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1、江西省萍乡市2020届高三一模考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，若为纯虚数，则（ ）A. 5B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a值，再由复数的模长公式可得结果【详解】化简可得= -1+3i，z是纯虚数，10，解得1，|1-2i|故选B.【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及纯虚数的概念及复数的模长公式，属于基础题2.下列说法错误的是（ ）A. 在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B. 若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟
2、合的精度越高D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，【答案】B【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【详解】对于A，y除了受自变量x影响之外还受其他因素的影响，故A正确；对于B， 变量，满足关系，则变量x与负相关，又变量与正相关，则与负相关，故B错误；对于C，由残差图的意义可知正确；对于D，ycekx，两边取对数，可得lnyln（cekx）lnc+lnekxlnc+kx，令zlny，可得zlnc+kx，z03x+4，lnc4，k0.3，ce4即D正确；故选B.【点睛】本题考查了两个变量的线性相关及回归方程的有关知识，考查了残差图的意义，涉及
3、对数的运算性质，属于基础题型3.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得f（x）奇偶性及f（1）的值即可得出答案【详解】f（x）f（x），f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，0，对任意的恒成立，故a=1满足题意.故答案为1【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这也是解决此类题的常用手段，属于难题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA=2ccosC（1
4、）求角C的大小；（2）若ABC的周长为3，求ABC的内切圆面积S的最大值【答案】（1）C=（2）【解析】【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，化简即得cosC= ，解得结果，(2)先根据余弦定理得3+ab=2（a+b），再根据基本不等式得ab最大值，根据内切圆性质得内切圆半径为ab，即可求得内切圆面积S的最大值【详解】解：（）因为acosB+bcosA=2ccosCsinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin（A+B）=2sinCcosC，而sin（A+B）=sinC0，则cosC=，又C（0，），所以C=（）令ABC的内切圆半径为R，有absin=3R，则R=ab，由余弦
5、定理得a2+b2-ab=（3-a-b）2，化简得3+ab=2（a+b），而a+b2，故3+ab4，解得3或1若3，则a，b至少有一个不小于3，这与ABC的周长为3矛盾；若1，则当a=b=1=c时，R取最大值综上，知ABC的内切圆最大面积值为Smax=（）2=点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.18.如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，点是线段上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）若的最大值是，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出ACBM，ACBD，从而AC平面BMND，由此能证明平面EAC平面BM
6、ND（2）由AECE1，cosAEC1，AEC（0，），得到当AE最短时AEC最大，即AEMN，CEMN时AEC最大，AEC是二面角AMNC的平面角，大小是120，可得AE取MN得中点H，连接H与AC、BD的交点O，由题意知OH平面ABCD，建系，利用向量法结合AEC=120求得ND，利用VMNACVMEAC+VNEAC能求出三棱锥MNAC的体积【详解】（1）因为平面，则.又四边形是菱形，则，所以平面.因为在平面内，所以平面平面.（2）设与的交点为，连结.因为平面，则，又为的中点，则，所以，.当最短时最大，此时，.取的中点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，且a,则点，.设平面的
7、法向量，则，取，则，同理求得平面的法向量.因为是二面角的平面角，则，解得或,又a，因为，则 .【点睛】本题考查了面面垂直的证明及几何体的体积的求法，考查了利用向量解决空间角的问题，考查运算求解能力，是中档题19.在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位侯选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名（1）求同学甲选中3
8、号且同学乙未选中3号选手的概率；（2）设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设A表示事件：“甲选中3号歌手”，事件B表示“乙选中3号歌手”，事件C表示“丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出概率（2）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望【详解】设表示事件“甲同学选中3号选手”，表示事件“乙同学选中3号选手”，表示事件“丙同学选中3号选手
9、”，则（1），所以.（2），可能的取值为0，1，2，3， ， ， ，.所以的分布列为：0123的数学期望.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D（0，2）为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF|=3|EF|（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-，求的取值范围【答案】（1）+=1（2）-1，0）（0，1【解析】
10、【分析】（1）先由条件得b，再根据条件得E坐标，代入椭圆方程解得a2（2）先设A，B两点坐标，化简条件得y1y2=x1x2，再代入化简=x1x2，联立直线方程与椭圆方程，解得x1，x2，最后根据基本不等式求最值，解得取值范围.【详解】解：（1）设椭圆的方程为+=1，（ab0），右焦点F（c，0），D（0，2）为椭圆C短轴的一个端点，b=2，|DF|=3|EF|，E（，-），+=1，即a2=2c2，又c2=a2-4，a2=2（a2-4），解得a2=8，故椭圆方程为+=1（2）kOAkOB=0，设kOA=k0，则kOB=，设A（x1，y1），B（x2，y2），=，即y1y2=x1x2，=x1x2+
11、y1y2=x1x2，由，消y可得x2+2k2x2=8，即x12=，同理x22=，x12x22=4，当且仅当4k2=，即k=时取等号，-2x1x22，且x1x20，-1t1，且t0，故的取值范围为-1，0）（0，1【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属较难题.21.已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）对f（x）中的k分类讨论，根据f（x）的正负判断函数的单调性即可.（2）由题意得lnx1kx10，lnx2kx20，两式作差可得，lnx1lnx2k（x1x2
12、）,k，要证lnx1+lnx22即k（x1+x2）2，将k代换后，化简变形得，设t1，构造函数g（t），利用新函数的导数求出单调区间，证得g（t）g（1）0即可【详解】（1），当时，在区间上单调递增；当时，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）因为，是的两个零点，则，所以，.要证，只要证，即证，即证，即证，只要证.设，则只要证.设，则，所以在上单调递增.所以，即，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在求函数单调区间中的应用和利用导数证明不等式的成立，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以为极点
13、，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设动直线：分别与曲线，相交于点，求当为何值时，取最大值，并求的最大值.【答案】（1）曲线的极坐标方程是，曲线的直角坐标方程是；（2）当时，取最大值，且.【解析】【分析】（1） 将C1的参数方程消去可化为普通方程，再利用互化公式可得C1的极坐标方程同理利用互化公式将C2的极坐标方程化为直角坐标方程（2）法一：将直线的参数方程分别代入曲线、的普通方程，求得，利用及三角函数的值域可得结果.法二：将（0），代入C1, C2的极坐标方程，分别解得：由结合三角函数的值域可得结果【详解】（1）曲线的普通方程
14、为，即.将，代入，得，所以曲线的极坐标方程是.由，得.将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程是.（2）解法一：设直线的倾斜角为，则的参数方程为（为参数，且）.将的参数方程代入曲线的普通方程，得，则.将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则.所以 ，据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.解法二：设直线的倾斜角为，则的极坐标方程为.设点，的极坐标分别为，则，.所以 .据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线的参数方程的应用与极径的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.已知函数.（1）解不等式：；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式证明【详解】（1）不等式化为.当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（2）由题意得 ，所以成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题
江西省萍乡市2020届高三数学一模考试试题 理（含解析）
