河北省辛集中学2020届高三数学模拟考试试题（三）理

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1、河北省辛集中学2020届高三数学模拟考试试题（三）理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数（i是虚数单位），则（）ABCD2已知s，则（）ABCD3若集合A1，2，3，4，5，B2，4，6，8，则集合AB（）A1，2，3，4，5，6，8B2，3，4，5，6C1，3，5，6，8D2，44某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（）A0.28B0.12C0.42D0.165已知数列an的前n项和为Sn，且满足a11，an+an+12n+1，则（）A1009B1008C2D16已知椭

2、圆的左焦点F1，过点F1作倾斜角为30的直线与圆x2+y2b2相交的弦长为，则椭圆的离心率为（）ABCD7将函数ysin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD28定义运算ab为执行如图所示的程序框图输出的S值，则式子的值是（）A1 BC1 D9若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足，则称x1，x2，x3成一个“等差数列”已知集合Mx|x|100，xZ，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（）A25B50C51D10010如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，则该棱锥内切球的表面积是（）A

3、B C D11在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A90B60C45D3012对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（）ABCD二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13在（x2x+1）5的展开式中，x3的系数为 14ABC中，D为ABC重心，以，为一组基底，可表示 15已知A是双曲线C：（a0

4、，b0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围 16已知正项数列an的前n项和为Sn，当n2时，且a11，设，则的最小值是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x）（1）求函数f（x）最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A），a3，求ABC周长的最大值18在四棱锥SABCD中，平

5、面SAB平面ABCD，平面SAD平面ABCD（）证明：SA平面ABCD；（）若底面ABCD为矩形，SA2AD3AB，F为SC的中点，求直线EF与平面SCD所成角的正弦值19第31届夏季奥林匹克运动会将于2020年8月5日21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数的统计表（单位：枚） 届次第26届（亚特兰大） 第27届（悉尼）第28届（雅典） 第29届（北京）第30届（伦敦） 序号x1 2 3 4 5 金牌数y 1628 3251 38（1）某同学利用地1、2、3、5四组数据建立金牌数关于序号x的回归方程为5.0857x+14.514，据此回归方程预测第31届夏季奥运会

6、中国队获得的金牌数（计算结果四舍五入，保留整数）；（2）试根据上述五组数据建立金牌数关于序号x的回归方程，并据求得的回归方程预测第31届夏季奥林匹克运动会中国队获得的金牌数（计算结果四舍五入，保留整数）；（3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）： 届次 第26届（亚特兰大） 第27届（悉尼） 第28届（雅典） 第29届（北京） 第30届（伦敦） 序号x 1 2 3 4 5 金牌数y 16 28 32 51 38 预测值 y 如果|y|4，则称（2）中的方程对该届夏季奥林匹克运动会中国队获得金牌数是“特效”的，否则称为“非特效”的，现从上述五届奥运会中任取三届，记（2）中的回

7、归直线方程为“特效”的届数为X，求X的分布列和数学期望参考公式：，20已知抛物线E：x22py（p0）上一点M的纵坐标为6，且点M到焦点F的距离为7（1）求抛物线E的方程；（2）设l1，l2为过焦点F且互相垂直的两条直线，直线l1与抛物线E相交于A，B两点，直线l2与抛物线E相交于C，D两点，若直线l1的斜率为k（k0），且SOABSOCD8，试求k的值21已知函数f（x）exax2bx1，其中a，bR，e为自然对数的底数（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是y（e1）x1，求实数a及b的值；（2）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间0，1上的最小值；（3）若f

8、（1）0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：cos3，曲线C2：4cos（）（1）求C1与C2交点的极坐标；（2）设点Q在C2上，求动点P的极坐标方程23. 已知函数f（x）|x1|2|x|（）求不等式f（x）6的解集；（）若f（x）的图象与直线ya围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围数学理科解析1：B2：B3：A4：B5：A6：B7：B8：D9：B10：C11：D12解：画出函数f（x）

9、的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为yk1x，yk2x，当x0时，曲线y与直线yk1x无限接近，即为双曲线的渐近线，故k13；当x0时，yex1+xex1，设切点为（m，n），则nk2m，nmem1+1，k2em1+mem1，即有m2em11，由x2ex1（x0）为增函数，且x1成立，故m1，k22，由两直线的夹角公式得，tan|1，故曲线C相对于点O的“确界角”为故选：B13：30 14：+ 15：（1，2）16解：anSnSn1，（anSn1）2SnSn1，（Sn2Sn1）2SnSn1， Sn2+4Sn125SnSn1，SnSn1，或Sn4Sn1，正项数列an的前n

10、项和为Sn，SnSn1，Sn4Sn1，S1a11， Sn是以1为首项，以4为公比的等比数列， Sn4n1，当n1时，S1a11，当n2时，an+1Sn+1Sn4n4n134n1，log24n12n2，则，设tn+1，则nt1，可得t+3239，当且仅当t6即n5时，等号成立，则的最小值是9故答案为：917解：（1）f（x）所以，令，解得，所以函数f（x）图象的对称轴方程为（2）由（1）可得，即，因为，所以，所以，所以由余弦定理可知a2b2+c22bccosAb2+c2bc ，当且仅当bc时等号成立于是b+c2a6故ABC周长的最大值为918（）证法1：在平面ABCD内过点C作两条直线l1，l2

