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1、抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点.不妨设抛物线方程为y2=2px(p0),则焦点二，准线I的方程：1.过焦点F的直线交抛物线于A(xi,yi)、B(x2,y2)两点，又作AAi丄I,BBi丄I，垂足分别为Ai、Bi.AB丄x轴时,此时弦AB叫抛物线的通径,它的长|AB|=2p.AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k工0)则方程为一小J如图).严=驱v=kfx卩由方程组I消去y，得或消去x,2p结论1:结论2:yiy2=-p2（定值）,71+72结论3:|AB|=|AF|+|BF|=|AA|4|弦长
2、pti專14亍4岌2+y=Xl4引丄丄结论4:若此焦点弦AB被焦点F分成m,n两部分，则11为定值.事实上，若AB丄x轴，则112+=nPm=n=p,m=若AB与x轴不垂直，则丄11m十口盂1十只2+F+=mnnon口卩结论5:抛物线y2=2px(p0)的焦点弦中通径最小.证法1:设弦AB所在的直线方程为由方程组Ly2=却埜y消去x，得y2-2pmy-p2=0.二yi+y2=2pm,yiy2=-p2.+m2)(4p2m2十4p2)=2p(l+m3)IAB|=J(l+in2)(y2-Vi)3=(1+/)街+丫2-幻1兀=-.illA2p2p.当且仅当m二0,即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小
3、且为证法2:设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为工，则|AF|=|AAi|=p+|AF|cos二,|BF|=|BBi|=p-|BF|co&,|AF|=r|BF|=1一COSV1+COSOL.|AB|=|AF|4IBF|=4-5_=_2pJ当且仅当匚=90时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p.结论6:以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线I相切(如图).事实上，取弦AB的中点C，作CC1丄l，垂足为C1.贝Ug1=|(11l+IBBi|)=|(|AF|+|BFBaB|这表明圆心C到准线I的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.结论7:以抛物线焦半径|AF|为直径的
4、圆与y轴相切.事实上,|af|=x1+。（兰!翌）设AF的中点为D，贝UD到y轴的距离丄（鋼+）I_AFI2122.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切.结论8:AiF丄BiF（如图）事实上，设7:则E1F72n_ETE7p22由结论2有yiy2=-p2,、二,即AiF丄BiF。结论9:若M为AiBi的中点，贝UMF丄AB。事实上，当AB丄x轴时，显然有MF丄AB。M（-HrZL21）当AB与x轴不垂直时，Pk1KMF-y宀严空昨E上）MF-Ek由结论2,有，二-，即MF丄AB结论iO:在梯形AAiBiB中，两对角线ABi与BAi相交于点抛物线顶点O事实上，当AB丄x轴时，此时易得结论显然成立。当AB与x轴不垂直时，设2y则,Si2L=薛_/畑玉二2珂2二匹上一一一?,AB1经过原点0。同理AiB经过原点0。
抛物线与弦有关的的结论
