江苏省白蒲中学2020高二数学 不等式教案12 苏教版
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1、第十二教时教材:不等式证明综合练习目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程:一、 简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、 例一、已知0 x 1, 0 a 1,试比较的大小。解一:0 1 - x2 1, 解二:0 1 - x2 1, 解三:0 x 1, 0 1 - x 1, 1 1 + x 2,左 - 右 = 0 1 - x2 1, 且0 a 0且a 1,其余条件不变。例二、已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xyac + bd证一:(分析法)a, b, c, d, x, y
2、都是正数要证:xyac + bd只需证:(xy)2(ac + bd)2即:(a2 + b2)(c2 + d2)a2c2 + b2d2 + 2abcd展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd即:a2d2 + b2c22abcd 由基本不等式,显然成立xyac + bd证二:(综合法)xy =证三:(三角代换法)x2 = a2 + b2,不妨设a = xsina, b = xcosay2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosbac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)xy例三、已知x1, x2均为正数,求证:证一:(分析法)由于不等式两边均为正数,平方后只须证:即:再平方:化简整理得: (显然成立)原式成立证二:(反证法)假设 A B C D P M 化简可得: (不可能)原式成立证三:(构造法)构造矩形ABCD,使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2当APB = DPC时,AP + PD为最短。取BC中点M,有AMB = DMC, BM = MC = AP + PD AM + MD即:三、 作业: 2000版 高二课课练 第6课
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