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1、广东省湛江市2020届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，全集，则（ ）A B C D2.已知是虚数单位，复数满足，则（ ）A B C D 3.设，则“”是“”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.从某中学甲、乙两班各随机抽取名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）A甲班同学身高的方差较大 B甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身
2、高的中位数较大 D甲班同学身高在 以上的人数较多5.已知 是双曲线：右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则 的面积为（ ）A B C. D 6.已知，则（ ）A B C. D 7.的展开式中的系数为（ ）A B C. D 8.执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入正整数的最小值为（ ）A B C. D 9.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（ ）A B C. D 10.在中， .若， （ ），且，则的值为（ ）A B C. D 11.我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的
3、两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A B C. D 12.已知函数，如果对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数为奇函数，则 14
4、.设变量 、满足约束条件 ，则目标函数的最大值为 15.平面直角坐标系 中，椭圆（ ）的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点.则 16.如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟.在甲出发分钟后，乙从乘缆车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.已知缆车从到要分钟， 长为米，若，.为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
5、步骤.） 17. 已知数列的前项和（ ）（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18. 红星海水养殖场进行某水产品的新旧养殖方法的产量对比，收货时在旧养殖的大量网箱中随机抽取 个网箱，在新养殖法养殖的大量网箱中也随机抽取个网箱，测量各箱水产品的产量，得样本频率分布直方图如下：（1）填写下列列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关.养殖法 箱产量箱产量箱产量总计旧养殖法新养殖法总计（2）设两种养殖方法的产量互相独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于 ”，估计的概率；（3）某水产批发户从红星海水养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品中购买了个网
6、箱的水产品，记表示箱产量位于区间的网箱个数，以上样本在相应区间的频率代替概率，求 .附： （，其中 ）19. 如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， .（1）证明： ；（2）若三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.20. 已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）设直线：与曲线交于点 、 ；直线：与交于点，其中 ，以、为直径的圆 、 （ 、为圆心）的公共弦所在直线记为，求到直线距离的最小值. 21. 已知函数，其中，且 .（1）当（ 为自然对数的底）时，讨论的单调性；（2）当 时，若函数存在最大值，求的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多
7、做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点 ，直线的参数方程为 （为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的两个交点分别为 、 ，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 参考答案一、选择题1-5:CBAAB 6-10:DCDCA 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.（1）数列 的前 项和 .当时， .又对也成立.（）（2）由可知 18.解：（1）旧养殖法
8、的箱产量低于的频率为 箱产量不低于的频率为；新养殖法的箱产量低于的频率为，箱产量不低于的频率为.由此得列联表：养殖法 箱产量箱产量箱产量总计旧养殖法新养殖法总计则 = 有的把握认为箱产量与养殖法有关.（2）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于 ”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于 ”由题意知 旧养殖法的箱产量低于的频率为，故的估计值为 事件 的概率估计值为 （3）新养殖法的样品中，箱产量位于区间的频率为，故养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品，箱产量位于区间的概率估计值为.依题意知 . 19.（1）证明：取的中点，连接、，由棱形的性质及.得，为正三角形.，且.平面， （2）三棱锥的体积是三棱柱体积
9、的三分之一，得四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于 .平行四边形的面积为.设四棱锥的高为，则，又平面 建立如图直角坐标系： .则 ， ， . ， 设平面的一个法向量为 则 ，取一个法向量为 显然是平面的一个法向量.则.二面角的余弦值为.20.解：（1）如图，设 ，则 ，由题可知 ，动圆 与 轴相切，得 .即 .化简得：.（注：用几何条件判断的轨迹是抛物线亦可）（2）设 ， ，将代入得：，则 且 设 是上的任意一点.由得以为直径的圆的方程是： 将式代入上式，化简得： 同理以为直径的圆的方程是： 得的方程是： .又， 到的距离 当时，所求距离最小值为 .21.解：（1）由题 ，当，当，在上是减函数；当，当，在上是减函数；当， ， 在 上是增函数.即当时，在上个递减；当时，在上递减，在上递增.（2）当，.当时，则 ，在上为增函数，无极大值，也无最大值；当，设方程的根为，得.即，所以在上为增函数，在上为减函数，则的极大值为，.令，令，.当时；当时，所以为极小值也是最小值点.且，即的最小值为，此时.22.（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（2）点在直线：上，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，设两根为，故与异号，.23.解：（1）不等式可化为.当时，解得，即；当时，解得，即.综上所述，不等式解集为.（2）由不等式可得.，即.解得或.实数的取值范围是.
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