河北省抚宁县第六中学高三数学专题复习 5.3空间向量与立体几何教案（第1课时）

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1、课 题空间向量与立体几何课 时共 3课时本节第1 课时选用教材专题五知识模块立体几何课 型复习教学目标会用建立空间直角坐标系的方法解决立体几何问题重 点会用建立空间直角坐标系的方法解决立体几何问题难 点会用建立空间直角坐标系的方法解决立体几何问题关 键会用建立空间直角坐标系的方法解决立体几何问题教学方法及课前准备多媒体辅助教学 学生自主探究 讲练结合教学流程多媒体辅助教学内容网络构建考点溯源思考1若直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则(1)laaa1a2b1b2c1c20；(2)laak(a1，b1，c1)k(a2，b2，

2、c2)；(3)vv(a2，b2，c2)(a3，b3，c3)；(4)vva2a3b2b3c2c30.正确吗？提示：正确思考2直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，设直线l与平面的夹角，则sin |cosa，n|.正确吗？提示：正确思考3若非零向量a，b分别是平面，的法向量，若二面角l的平面角为锐角，则cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|.正确吗？提示：正确复习知识点，用多媒体展示，带领学生对相关知识进行回忆与记忆教学流程多媒体辅助教学内容考向一利用向量证明平行与垂直常利用向量的数量积或向量共面证明平行；常利用法向量垂直证明线线、线面垂直恰当建立

3、坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键【例1】 如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.思路点拨(1)建立空间直角坐标系，证明向量与平面PAD的法向量垂直(2)取AP的中点E，利用向量证明BE平面PAD即可证明以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.

4、PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，(1)令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中点E，并连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)，PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，则BEDA.PADAA.BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.探究提升 (1)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说

5、明直线在平面外即可(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明【变式训练1】 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中点为N，并连接NC，则N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,

6、0)，.DENC，又NC在平面ABC内，DE不在平面ABC内，故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，(2)22(2)(4)(2)0，则，B1FEF，(2)222(4)00，即B1FAF.又AFEFF，B1F平面AEF.考向二利用空间向量求线线角、线面角向量法求线线角，线面角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点坐标，写出相关向量坐标；结合公式进行计算【例2】 如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60. (1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小思路点拨由正方体的几何特征，易于建立空间坐标系，关键在

7、于求直线DP的一个方向向量，可延长DP交DB于点H，可转化为向量的坐标解如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD，在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以，(1)因为cos，所以，45.即DP与CC所成的角为45.(2)平向AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.探究提升 1.求解本题的关键在于求向量的坐标，根据向量平行，求向量，简化了解题过程2(1)异面直线所成角(090)设

8、a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则cos |cosa，b|.(2)线面角(090)设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则sin |cosa，n|.【变式训练2】 (2020福建高考改编)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；(1)证明取CD的中点E，连接BE. ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，

9、BEC90，即BECD，又BEAD，所以CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)解以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成角为，则sin |cos，n|，解之得k1，故所求实数k的值为1.考向三利用向量求二面角常考查：利用空间向量求二面角；由二面角的大小求相关量

10、常用法向量来求解二面角【例3】 (2020天津高考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长思路点拨由条件特征，易建立空间坐标系，方便运用向量求解(1)利用向量证明0；(2)求平面B1CE与平面CEC1的法向量，进而求二面角的正弦值；(3)设出，根据线面角求，进一步求出AM的长(1)证明如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0，0

11、,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1，2,1)，E(0,1,0)(1)易得(1,0，1)，(1，1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)解(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，从而B1C1平面CEC1.故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，从而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3)解(0,1,0)，(1,1,1)，设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1

12、所成的角，则sin|cos，|，于是，解得，故AM.探究提升 1.(1)求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，直线的方向向量与平面法向量夹角不是线面角(2)利用方程思想进行向量运算时，要细心注意运算的准确性2求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角其计算公式为：设m，n分别为平面，的法向量，则与m，n互补或相等，|cos |cosm，n|.课堂同步练习：1(2020青岛质检)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D

13、1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0，0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1，0，2)，(2,0,1)，0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直答案C考点探究突破典型例题讲解，先让学生自己思考，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答过程，要求学生自己做题时要规范。同时给出做这种题的思路指导，并且加以总结，指出要记住的，要注意的，易错点等。课堂要求学生掌握的内容：利用向量证明平行于垂直；利用空间向量求线线角、线面角；利用向量求面角板书设计1、 网络构建2、 考点溯源3、 题型：一 利用向量证明平行于垂直二 利用空间向量求线角、线面角三 利用向量求面角4总结课后作业知能提升.演练