11、，使得l1AB，l2AD因为ABADA，所以l1，l2为两条相交直线因为平面SAB平面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，l1平面ABCD，l1AB，所以l1平面SAB所以l1SA同理可证l2SA又因为l1平面ABCD，l2平面ABCD，l1l2C，所以SA平面ABCD证法2：在平面SAB内过点S作l1AB，在平面SAD内过点S作l2AD因为平面SAB平面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，l1平面SAB，l1AB，所以l1平面ABCD同理可证l2平面ABCD而过点S作平面ABCD的垂线有且仅有一条，所以l1与l2重合所以l1平面SAD所以，直线l1为平面SAB与平面SAD的交线所以，直线

12、l1与直线SA重合所以SA平面ABCD（）如图，分别以、所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz设SA6，则AB2，AD3，B（2，0，0），C（2，3，0），D（0，3，0），S（0，0，6）由F为SC的中点，得；由，得E（2，2，0）所以，设平面SCD的一个法向量为，则，即取z1，则y2，x0所以所以所以，直线EF与平面SCD所成角的正弦值为19解：（1）根据金牌数关于序号x的回归方程为5.0857x+14.514，所以x6时，5.08576+14.51445，据此回归方程预测第31届夏季奥运会中国队获得的金牌数45；（2）根据上述五组数据，计算（1+2+3+4+5）

13、3，（16+28+32+51+38）33；6.7，336.7312.9金牌数关于序号x的回归方程6.7x+12.9，x6，6.76+12.953，预测第31届夏季奥林匹克运动会中国队获得的金牌数53；（3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）： 届次 第26届（亚特兰大） 第27届（悉尼） 第28届（雅典） 第29届（北京） 第30届（伦敦） 序号x 1 2 3 4 5 金牌数y 16 28 32 51 38 预测值19 26 33 4046 y3 21 118满足|y|4的数据有3组，即获得金牌数是“特效”的有3组，则X的取值可能为1，2，3；计算P（X1）品数X的可能值为

14、1，2，3P（X1），P（X2），P（X3），所以X的分布列为 X123PX的数学期望为EX1+2+320解：（1）抛物线E：x22py的准线方程为y，由题意可得|MF|6+7，解得p2，即x24y；（2）设l1：ykx+，即ykx+1，联立x24y，可得x24kx40，即有x1+x24k，x1x24，则|AB|4（1+k2），且O到直线l1的距离为，则SOAB4（1+k2）2，由于直线l2与l1垂直，且都过F，可得SOCD2，由SOABSOCD8，可得2，即k42k2+10，解得k121解：（1）由f（x）exax2bx1，得f（x）ex2axb，f（1）eab1，f（1）e2ab，函数f（

15、x）在点（1，f（1）处的切线方程是y（eab1）（e2ab）（x1），由切线的方程y（e1）x1，可得eab1e11，e2abe1，解得a0，b1；（2）由f（x）exax2bx1得f（x）ex2axb，g（x）f（x）ex2axb，g（x）ex2a当2a0即a0时，ex2a0对一切x0，1恒成立，g（x）在0，1内单调递增，g（x）在0，1上的最小值是g（0）1b；当2a0即a0时，令g（x）0，得xln（2a），从而有当ln（2a）0即0a时，列表如下：x0（0，1）1g（x）+g（x）1b增e2ab依表格知g（x）在0，1上的最小值是g（0）1b； 当0ln（2a）1即a时，列表如下：

16、x0（0，ln（2a）ln（2a）（ln（2a），1）1g（x）0+g（x）1b减2a2aln（2a）b增e2ab依表格知g（x）在0，1上的最小值是g（ln（2a）2a2aln（2a）b；当ln（2a）1即a时，列表如下：x0（0，1）1g（x）+g（x）1b增e2ab依表格知g（x）在0，1上的最小值是g（1）e2ab综上所述：当a时，g（x）在0，1上的最小值是1b；当a时，g（x）在0，1上的最小值是2a2aln（2a）b；当a时，g（x）在0，1上的最小值是e2ab（3）f（x）exax2bx1，g（x）f（x）ex2axb，由f（1）0，即有eab10，可得bea1，g（x）ex2

17、axe+a+1，又f（0）0若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由f（0）f（x0）0可知，f（x）在区间（0，x0）内不可能单调递增，也不可能单调递减则g（x）在区间（0，x0）内不可能恒为正，也不可能恒为负故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2故函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点由（2）知当a或a时，函数g（x）即f（x）在区间0，1内单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求若a，此时g（x）在区间（

18、0，ln（2a）内单调递减，在区间（ln（2a），1）内单调递增因此x1（0，ln（2a），x2（ln（2a），1），又g（x）ming（ln（2a）2a2aln（2a）e+a+13a2aln（2a）e+1，令h（x）3x2xln（2x）e+1（x），则h（x）32ln（2x）2x212ln（2x），令h（x）0得x，列表如下：x（，）（，）h（x）+0h（x）增e+1减依表格知：当x时，h（x）mine+10，g（x）min3a2aln（2a）e+10恒成立，于是，函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间e2a1综上所述：a的取值范围为（e2，1）22解：（1）曲线C1：cos3，曲线C2：4cos（）联立：，解得：， 所求交点的极坐标（2）设P（，），Q（0，0）且04cos0，由已知，得 ，点P的极坐标方程为10cos，23解：（）f（x）6，即或或，解得：x5或x7，故不等式的解集是x|x5或x7；（）f（x），画出函数f（x）的图象，如图示：SADE436，若f（x）的图象与直线ya围成图形的面积不小于14，则SABCD（2a+4）（a2）146，解得：a2