、一个小朋友荡秋千，当秋千向两边摆动时，摆角角BOABOA恰好为恰好为6060，秋千从，秋千从A A点摆到点摆到B B点所走过的点所走过的路程是路程是m, ,秋千拉绳秋千拉绳OAOA的长为的长为_A AB BO O3m 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！