反证法在数学解题中的应用研究

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1、反证法在数学解题中的应用研究 面对这个高速发展的信息时代，人们对生活、对发展需要经常思考，进行推理，以致对结论的肯定或否定.遗憾的是长期以来对于一系列的解题，更重视对学生正向思维能力的培养，往往忽略了间接推理的重要性.很多时候我们经常思维定势，就想直接证明，不习惯用间接的论证方法解决问题.反证法是一种普遍运用的间接证明方法.当正面解决问题困难时，它可以从命题的反面入手，使之迎刃而解. 一、反证法的简单介绍 反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，属于“间接证明” 的一种（引用于现行人教版数学教材）.所谓反证，就是将要证明的反面情况驳倒就可以了.首先假设原命题不成立（即我们在原命题的条件下，假

2、定结论不成立），据此推导出明显矛盾的结果，从而得出结论说原假设不成立，原命题得证. 关于反证法的逻辑依据不得不提两个重要的思维方式“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的.排中律：任何一个命题判断或思想或者为真或者为假（不真），二者必居其一. 法国数学家J阿达玛曾概括为：“这证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这就是说反证法并非直接证明命题的结论，先是提出与需证结论反面的假定，然后推导出和公理、定理、定义或与题中假设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证命题的结论相反的假设无法成立，从而肯定了原来待证命题.用反证法

3、完成一个命题的证明，大体上有三个步骤：否定结论 推导出矛盾 结论成立. 二、反证法在数学解题中的应用 （一）在肯定性命题中的应用 即结论以“总是”、“都”、“全”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法进行尝试. 如（代数问题）求证：无论n是什么自然数，总是既约分数. 证明：假设不是既约分数， 令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k1） 既约，由（2）3-（1）2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不成立，故假设不成立，分数是既约分数. （二）在否定性命题中的应用 即结论以“没有”“不是”“不能”等形式出

4、现的命题. （三）在限定性命题中的应用 在命题结论中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等词语. 如（代数问题，抽屉原理）把2110人分成128个小组，每组至少1人，证明：至少有5个小组的人数相同. 证明：如若128个小组中，没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组是：1284=32个，对32个小组，我们这样分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组有4个组每小组32人，故有： 4（1+2+3+32）=432（1+32）2=2112 这样2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人

5、或2人，那么相同人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故至少有5个小组的人数相同. （四）在不等量命题中的应用 不等式是学生需掌握的一大重点.当不等式的反面情况比较少时，题中若要求证明不等式成立时，那么只需用反证法来证实其反面不成立. （五）在互逆命题中的应用 已知原命题是正确命题，在求证其逆命题时可使用原命题结论，此时反证法为解题提供更多便捷. 如（平面几何问题） 原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等. 逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆. 逆命题的证明： 三、对反证法运用的思考 （一）在解题时，仔细审题是第一步.当运用反证法时，正确否定命题的结论是首要问题

6、.要使一个待证命题的结论成立，需根据正难则反的原则.从结论的反面来间接思考问题，值得注意的是命题结论的反面情况并非唯一.若结论的反设只有一种情况，称之为简单归谬.例如，证明根号2是无理数，只需证根号2不是有理数.若结论的反面不止一种情况，称之为穷举归谬.必须将所有可能情况全部例举出来，并需要不重不漏地一一否定，只有这样才能肯定原命题结论成立.例如，证明某类数不为正数，则可以从正数的反面负数与零入手. （二）明确逻辑推理的特点 反证法的任务首先需否定结论导出矛盾.至于出现什么样的矛盾，何时出现矛盾，矛盾是以何种方式存在，都是我们无法计算和预测的.证明的过程没有一个机械的统一标准，但最终都会得到矛

7、盾，而这个矛盾一般总是在命题的相关领域内进行考虑.例如，空间解析几何，平面几何，代数等问题常常与相关的公理、定理、定义等相联系.正因为与这些公式的规则，定理相互矛盾，进而说明原结论的正确性.这便是反证法的推理特点.做到正确否定命题结论，严格遵守推理规则，推理过程中步步有理有据，矛盾出现时，证明就已完成. （三）了解产生矛盾的种类 矛盾的出现有很多种，知道导致矛盾的种类，可以更迅速，更有效的解题. 1.与已知相矛盾;2.与定理相矛盾;3.与定义相矛盾;4.与公理相矛盾;5.与生活常识相矛盾。 总之，在中国传统数学中，古代时期就有涉及到反证法，由于中国传统逻辑学不完备，人们认识到的也只是一些逻辑规律.他们大多数用的是反驳，其中也经常使用到归谬论证法。在此之间，墨子提及了反证法，从“学之益也，说在诽者”，以证明“学习无益”为假，从而得到“学习有益”为正确命题。刘徽在九章算术中运用反驳的方法来证明某些公式是错误的。可见反证法的历史渊源长久，值得我们好好探索。第 5 页 共 5 页